Esercizi energia e lavoro

Es. sedia

ESERCIZIO SLIDE 21

P = 300 g; g = 2943 N

v_i = 4 m/s

v_f = ?

MOTO PARABOLICO

x(t) = v_0x t

y(t) = -¹/₂ g t² + v_0y t + y₀

CASO 1 - θ = 0°

x(t) = v t

y(t) = -¹/₂ g t² + h

CASO 2 - θ = 90°

x(t) = 0

y(t) = -¹/₂ g t² + v_i t + y₀

CASO 3 - θ = -90°

x(t) = 0

y(t) = -¹/₂ g t² - v_i t + h

Attendo modo per ricordare è ricordare le Energie.

E_M^fin = E_M^iniz

E_M^fin = E_C^fin + E_P^fin = ¹/₂ m v_f² + mg h

E_M^iniz = E_C^iniz + E_P^iniz = ¹/₂ m v_i² + 0

v_f = √(v_i² + 2 g h)

v_f = √((4 m/s)² + 2(9,81 m/s²) · 30 m) ≈ 24,6 m/s

ES. Seide

ESERCIZIO SLIDE 21

Moto Parabolico

x(t) = v_0xty(t) = -¹/₂gt² + v_0yt + y₀

Caso 1 - Θ = 0°

x(t) = v₀ty(t) = -¹/₂gt² + h

Caso 2 - Θ = 90°

x(t) = 0y(t) = -¹/₂gt² + v₀t + y₀

Caso 3 - Θ = -90°

x(t) = 0y(t) = -¹/₂gt² - v₀t + h

Alterno modo per rinverdere è utilizzare la Energia:

E_M^fin = E_M^inizE_M^fin = E_C^fin + E_P^fin = ¹/₂ m v_f² + mg hE_M^iniz = E_C^iniz + E_P^iniz = ¹/₂ m v_i² + 0

→ ¹/₂ m v_i² + mg h = ¹/₂ m v_f²

(¹/₂) v_i² + gh = (¹/₂) v_f²

v_f = √(v_i² + 2gh)

(non dipende dall'angolo Θ)

v_f = √((4 m/s)² + 2(9.81 m/s²)(30 m)) = 24.6 m/s

ESERCIZIO (slide 23 cap. 16)

R = 4 m

N_min affinché il carrello compia il "giro della morte" senza staccarsi dai binari.

In B

• Rv + p = m · a

• Rv = mv² / R
• p = mg
• a = v² / R (acc. centripeta)

Rv + mg = m · v² / R

Rv = mv² / R - mg > 0

→ v² > mg · R / m → v² > g · R

N_min per il completamento del giro della morte per effetto solo del proprio peso

Rv = 0

Non ci sono attriti, inoltre p non fa lavoro => E_M^A = E_M^B

• E_M^A = E_c^A + E_p^A = 1/2 mV_A² + 0 = 1/2 mV_A²
• E_M^B = E_c^B + E_p^B = 1/2 mV_B² + 2Rmg

- 1/2 mV_A² = 1/2 mV_B² + 2Rmg

→ V_A² = V_B² + 4Rg → V_A² > gR + 4Rg /gR

V_A > √5gR

Esercizio

V(x, y, z) = αy²

t₀ = 0 s → P(x₀, y₀, z₀) → V⃗₀ = V₀ ⁠i⁠

Determinare:

1. Forza a cui è soggetto il punto all'istante t₀
2. Eq. cartesiane del moto
3. Lavoro fatto dalla forza dell'istante iniziale a t₁ = ^V₀⁄₂ √^m⁄_2α

a) La forza in elettrostatica è il gradiente (cambiato di segno) dell'energia potenziale:

𝓽⃗ = -∇V

F_x = &MinusUpperDot;∂V/∂x = &MinusUpperDot;∂(αy²)/∂x = 0

F_y = &MinusUpperDot;∂V/∂y = &MinusUpperDot;∂(αy²)/∂y = -2αy

F_z = &MinusUpperDot;∂V/∂z = &MinusUpperDot;∂(αy²)/∂z = 0

𝓽⃗ = ^𝓴⃗⁄_m(0, -2αy/m, 0) →

b) 𝑛𝑥_x = 0

𝑛𝑥_y = ^−2α⁄_my

𝑛𝑥_z = 0

(eg. cartesiane dell'occ.)

lungo x e zl'acc. è nulla =Mot