Esame teorico Meccanica razionale

Capitolo 4 - Vettori

1. Terna levogira

Una terna di vettori non complanari (j, v, w) si dice levogira se, applicati i vettori in uno stesso punto è osservatore solidale alla terna con i piedi sul piano (j, v), e la testa verso w, vede che si compie una rotazione antioraria ruotando v verso w per sovrapporre j a sé, oppure j a w.

2. Componente e proiezione d'un vettore

La componente scalare p e la proiezione ortogonale P di un vettore U su una direzione di versore e sono:

p = U * ē

P = (U * ē) ē

3. Cosa rappresenta il prodotto misto di 3 vettori (per come si calcola)?

Prodotto misto au valore |(u x v) * w|, prodotto interno tra u x v e w rappresenta il volume del parallelepipedo formato dai 3 vettori applicati nello stesso punto se riconoscono terna levogira o opposto del volume se formano una terna destrogira.

Il prodotto misto è dato dal valore del determinante:

|Ū v w| |U1 V1 W1| |U2 V2 W2| |U3 V3 W3|

Nel caso i 3 vettori siano complanari il prodotto misto si annulla.

4. Regola di calcolo del doppio prodotto vettoriale

(u x v) x w = (u * w) v - (v * w) U

5. Quando il doppio prodotto vettoriale è associativo?

In generale per il doppio prodotto vettore non vale la proprietà associativa. È associativo se e solo se u x v sono paralleli oppure entrambi normali a w.

6. Come decidere che una terna di vettori è levogira?

Una regola pratica per stabilire se una terna è levogira è quella "della mano destra": per farlo si usano le dita della mano destra, pollice, indice e medio. Disponendo il pollice in modo che segua, verso la direzione di j, l'asse del primo vettore della terna, inclinando il suo braccio di v, secondo vettore, e il medio si dispone perpendicolarmente al palmo della mano seguendo w. Se il medio di rivolge verso il dito pollice si sovrappone nel senso antiorario, quindi la terna sosta è levogira. Se il medio è rivolto verso il basso la terna è destrogira.

7. Trasformazione delle componenti di un vettore a un punto

Una trasformazione di cambio di assi, è la sostituzione di un riferimento cartesiano (o j k) da un'altro (ŏ ŷ Σ) aventi la stessa origine. Le relazioni angolari tra i nuovi assi ŏ ŷ e i vecchi assi ij sono espresse dalle matrici:

ŏ i ŏ j ŏ k

ŷ i ŷ j ŷ k

Σ i Σ j Σ k

con Rik = cos (-Ĥ * Ŝi Sj)

Considero un vettore Ŵ con componenti Vn1, ..., V3 nella terna ŏ ŷ Σ:

Ŵ = Ŵ1 e1 + Ŵ2 e2 + Ŵ3 e3 e tengo conto che i Vn1-Ō val le sue componenti rispetto quelle terna o j k, le 3 componenti Dk x l si ottiene sommando le proiezioni dei vari componenti |m1x|kn1 al |ri uno la nuova direzione|Ō|

Capitolo 1.4 - Vettori

1. Terna levogira

Una terna di vettori non complanari (,,) si dice levogira se applicando i vettori in uno stesso punto e osservatore solidale alla terna con i piedi su un piano (,) e la testa che guarda, vede che si compie una rotazione antioraria intorno a per sovrapporre a per dedurre che è fuori da (, ).

2. Componente e proiezione di un vettore

La componente scalare di e la proiezione ortogonale ⃗ dei vettori su una retta orientata di versore sono:

= · ⃗ = ( · ).

3. Cosa rappresenta il prodotto misto di 3 vettori (W come il calcolo)

Il prodotto misto dei vettori [⃗] • [ • ], il prodotto interno tra ⃗ ⃗ c Rappresenta il volume dell'apparato rappresenta formato dai 3 vettori applicati l'uno.nello stesso piano se formano una terna levogira il soppalco del volume se formano una terna destra.

Il prodotto misto è dato dal valore del determinante

Nel caso siano complanari il prodotto misto si annulla

4. Regola di calcolo del doppio prodotto vettoriale

(×(×)) = ((·)-(·))

5. Quando il doppio prodotto vettoriale è associativo?

In generale per il doppio prodotto vettore non vale la proprietà associativa. È associativo se e solo se e sono apariarlo oppure entrambi normali sì e .

6. Come decidere che una terza i ettor e levogira?

Una regola pratica per stabilire se un sistema è levogira è quella della "della mano destra". per farlo si usano i dita della mano destra pollice auricolare e medio. Ildisponete i pollice in modo che segua verso la direzione di v' ossia perproprio vero cioè Che generalmente rispondevela filae i medio in disposto Perpendicolorometral'npalmoava con la mano seguendovi) Se il medio vi risvega verso il punto poluse sovrappone quindiuelta nelsenso antoiorario quinia che terrasa stos levopira di sotto a Leponas desacopone versimento dal basso la teramo Descripora di

7. Trasformazioni delle componenti di un vettore a un punto

U