Esercizi Idraulica T - Parte 3

Dati

Q = 8 m³/s moto uniforme

Scarpate simmetriche: l_x/l_y = 2/1 = tg α

X = 1,9 m^1/2/s

I = 1/1600

B = 3,6 m

• Progettare l'altezza delle sponde dell'alveo portando un franco di 30 cm.
• Determinare l'altezza critica della corrente Y_c.

Determinazione dell'altezza delle sponde

a) Per determinare l'altezza delle sponde occorre determinare l'altezza del pelo libero a cui poi si aggiunge l'altezza del franco di 30 cm. Per calcolare Y_o si usa l'equazione di Chezy:

Equazione di Chezy: Q = XA√(RI)

Siccome si tratta di un trapezio isoscele per calcolarne l'area:

A = (B+b)⋅Y_o/2

b = B + 2 l_x

Per come è stato disegnato l'angolo: tg α = l_x/l_y

Quindi:

b = B + 2 l_x = B + 2 (2 l_y) = B + 2 (2 Y_o) = B + 4 Y_o

A = (B+b)⋅Y_o = (B + B + 4 Y_o)⋅Y_o/2 = 2B + 4 Y_o⋅Y_o/2 - (B + 2 Y_o)⋅Y_o

Una volta ricavata l'area A manca il raggio idraulico R:

R = A/P_B

P_B = B + 2 √(5 Y_o)

l = √(l_x² + l_y²) = √(2 l_y) + l_y² = √5 l_y = √5 Y_o

Quindi:

R = A/P_B = (B+2 Y_o)⋅Y_o/B + 2 √5 Y_o

Dati

Q = 8 m³/s moto uniforme

Scarpate simmetriche: l_x/l_y = 2/1 = tg α

X = 1,9 m^1/2/s

I = 1/1600

B = 3,6 m

• Progettare l’altezza delle sponde dell’alveo portandole un franco di 30 cm.
• Determinare l’altezza critica della corrente y_c.

Determinazione dell'altezza delle sponde

a) Per determinare l’altezza delle sponde occorre determinare l’altezza del pelo libero a cui poi si aggiunge l’altezza del franco di 30 cm. Per calcolare y_o si usa l’equazione di Chezy:

Equazione di Chezy = Q = XA√R/i

Siccome si tratta di un trapezio isoscele per calcolare l’area:

A = (B + b)·y_o / 2

b = B + 2 l_x

Per come è stato disegnato l’angolo tg α = l_x/l_y = 2 → l_x = 2y_o

Quindi:

b = B + 2 l_x = B + 2 (2 l_y) = B + 2 (2 y_o) = B + 4 y_o

A = (B + b)·y_o = (B + B + 4 y_o)·y_o = (2B + 4 y_o y_o)/2 = (B + 2 y_o)·y_o

Una volta ricavate l’area A, manca il raggio idraulico R:

R = A/P_B

P_B = B + 2 l = B + 2 (√5 y_o)

l = √(l_x² + l_y²) = √(2 l_y)² + l_y²) = √ 5 l_y = √ 5 y_o

Quindi:

R = (B + 2y_o)·y_o/(B + 2√5 y_o)

Adesso si hanno tutte le grandezze meccaniche per esplicitare il tirante visto che la portata è nota per cui usando l’equazione di Chezy:

Q = X A √R i^1/2 → Q = X [(B + 2Y)Y]_o (B + 2Y_o) i^1/2

Q = X [(B + 2Y)_o) Y]_o]^1+1/2 {(B + 2.5 Y_o)^1/2 i^1/2 }

Q = X [(B + 2Y)_o) Y]_o]^3/2 {(B + 2.5 Y_o)^1/2 i^1/2 }

8 = 1,225 [(3,6 + 2Y)_o) * 1]^3/2 (3,6 + 4.7 * 0.4)^1/2 (1/1600)^1/2

8 = 1,225 (3,6 Y_o + 2 Y_o)^3/2 (3,6 + 4,7 + Y_o)^1/2

La risoluzione dell’equazione di Chezy avviene per tentativi e di note per portate basse (5 - 20 m³/s), è bene partire da uno Y_o di circa 1m

Y_o⁽¹⁾ = 1 m

8 = 1,225 (3,6 1 + 2 1 )^3/2 (3,6 + 4,7 1 )^1/2 → 8 = 5,71

Il valore di secondo tentativo dovrà essere più alto del precedente perchè il termine di destra deve crescere per avvicinarsi e 8

Y_o⁽²⁾ = 1,2 m

8 = 1,225 (3,6 1,2 + 2 1,2 )^3/2 (3,6 + 4,7 1,2 )^1/2 → 8 = 7,90

Questo può essere considerato un’approssimazione accettabile, quindi si può accettare che il tirante idrico di moto uniforme sia Y_o = 1,2 m, da questo si può dire che l’altezza in verticale delle sponde dovrebbe essere di 1,5 m (Y_o +0,30cm).

Determinazione dell'altezza critica

b) L’altezza critica è quel valore che rende ± un minimo, quindi per risolvere il problema si deriva in Y l’equazione di E e la si pone uguale a 0

E (Y) = Y + U² / 2g (Q = cost.) →