Esercizi energia e lavoro

Es. Seide

Esercizio Slide 21 Es. 16

P = 300 g; g = 9.81 N

V₁ = 4 m/s

V_F = ?

• V_X1 → Θ = 0°
• V_X2 → Θ = 90°
• V_X3 → Θ = 90°

Moto Parabolico

x(t) = v_0x t

y(t) = -½gt² + v_0y t + y₀

Caso 1 → Θ = 0°

x(t) = v_X · t

y(t) = -½gt² + h

Caso 2 → Θ = 90°

x(t) = 0

y(t) = -½gt² + v_X · t + y₀

Caso 3 → Θ = 90°

x(t) = 0

y(t) = -½gt² - v_X · t + h

Impongo y(t) = 0 e trovo v_XF.

Altro modo per risolvere è usare le Energie.

E_M^fin = E_M^iniz

E_C^fin + mgh_f = ½ mV_f²

E_M^fin = E_C^fin + E_P^fin

→ ½ mV_i² + mgh = ½ mV_f²

V_F = √(V_i² + 2gh) (non dipende dagli angoli Θ)

V_F = √((4 m/s)² + 2(9.81 m/s² · 30 m)) = 24.6 m/s

Esercizio (slide 23 cap-16)

R = 4 m

Non attrito

Vmin affinché il carrello compia il "giro della morte" senza staccarsi dai binari

In B:

Rv = R v û

R + P = m · ã

• Rv = m v²/R û
• P = mg û
• ã = v²/R û (acc. centripeta)

Rv û + mg û = m · v²/R û

Rv = mv²/R  - mg > Ø → v² > mg · R/m → Vmin² > g · R

Non ci sono attriti, inoltre P non fa lavoro →

EM^A = E_C^A + E_P^A = ½ mV_A² + Ø = ½ mV_A²

EM^B = E_C^B + E_P^B = ½ mV_B² + 2Rmg

→ ½ mV_A² - ½ mV_B² + 2Rmg → V_A² = V_B² + 4Rg

→ V_A² > gR + 4Rg/gR → V_A > √5gR

→ V_min,A > √5gR

ESERCIZIO

m = 95 kg

l = 1 m (filo inestensibile)

φ = 60°

direzione vento orizzontale

Calcolare:

1. compito del vento
2. Tensione del filo
3. v del vento sapendo che _F = K_v² con K = √3·10² kg/m

a) Non posso usare la conservazione dell'EM, in quanto non tutte le comp_F è conservativa → uso TEOREMA delle FORZE VIVE

L_Tot = L_i = L_p + L_F + L_?^?L_Fin inizialeVariazione di E_c

1/2 m v_F² - 1/2 m v_iniz² = ∅

L_FA = V_A - V_B m g V_A m g h_B ∅ = m g l (1+cos60º) ∅

L_? = ∅ (rimane sempre 1 a ds) = ∫_i^fds = ∅

L_ito = L_p + L_F^? + L_F^? → L_F = L_ito - (L_p + L_F) = - L_p

L_F = - m g l(cos60º - 1) = 2,45 ∅

b)

• ∑_F^x = ∅ T·sinφ - F = ∅ T·sinφ E_?
• ∑_F^y = ∅ T·cosφ - P = ∅ T·cosφ - P

T = - _P/^cosφ + 0,5 9,81 - ₁/² 0,5 98,1 = 9,81 N

F = T·sinφ - 9,81 - 9,5 4,9 N

c)

^F = K - v² - ^v = ^F/_K = ^A](9/_√3·10² = 16,8 m/s

ESERCIZIO

F(x,y,z) = αz²î - βĵ + 2αxz k̂

a) Dimensioni fisiche di α e β

b) Se il campo è conservativo e nel caso calcolare il φ in un punto P(x,y,z)

c) Il lavoro compiuto dalle forze quando sposta il pt di applicazione da A(2,0,-1) a B(0,1,1)

[α] = [F] [L]¹ [T]^-2 ➔ u.d.m. = kg/m · s² = N/m²

[β] = [F] = N = kg m/s²

b) ∇ x F = [ î️ ĵ️ k̂️ ] [ ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z ] [ F_x F_y F_z ] = [ F_x = αz² F_y = -β F_z = 2αxz ]

Loc = V(0,1,0) - V(x,y,z)

Loc = ∫_x0^∞ F_x dx + ∫_y0^y F_y dy + ∫_z0^xyz F_z dz = ∫_x0^∞ αz² dx + ∫_y0^y - β dy + ∫_z0^xyz 2αxz dz = [ αz² x ]_∞^x - [ βy ]_y0^y + [2αx² z]_z0^xyz

= αz²x - βy + αxz² - βy = 2αxz² - βy

⇒ 2αxz² - βy - V(x,y,z) → V(x,y,z) = βy - 2αxz²

V(2,0,-1) = -2α · (2)(1) = -4α

V(0,1,1) = β - φ = β

L_AB = V(A) - V(B)

L_AB = -4α - β

ESERCIZIO

M = 3.4 Kg

h = 4.9 m

ν_i = 6 m/s

ν_F = 5 m/s

Determinare il lavoro fatto dalla resistenza dell'aria.

Sul corpo agiscono la forza peso e la resistenza dell'aria:

l'ora non conserv.

Lnc = E(B) - E(A)

E(B) = E(F) = Te + V_F = (1/2 Mν_F² + ϕ) = (1/2 Mν_E² + 1/2 3.4 5² = 42.5 J

E(A) eE(I) = Ti + V_i = (1/2 mν_i² + (mgh) + (1/2 3.4 6²) + (3.4 9.81 4.9) = 224.5 J

=> Lnc = E(B) - E(A) = 42.5 J - 224.5 J = - 182 J

Il lavoro fatto da una forza di attrito è negativo E(B) – E(A) poiché le forze di attrito fanno dissipare l’energia.

ESERCIZIO

M = 0.42 Kg

h₁ = 4.2 m

V₁ = 4 m/s

h₂ = 2 m

V₂ = 1 m/s

La perdita di energia è data da:

ΔE_M = EM_f - EM_i

EM_f = T(f) + V(f) = (1/2 Mν_f² + Mgh₂

EM_i = Ti(i) + V(i) = (1/2 Mν_i² + Mgh₁

ΔE_M = _{MνF² + Mgh² - 1/2 Mνi² - Mgh1 =}

= 1/2 (0.42) (1)² + (0.42 9.81 . 2) - (0.5 . 42 . 42²) - (0.42 9.81 . 1.2) =

= 0.21 + 8.24 - 3.36 - 4.94 = 0.15 J

(v₀ cosα)·T = d

2v₀² · (sin 2α) / g = d

sin 2α = dg / v₀²

sin 2α = 50·9.81 / (30 m/s)² = 0.545

2α = arcsen (0.545) → α ≈ 16.5°

T = 2 · 30 · sin(16.5) / 9.81 = 1.74 s

ESERCIZIO

F(x,y,z) = αy²i + (2αxy - βz³)j - 3βy²zk

1. determinare:
   1. dimensioni delle costanti α e β.
   2. se il campo è conservativo e nel caso calcolare il Ep.
   3. lavoro fatto fare Fz_c quando sposta Pz di applicazione da R(0,2, -2) a S(1,3,-1).

a) F_x = αy² → F — α = N/m² - - → m/s² = [ML^-1T^-2]

y² = N/m = kg·m/s²

y² = β

y² = N · m · n² = m³ = [ML^-2T^-2]

b) F_x = αy² F_y = 2αxy - βz³ F_z = -3βy²z

∇ × = | i j k |

| ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z | = ( ∂F_z/∂y - ∂F_y/∂z )i + ( ∂F_x/∂z - ∂F_z/∂x )j +

| F_x F_y F_x F_y |

= (-3βz² + 3βz²)i + (0-0)j + (2αxy - 2αy)k = 0φ = 0 → F_n , il campo è conservativo

L_op = ∫ F_x d_x + ∫ F_y d_y + ∫ F_z d_z = ∫ x→00 F_x dx + ∫ y→00 x₀₀ F_y d_y + ∫ z→yz x₀₀ F_z dz =

= ∫ x→00 αy² dx + ∫ x→00 y₀₀ (2αxy - βz³ d_y + ∫ x→zz y₀₀ -3βy² z dz = [αy² x]_{y → 00} x⁰⁰ + [αxy² - βz³ y]^xy2 x^yz +

+ [-3β y² z³/₃] x^yz y⁰⁰ + [αxy²]

- V_(1,y,z) = - L_op → V(x,y,z) = αxy² + βy²z³

c) L_RS = V(R) - V(S) = -16 β + 8 α x + 3 β - 13 β = 9 α