Esercizi Idraulica T

Idraulica T - Esercizio 1 - Spinta su Paratoia Verticale (14/10/16)

Dati:

• δ = 7500 N/m³ → 7.5 kN/m³
• d₂ = 1 m
• L = 3 m
• d₁ = 2 m

Rappresentare qualitativamente i diagrammi delle pressioni nella parte verticale e nel fondo del serbatoio, determinare:

1. Il modulo della spinta esercitata nella paratoia AB del fluido δ, ed il relativo centro di applicazione;
2. Il modulo della forza X applicata in B, tale da garantire l'equilibrio della paratoia

a) Calcolo della spinta nella paratoia AB:

S = ρg ∙ A = (δ ∙ Y_G) ∙ A = δ ∙ (d₁ + ^d₂/₂) ∙ (d₂ ∙ L) = 7.5 ∙ (2 + ¹/₂) ∙ (1 ∙ 3) = 56.25 kN

Calcolo del centro di applicazione della spinta S:

Y_G = d₁ + ^d₂/₂ = 2 + ¹/₂ = 2,5 m

A = d₂ ∙ L = 1 ∙ 3 = 3 m²

J_XO = ^{L ∙ d₂3}/₁₂ = ^{3 ∙ 13}/₁₂ = ³/₁₂ = ¹/₄ = 0,25 m⁴

Y_C = Y_G + ^J_XO/_{YG ∙ A} = 2,5 + ^0.25/_{2.5 ∙ 3} = 2,53 m

Siccome si ha un andamento trapezoidale delle pressioni nella paratoia è stato necessario calcolare l'abbassamento del centro di applicazione della spinta e come si può vedere rispetto ad Y_G = 2,5 m risulta essere sempre poco più basso.

Invece con una distribuzione triangolare o rettangolare non occorre calcolare l'abbassamento perché è già noto, ed è rispettivamente ²/₃ h e ^h/₂.

b) Calcolo del modulo della forza X affinché le paretine incernierate in A siano in equilibrio.

Equilibrio alle rotazioni: ∑ M^(A) = 0 → ∑ M^(A) = M^(A)(S) + M^(A)(X) = 0

M^(A)(S) = -S · b_s = -S · (Y_c - d_i) = -56,25 · (2,53 - 2) = -29,81 KNm

M^(A)(X) = X · b_x = X · d₂ = X · 1 = X KNm

Andando a sostituire:

M^(A)(S) + M^(A)(X) = 0 → -29,81 + X = 0 → X = 29,81 KNm

Nell’ipotesi in cui la forza X sia applicata nel baricentro delle paretine A B, il suo modulo aumenta o cala?

Se X fosse applicata nel baricentro la forza deve essere più grande rispetto a quella determinata in corrispondenza delle bave della paretina, perché si andiamo a scrivere l’equilibrio alle rotazioni si ha un braccio diminuito e quindi serve una spinta maggiore per tenere in equilibrio le paretine: più precisamente la forze raddoppia.

M^(A)(S) = -S · b_s = -S · (Y_c - d_i) = -56,25 (2,53 - 2) = -29,81 KNm

M^(A)(X) = X · b_x = X · ^d2/₂ = X · 0,5 KNm

Andando a sostituire:

M^(A)(S) + M^(A)(X) = 0 → -29,81 + X · 0,5 = 0 → X = ^29,81/_0,5 = 59,62 KNm

ESERCIZIO 4 - SPINTA SU PARETE INCLINATA

Dati:

• δ = 9806 N/m³ → 9,81 kN/m³
• h = 2 m
• L = 1 m
• α = 45°

Tracciare i diagrammi delle pressioni agenti sulla parete AB.

Determinare il modulo del tiro T applicato alle parete nel punto B, necessario per mantenere l'equilibrio.

Calcolo delle spinte sulla parete:

S = ρg · A = (δ ^h/₂) · (^h/_√2 · L) = (9,81 · ²/₂) · (²/_√2 · 1) = 9,81 · 2√2 = 27,75 kN

Calcolo del centro di applicazione delle spinte (braccio):

bs = 1/₃ · ^h/_√2 = 1/₃ · 2√2 = ^2√2/₃ = 0,94 m

Calcolo del tiro T:

Equilibrio alla rotazione: ΣM^(A) = 0 → ΣM^(A) = M^(A)(S) + M^(A)(T) = 0

M^(A)(S) = S · bs = 27,75 · 0,94 = 26,09 kN m

M^(A)(T) = -T · h _cosα/^senα = -T · h · cotgα = -T · 2 · 1 = -2 T kN m

Andando e sostituire:

M^(A)(S) + M^(A)(T) = 0 → 26,09 + 2T = 0 → T = ^-26,09/₂ = 13,05 kN

Esercizio 9: Spinta su parete inclinata

Dati:

• γ = 9810 N/m³ = 9.81 kN/m³
• AB = 0.9 m
• b = 0.3 m
• b_p = 0.2 m
• P = 9810 N = 9.81 kN
• β = 60°

Determinare l'altezza h affinché la portiera si apre

• Calcolo della spinta:
• S = P_G A = δ h_G (AB + b) = δ (h - 0.39) (0.9+1.2) = 10.59 h - 4.13 kN
• h_G = ((OB - GB) sen φ = (OB - AB / 2) sen φ = (h / 2) sen φ = (h / sen 60°) / 2) = h - 0.39 m
• Calcolo del punto di applicazione della spinta:
• y_G = b_G (h - 0.39) / sen 60°= 1.15 h - 0.45 m
• A = AB·b = 1.08 m²
• J_x = b·AB³ / 12 = 1.2·0.9³ / 12 = 0.073 m
• y_c = y_o + J_x / A·y_G = (1.15 h - 0.45) + 0.073 / 1.08 = 1.15 h - 0.45 + 0.073 / 1.24h - 0.45
• Calcolo dell'altezza h:
• Equilibrio alla rotazione - ΣM^(A) = 0 - M^(A)(S) + M^(A)(P) = 0
• AC - YC - OA = YC - (OB - AB) = (1.15h - 0.45 + 0.073 / 1.24h - 0.9)·(AB / sen 60°)·0.9 =
• = 1.15h - 0.45 + 0.073 / 1.24h - 0.9
• H^(A)(S)·AC = (10.59 h - 4.13)·(0.5 + 0.073 / 1.24h - 0.9)=
• = 10.59 (h - 0.39)·(0.5 + 0.073 / 1.24h - 0.9) =
• = 4.77 (h - 0.39) + 0.77 (h - 0.39) / 1.24 (h - 0.39) = 4.77h - 1.86 + 0.62 =
• = 4.17h - 1.24 kNm

Esercizio 13: Spinta su parete curva

Dati:

• γ = 9800 N/m³ = 9,81 kN/m³
• L = 6 m
• h₁ = 3 m
• h₂ = 4 m
• s = 0,5 m

Determinare il modulo e la direzione delle spinte nella parete a destra circolare lunga L.

In base agli elementi geometrici noti è possibile risalire al valore del raggio e dell'angolo β.

• r · sen β = s = 0,5 m
• r · cos (60° - β) = OC = 4,5 m
• 0,5 / sen β cos (60° - β) = 4,5

1 / sen β (cos (60) cos (β) + sen (60) sen (β)) = 9

1 / 2 sen (β) (cos (β) + √3 / 2 sen (β)) = 9 → cotg β = 16,27 → tg β = 0,06 → β = 3,51°

Calcolo delle spinte utilizzando l'equazione globale di equilibrio dinamico:

• G + T₀ + T_A = 0 dove S = T₀
• G = γ · V_ABO - γ · V_ABEO = 9,81 · (10,1,85 - 100,12) = 46,0 kN
• V_ABO = 1/12 π r² · 6 = π (8,17)² · 6 = 10_u,85 m³
• V_AHBO = 1/2 AB · OH · 1 / 2(r · sen 15°) (r · cos 15°) 6 = 100,12 m³
• T_A = γ h_t A = γ h_t (AB · L) = 9,81 · 50 / 1 (2 r · sen (15) · 6) = 12,5,87 kN

h_t = γ · sen (15) cos (150 - 75 + β) + h_n = 9,81 · sen (15) cos (48,5) + 3 = 50_u4_lm

S_o = T_i · sen (75 - β) = 12_s,5,87 · sen (7, + β) = 118_u,12 kN

S_v = G + T_i cos (25 - β) = 46_t,0 + 12_s,5,87 · cos (74, + β) = 64_s,53 kN

Esercizio 14 - Spinta su parete curva

Dati: X₁ = 7,85 kN/m³ X₂ = 9,81 kN/m³ h₁ = 1 m h₂ = 0,5 m CD = AB = 0,6 m BC = 0,3 m l = 1 m

Determina le spinte agente nella superficie AB e quella agente nella superficie CD.

Siccome ci siano 2 fluidi... il primo cosa da fare è collocare il piano dei carichi idrostatici del fluido superiore, così il piano a cui si annullerano le presioni del fluido sottostante, andando ad inserire un piezometro nel fluido 2.

• P_T = X₁h₁
• P_T = X₂h₂

P_T = P_T = 8h₁h₂ + 2h₂h₂ - h₁h₂ + 0,80 m

P_T = X₂h₂

Effondamento calcolani questo caso perché x abbiamo il piano dei carichi idrostatici a X₂ poniamo totalmente quanso che abbiamo 2 fluidi... diversi, e quindi poniamo andare a considerare un subark equibalante in cui ora abbiamo 2 fludu ma un solo fluido X₂ che poniamo considerere a pressione atmosferica che part da questo piano di carichi idrostatoici.

• Calcolo delle spinte
• Equazione globale di equilibrio statico

G + T - S = 0

S_AB + G_AB + T_AB