Esercizio Metodi One step

Esercizi sui metodi one-step

Le equazioni differenziali ordinarie (ODE) le troviamo alla base di molti fenomeni fisici, biologici, ingegneristici, ma spesso si riscontrano delle difficoltà nella loro risoluzione analitica. Per questo motivo, vengono introdotti dei metodi numerici per l'approssimazione delle soluzioni di ODE con determinate condizioni iniziali.

I metodi possono essere classificati come one-step o multi-step a seconda se, rispettivamente, il valore i-esimo della soluzione viene calcolato utilizzando solamente l'approssimazione precedente o se richiede più approssimazioni precedenti. Inoltre, se il calcolo dell’i-esima soluzione è funzione dell'approssimazione precedente, il metodo è detto implicito; altrimenti si dice esplicito.

Il più semplice dei metodi one-step è quello di Eulero, che si basa sull'approssimazione della derivata in un punto utilizzando la pendenza della tangente alla curva soluzione in quel punto (sviluppo in serie di Taylor). Per migliorare l'accuratezza delle approssimazioni, sono stati sviluppati metodi di ordine superiore, tra cui il metodo di Heun (o Runge-Kutta del 2^o ordine) e il metodo di Runge-Kutta classico del 4^o ordine. Questi metodi utilizzano rette con coefficienti angolari pari a combinazioni lineari di valori delle funzioni in un determinato intervallo.

Esercizio 1

Il modello SIS è un modello epidemiologico che descrive la dinamica di malattie infettive in cui gli individui, dopo essere stati infettati, possono guarire ma senza acquisire immunità permanente. Dopo la guarigione, tornano nella classe dei suscettibili, rendendo possibile una nuova infezione. Questo modello è particolarmente adatto per malattie come il raffreddore comune o alcune infezioni sessualmente trasmissibili, in cui non si sviluppa un’immunità duratura.

Il modello si basa su un sistema di equazioni differenziali che descrive la variazione nel tempo delle due classi di popolazione: suscettibili S(t) e infetti I(t), regolata dai parametri β (tasso di infezione) e ρ (tasso di guarigione).

Per svolgere questo esercizio relativo al modello SIS, ho, in primo luogo, assegnato dei valori ai parametri costanti riportati nella traccia e definito delle condizioni iniziali. In particolare, ho preso in considerazione una popolazione costituita da 100 individui di cui, al tempo iniziale t = 0, ne sono infetti 5. Il tasso di infezione è stato considerato pari a β = 0.010 mentre il tasso di guarigione è pari a ρ = 0.1.

Dopo aver definito l’equazione differenziale che descrive il modello con una anonymous function di Matlab in funzione del tempo t e di I(t), numero di individui infetti, ho scelto dei parame...