Esercizi Calcolo Numerico

TUTORATO DI CALCOLO NUMERICO

Contenuti

• Fondamenti del calcolo scientifico. Sistema di numerazione e sistemi aritmetici. Errore assoluto ed errore relativo. Cifre decimali corrette e cifre significative corrette. Errori di arrotondamento. Troncamento semplice e arrotondamento simmetrico. Cancellazione numerica. Esercizi svolti. Esercizi proposti.
• Richiami sul calcolo matriciale. Matrici e operazioni tra matrici. Matrice trasposta. Matrice simmetrica. Determinante. Matrice simmetrica definita e semidefinita positiva. Matrice non singolare. Rango. Matrice inversa. Norma. Esercizi svolti. Esercizi proposti.
• Sistemi di equazioni lineari. Generalità sui metodi di soluzione: diretti e iterativi. Soluzione di sistemi triangolare superiori e inferiori. Algoritmo Backesot. Metodo di Gauss: procedura, decomposizione GA=LU, fattorizzazione PA=LU, algoritmo Factor e algoritmo Solve. Metodo di Choleski: procedura e algoritmo. Esercizi svolti. Esercizi proposti. Cenni sul condizionamento dei sistemi lineari. Metodi iterativi: procedura e cenni sulla convergenza. Metodo di Jacobi. Metodo di Gauss-Seidel e algoritmo Gseidel. Cenni sul metodo SOR.
• Autovalori e autovettori. Autovalori di matrici. Metodo delle potenze: autovalore di modulo massimo e minimo. Algoritmo Pow. Metodo delle potenze inverse: autovalore di nota approssimazione. Algoritmo Invpow. Cenni sulle trasformazioni di similitudine. Cenni sul metodo QR per il calcolo di tutti gli autovalori.
• Approssimazione di funzioni e dati sperimentali. Classi delle funzioni interpolanti. Criteri di scelta della funzione interpolante. Interpolazione polinomiale: metodo di Lagrange e metodo di Newton. Algoritmo Difdiv e algoritmo Interp. Interpolazione polinomiale a tratti. Spline e spline cubica. Algoritmo Spline e algoritmo Valspl. Approssimazione di dati. Minimi quadrati. Regressione lineare. Esercizi svolti. Esercizi proposti.
• Equazioni non lineari. Metodo di bisezione e algoritmo Bisezz. Regula falsi. Metodo di Newton o delle tangenti. Metodo delle secanti e algoritmo Secant. Confronto tra i diversi metodi. Criteri di arresto. Esercizi svolti. Esercizi proposti.
• Quadratura. Generalità. Formule di quadratura di base (Newton-Cotes): rettangolo, punto medio, trapezio, di Simpson. Formule di quadratura Gaussiane. Formule di quadratura composte. Tecniche di quadratura automatica. Esercizi svolti. Esercizi proposti.
• Equazioni differenziali ordinarie. Generalità. Condizioni di Lipschitz. Metodi espliciti a passo singolo e a passo multiplo. Metodo di Eulero. Metodi di Runge- Kutta.
• Temi d'esame. E' fornito il testo di tre prove di esonero.

Testo di riferimento

G. MONEGATO, 100 Pagine di ... Elementi di Calcolo Numerico, Levorotto & Bella, Torino, 1996.

SOMMARIO

• ESERCITAZIONE 1 ........................................................... pag. 1-1
• ESERCITAZIONE 2 ........................................................... pag. 2-1
• ESERCITAZIONE 3 ........................................................... pag. 3-1
• ESERCITAZIONE 4 ........................................................... pag. 4-1
• ESERCITAZIONE 5 ........................................................... pag. 5-1
• ESERCITAZIONE 6 ........................................................... pag. 6-1
• ESERCITAZIONE 7 ........................................................... pag. 7-1
• ESERCITAZIONE 8 ........................................................... pag. 8-1
• ESERCITAZIONE 9 ........................................................... pag. 9-1
• ESERCITAZIONE 10 ........................................................ pag. 10-1
• ESERCITAZIONE 11 ........................................................ pag. 11-1
• ESERCITAZIONE 12 ........................................................ pag. 12-1
• ESERCITAZIONE 13 ........................................................ pag. 13-1
• ESERCITAZIONE 14 ........................................................ pag. 14-1
• ESERCITAZIONE 15 ........................................................ pag. 15-1

La tecnica di arrotondamento simmetrico è più precisa di quella di troncamento semplice in quanto gli errori di round-off risultano dimezzati.

Precisione di macchina (eps)

È una costante caratteristica dell'aritmetica floating-point e della tecnica di round-off utilizzate. È la massima precisione di calcolo raggiungibile. È il più piccolo numero macchina (potenza di 2: eps = 2^-t) tale che 1+eps ≥ 1.

eps = max {ε ∈ F; f1(1+ε) ≥ 1}

CANCELLAZIONE NUMERICA

È una conseguenza della rappresentazione con precisione finita dei numeri reali e consiste nella perdita di cifre significative nel risultato della differenza tra due numeri quasi uguali.

Siano dati due numeri floating point a=p₁N^e e b=p₂N^e; le mantisse p₁ e p₂ abbiano più di i cifre, ma siano rappresentabili soltanto con i cifre. Se le mantisse p₁ e p₂ hanno le prime s cifre coincidenti, la mantissa p dell'operazione a-b, sottrazione tra i due numeri arrotondati a i cifre, ha soltanto le prime i-s cifre significative.

Esempio

5) F=6, N=10, arrotondamento simmetrico p₁=1.47554\overline{32}.10³ e p=1.47554.10³

• p₂=1.47252.10³ quindi
• p=(p₁-p₂=)>.302584

La cancellazione numerica è un problema insito negli operandi, mentre l’operazione di sottrazione amplifica soltanto gli errori di round-off degli operandi stessi.

Per evitare la cancellazione numerica a volte si può riformulare il problema in modo da non effettuare sottrazioni vere e proprie.

Esempio

6) L'equazione di secondo grado x²-2ax+b=0 ha soluzioni x₁=a+√(a²-b) e x₂=a-√(a²-b);

se |b|