Esercizi frontiera efficiente

Correlazione e diversificazione degli investimenti

Se la correlazione (ρ) tra due investimenti è 1, allora i due investimenti sono perfettamente correlati positivamente. Entrambi gli investimenti sono efficienti secondo il criterio della media-varianza e il portafoglio di minima varianza coincide con l'investimento A.

Se la correlazione (ρ) è 0, i due investimenti non sono correlati tra loro e ρ < ρ*. Si applica il principio di diversificazione e il portafoglio di minima varianza avrà una varianza inferiore a min(σ_A², σ_B²) = 1 e un rendimento atteso compreso tra min(μ_A, μ_B) = 2 e max(μ_A, μ_B) = 4. Per trovare il portafoglio di minima varianza, si ricava l'espressione della varianza del portafoglio σ² = α²σ_A² + 2α(1-α)ρσ_Aσ_B + (1-α)²σ_B², dove α rappresenta la quota di ricchezza investita nel titolo A. Nel caso dell'esercizio si ha: σ² = 0.8σ_A² + 4(1-0.8)σ_B². Derivando rispetto a α e annullando la derivata si ottiene: α = 0.8. Il rendimento atteso è

Dato da μ = αμ + (1 - α)μ = 2α + 4(1 - α) = 4 - 2α. La varianza minima, infine, è pari a σ = αp2 + 4(1-α) = 0.8.

Se ρ = -1, i due investimenti sono tra loro correlati perfettamente negativamente correlati ed è possibile costruire il portafoglio privo di rischio (con varianza nulla). La varianza di portafoglio risulta σ = [ασA^2 + (1-α)^2σB^2] = [3α-2]; annullando l'espressione della varianza di portafoglio si ottiene: α = 2/3; il rendimento atteso è dato da μ = αμA + (1 - α)μB = 2α + 4(1 - α) = 8/3. La varianza minima, infine, è pari a σ = 0.

Se ρ = -1, la frontiera efficiente è data dalla semiretta che unisce il titolo certo (portafoglio di minima varianza) e il titolo B (essendo il titolo A dominato dal portafoglio di minima varianza).

Esercizio n. 3

Sul mercato sono trattati due titoli rischiosi e il titolo certo. Siano μ = 2, σ = 4 e μ = 3, σ = 9 i rendimenti attesi e le varianze dei titoli rischiosi; sia, invece, r = 1 il rendimento del titolo certo.

1. Ipotizzando una correlazione ρ = -1/2 tra i titoli rischiosi, determinare la composizione del portafoglio di minima varianza composto dai due titoli rischiosi.
2. Ricavare l'espressione della frontiera efficiente ottenuta combinando il secondo titolo rischioso e il titolo certo e verificare come si colloca il primo titolo rispetto alla frontiera efficiente così determinata.

Soluzione

1. Il principio di diversificazione del portafoglio vale se ρ < ρ* = min(σ1 σ2)/max(σ1 σ2) = 2/3. Poiché si ha ρ = -1/2, vale il principio di diversificazione del portafoglio.

p2 2 12 2 22L'espressione della varianza di portafoglio è data da σ = α σ + (1-α) σ +2ρ α(1-α) σ σ dove α rappresenta la quota di ricchezza investita nel primoA B p2 2titolo. Nel caso dell'esercizio si ha : σ = 19 α - 24 α + 9; derivando rispetto a*α e annullando la derivata I si ottiene: α = 12/19 = 63.15%; il rendimento*atteso è dato da μ = α μ + (1 -α) μ = 2 α + 3 (1 -α) = 3 -α e, quindi, μ =p 1 2 p* * p23 - α = 45/19 > min(μ μ ) = μ = 2. La varianza minima, infine, è pari a σ =1, 2 127/19 < max(σ σ ).1, 22. La frontiera efficiente ottenuta combinando il secondo titolo e il titolo certo èdata: μ = r + [(μ – r) / σ ] σ = 1 + [(3 – 1) / 3] σ = 1 + 2/3 σ . Ilp 2 p p p2portafoglio efficiente con scarto quadratico medio σ =2 (pari, quindi, allo scartopquadratico medio del primo titolo) ha rendimento atteso μ = 1

+ 2/3 *2=7/3p> μ = 2. Pertanto. il primo titolo non è efficiente.

Esercizio n. 4

Sul mercato sono trattati due titoli rischiosi con rendimento atteso, rispettivamente, μ = 12% e μ = 8% e varianza, rispettivamente, σ = 16% e σ = 4%. Sia ρ = -1 il coefficiente di correlazione.

1. Determinare il portafoglio di minima varianza e ricavare l'equazione della frontiera efficiente.
2. Stabilire se l'investimento con rendimento atteso 9,5% e varianza 14% è efficiente.

Soluzione

1. Poiché il coefficiente di correlazione è ρ = -1 vi è perfetta correlazione negativa tra i due titoli rischiosi. Quindi, è possibile costruire il portafoglio privo di rischio (varianza nulla) combinando opportunamente i due titoli rischiosi. In particolare, si ha: σp2 = [ασ1^2 + (1-α)σ2^2] = [0,4α - 0,2(1-α)] da cui si ottiene σp2 = 0 se e solo se α = 33,33%; poiché il rendimento atteso di un portafoglio

è dato da:  =   + (1 -)  = 0,12  + 0,08 (1 - ) = 0,04  + 0,08,p 1 2sostituendo  = 33,33% otteniamo che il rendimento del portafoglio privo dirischio risulta: r = 9,33%. L’equazione della frontiera efficiente si ottienecombinando il portafoglio privo di rischio con il primo titolo (il secondo titolo,infatti, è dominato dal titolo privo di rischio secondo il criterio media-varianza): = r + [( – r) / ]  = 0,0933 + [0,12 – 0,0933) / 0,4]  = 0,0933 +p p p0,067 p p22. Il portafoglio efficiente con varianza  = 14% ha rendimento attesodell’11,82%; pertanto l’investimento con rendimento atteso 9,5% non èefficiente.

Esercizio n. 5

Si considerino un investimento aleatorio con rendimento atteso  = 7 e1varianza  = 16 e il titolo certo con rendimento r = 4.12a) Ricavare l’espressione della frontiera efficiente.b) Stabilire se un investimento con rendimento atteso  = 5,5 e2varianza

fi = 10 è efficiente.

Soluzione1. fi = [(fi - r) / fi ] fi + r = ¾ fi + 4p 1 p p1

2. non è efficiente in quanto il portafoglio efficiente con rendimento 5,5 ha varianza pari a 4 (che si ottiene sostituendo 5,5 = ¾ fi + 4 da cui fi = 2 e fi = 4).p p p

Esercizio n. 6

Sul mercato sono trattati due titoli rischiosi con rendimento atteso e varianze, rispettivamente, fi =12% fi =9% e fi =8% fi =4%.12 221 21.

1. Ipotizzando un coefficiente di correlazione fi = -1, determinare il portafoglio di minima varianza e ricavare l’espressione della frontiera efficiente.

2. Stabilire se l’investimento con rendimento atteso fi=10% fi=8% è efficiente.

Soluzione1. α = 2/5; r = 9,6%; fi = r + [(fi - r) / fi] fi = 9.6% + 8% fi .p fi p p

2. L’investimento proposto non è efficiente.

Esercizio n. 7

Sul mercato sono trattati un investimento rischioso A con rendimento atteso fi =3 e varianza fi = 9, e

l'investimento privo di rischio B con rendimento atteso r = 1.2a 01. Ricavare l'espressione della frontiera efficiente ottenuta con i due titoli A e Bconsiderati.

Calcolare rendimento atteso e composizione del portafoglio efficiente con2. varianza σ = 4.2

Soluzione

1. μ = [(μ – r) / σ ] σ + r = 2/3 σ + 1p a p pa

2. il portafoglio efficiente con varianza pari a σ = 4 (e, quindi σ= 2) ha2rendimento atteso μ = 2/3*2+1 = 7/3. La composizione può essere ricavatapdall'espressione che definisce la varianza del portafoglio in funzione dellap2 2 2 2quantità investita nel titolo rischioso: σ = α σ = 9 α da cui si ricava : αa= σ / 3= 4/3. Il portafoglio prevede quindi di investire 4/3 nel titolo rischioso,pfinanziandosi per 1/3 nel titolo certo.

Esercizio n. 8

Si considerino l'investimento aleatorio X con rendimento atteso μ= 3 evarianza σ e l'investimento privo di rischio con rendimento r = 1.2 = 4

1. Ricavare

L'espressione della frontiera efficiente.

2. Individuare la composizione, rendimento atteso e varianza del portafoglio che massimizza l'utilità attesa di un investitore con funzione di utilità u(t)2= 4 t - t .

Soluzione

1. Il rendimento atteso di un portafoglio composto da α del titolo rischioso e (1-α) del titolo certo ha rendimento atteso e varianza, rispettivamente, pari a μ = 3α^2 + (1 - α) = 2α + 1 e σ = ασ = 4α; ricavando α dalla seconda equazione e sostituendo nella prima otteniamo l'espressione della frontiera efficiente in presenza del titolo certo: μ = r + [(μ - r) / σ] σ = 1 + σp p^2 p^2 2 p^2
2. E[u(portafoglio)] = 4μ - [σ + μ] = 4(1 + σ) - [σ + (1 + σ)] = -2σ + σ^2 + 3; la volatilità di portafoglio che massimizza l'utilità attesa si ottiene imponendo che sia nulla la derivata I dell'utilità attesa rispetto a σ: -4σ + 2p*

0 da cui si ottiene σ = 1/2. Sapendo che σ = 4 α ricaviamo α = 1/8 e da μp p p* = 1 + σ si ottiene μ = 1 + σ = 3/2p p p

Esercizio n. 9

Sul mercato sono trattati un titolo rischioso con rendimento atteso μ = 10 e varianza σ = 16 e il titolo certo con rendimento r = 5.121. Ricavare l'espressione della frontiera efficiente

Considerando un investitore con funzione di utilità quadratica u(t) = 12 t^2 - t, determinare la composizione del portafoglio che massimizza l'utilità attesa dell'investitore.

Soluzione

1. μ = r + [(μ - r) / σ] σ = 5 + 5/4 σ .p p p*
2. α = 5/26.

Esercizio n. 10

Si considerino due investimenti aleatori con valore atteso, rispettivamente, μ = 1 e μ e varianza, rispettivamente, σ e σ = 16.21 225 = 7 = 42 1. Sia r = 1 il tasso free-risk. Confrontare le frontiere efficienti che si ottengono combinando ciascuno dei due titoli con il titolo certo.

Come al punto precedente ma ipotizzando r =

1. 4.2.Soluzione

        1. ; poiché la– –= r + [( r) / ] * = 1 + 2 e = r + [( r) / ] * = 1 + 3/2p 1 1 p p p 2 2 p pprima retta ha coefficiente angolare maggiore della seconda, giace sempresopra la seconda e pertanto è preferibile (il coefficiente angolare della rettarappresenta)