Esercizi frontiera efficiente

Esercizi su teoria di portafoglio

Esercizio n. 1

Due investimenti aleatori hanno media e varianza, rispettivamente, pari a  1=1,  = 2 e   =4 e coefficiente di correlazione  = 0.12 22=21. Calcolare il portafoglio di minima varianza.

Calcolare la composizione e il rendimento atteso del portafoglio con  = 3.2

Soluzione

La varianza di un portafoglio composto da due titoli rischiosi è data da:  = ²_1² + (1-)²_2² + 2(1-)₁₂ dove  rappresenta la quota di ricchezza investita nel primo titolo.

Nel caso dell’esercizio si ha:  = 4[ + (1-)]

Derivando rispetto a  e annullando la derivata si ottiene:  = ½; il rendimento atteso è dato da  = ₁ + (1 -)₂ =  + 2 (1 -) = 2 -  e, quindi,  = 2 -  = 2 - ½ = 3/2.

La varianza minima, infine, è pari a  = 4[ + (1-)]

Imponendo  = 4[ + (1-)] = 3 e risolvendo rispetto a , si ottengono due soluzioni  = 85,36% e  = 14,64% che identificano i due portafogli con _p = 3 e rendimenti attesi, rispettivamente,  = 2 – 0,8536 = 1,15 e  = 2 – 0,1464 = 1,85; solo il secondo portafoglio è efficiente perché a parità di varianza offre un rendimento atteso maggiore.

Esercizio n. 2

Si considerino due investimenti aleatori A e B con valore atteso, rispettivamente, _A = 2 e _B = 4 e varianza, rispettivamente, _A² = 1 e _B² = 4.

1. Calcolare il portafoglio di minima varianza nelle ipotesi che il coefficiente di correlazione lineare sia  = 1, oppure  = 0 oppure  = -1.

2. Nel caso  = -1, ricavare l’espressione della frontiera efficiente.

Soluzione

Il principio di diversificazione del portafoglio vale se  < _min = 1. min(_A², _B²) / max(_A², _B²) = 1/2.

Se  = 1 i due investimenti sono tra loro perfettamente positivamente correlati, con  > _min. I due investimenti sono entrambi efficienti, in base al criterio media varianza, e il portafoglio di minima varianza coincide con l’investimento A.

Se  = 0 i due investimenti non sono tra loro correlati e  < _min. Vale il principio di diversificazione; pertanto, il portafoglio di minima varianza avrà varianza minore di min(_A², _B²) = 1 e rendimento atteso compreso tra min(_A, _B) = 2 e max(_A, _B) = 4.

Per trovare il portafoglio di minima varianza, ricaviamo l’espressione della varianza di portafoglio _p² = ²_A² + (1-)²_B² + 2(1-)_A_B dove  rappresenta la quota di ricchezza investita nel titolo A. Nel caso dell’esercizio si ha: _p² = ² + 4(1-)²; derivando rispetto a  e annullando la derivata si ottiene:  = 0.8.

Il rendimento atteso è dato da _p = _A + (1 - )_B = 2 + 4(1 - ) = 4 - 2 e, quindi, _p = 4 - 2 = 2.4. La varianza minima, infine, è pari a _p² = 0.8.

Se  = -1, i due investimenti sono tra loro correlati perfettamente negativamente ed è possibile costruire il portafoglio privo di rischio (con varianza nulla). La varianza di portafoglio risulta _p² = [_A² - (1-)_B²] = [3-2]² ; annullando l’espressione della varianza di portafoglio si ottiene:  = 2/3.

Il rendimento atteso è dato da _p = _A + (1 - )_B = 2 + 4(1 - ) = 4 - 2 e, quindi, _p = 4 - 2 = 8/3. La varianza minima, infine, è pari a _p² = 0.

Se  = -1, la frontiera efficiente è data dalla semiretta che unisce il titolo certo (portafoglio di minima varianza) e il titolo B (essendo il titolo A dominato dal portafoglio di minima varianza). L’espressione della frontiera efficiente è data da: _p = r + [(_B – r) / _p²] _p² = 8/3 + [(4 – 8/3) / 2] _p² = 8/3 + 2/3 _p².

Esercizio n. 3

Sul mercato sono trattati due titoli rischiosi e il titolo certo. Siano ₁ = 2, ₁² = 4 e ₂ = 3, ₂² = 9 i rendimenti attesi e le varianze dei titoli rischiosi; sia, invece, r = ...