Esame teorico Meccanica razionale

CAPITOLO 1 - VETTORI

Terna levogira. Una terna di vettori non complanari (, , ) si dice levogira se appartenenti a uno stesso piano, l'osservatore solidale alla terna con i piedi sul piano, con la testa verso il verso positivo dei vettori vede compiere una rotazione antioraria attorno a per sovrapporsi a per produrre × .

1. Componenti proiettanti di un vettore La componente proiettante di un vettore è la proiezione ortogonale del vettore su una certa orientata di versore e i seni. p = × ̇̇̇ = ( × ̇̇̇) ×
2. Cosa rappresenta il prodotto misto di 3 vettori? Come si calcola? Un prodotto misto o scalare (⃗, ⃗, ⃗) è il prodotto interno fra ⃗ × ⃗ e ⃗. Rappresenta il volume del parallelepipedo formato dai 3 vettori coplanari nelo stesso piano. Se il volume di una terna levogira è opposto al volume se forma una terna destrogira si impiega il modulo e si ottiene il valore del determinante

• ⃗ × (⃗ × ⃗) | _{1 2 3} |
• _{1 2 3}
• _{1 2 3}

Nel caso: 3 vettori siano complanari il prodotto misto si annulla

4. Regole di calcolo del doppio prodotto vettoriale (⃗ × ⃗) × (⃗ × ⃗) = (⃗ × ⃗) × ((⃗ × ⃗) × ⃗)
5. Quando il doppio prodotto vettoriale è associativo? In generale per il doppio prodotto vettoriale non vale la proprietà associativa. È associativo se e solo se ⃗ e ⃗ non sono paralleli oppure entrambi normali a ⃗
6. Come decidere che una terna di vettori è levogira? Una regola pratica per stabilire che una terna è levogira è quella della mano destra per facilità si usano la dita della mano destra pollice indice e medio, disposte perpendicolari in modo che seguano il verso di direzione degli assi di una terna vettoriale cartesiana indicando in corrispondenza di ̇̇̇; secondo vettore è il medio; la risposta perpendicolare il palmo della mano sepellendo il mignolo rivolge verso il basso, mentre il pollice sovrappone indurite in senso antiorario quindi tale terna same levogira e il medio è rivolto verso il basso la terna è destrogira
7. Trasformazioni delle componenti di un vettore ⃗ in un punto Una trasformazione è cambio di assi e la sostituzione di un riferimento cartesiano (0)̂ con assi equivalenti dallo stesso origine. Le relazioni angolari fra i nuovi assi e i vecchi assi _j; ̂_i sono espresse da una matrice

• ̂₁ ̂₂ ̂₃
• _{1 11 12 13}
• _{2 21 22 23}
• _{3 31 32 33}

con = (̂ ⋅ ̂)

considero il vettore ⃗ con componenti ᵢ, ᵢ, ᵢ; nella terna _{312 3}, mentre nella ′₃ ̂₁ ̂₂ ̂₃; è evidente che ᵢ = , = ₂ le due componenti rispetto una terza or ₃ due metà

La componente ₁ si ottiene sommando il proiettori dei vettori (componenti ̇, ̅, ̂, ̂) uno la nuova orientazione ̂₁

V₁ = cos (S₄, S₁) V_r + cos (S₄, S₂) V_a + cos (S₄, S₃) V_s

V_a = R_a1 V_r + R_a2 V_a + R_a3 V_s

Ripetendo per: r, a, 3

V_r = R_r1 V_r + R_ra V_a + R_r3 V₃

V_a = R_a1 V_r + R_aa V_a + R_a3 V₃

V₃ = R₃1 V_r + R₃a V_a + R₃3 V₃

che si riassumono in V_i = R_ik V_k + R_ka V_a + R_kx V₃

V_k = r, a, 3 _{Vi = RijVk}

Questo procedimento si &lf;appa&;

in inversa degli assi.

V_a = cos(S^o₂, S^o₁) V_r + cos(S^o₃, S^o₁) V_r'

V₁ = R_a1 V_r + R₁a V_a + R₁3 V₃

V₂ = R₂1 V_r + R₂a V_a + R₂3 V₃

V₃ = R₃1 V_r + R₃a V_a + R₃3 V₃

Considero le coordinate (S₁, S₂, S₃ ) ad un punto P rispetto O_xS₁S₂S₃ che sono le

componenti del vettore opp. le coordinate (S₁, S₂, S₃) di P rispetto O_yS_yS_yS_y

e sono date dalle relazioni

V_∃ = R₁₄ S₁ + R₄S₄ S₁ + R₅S₁

V₂ = R₂ S₁ + R₅S₄

V₃ = R₄S₁ + R₃S₂S_y

S_x + R₄S₁ V_k = a, 2, 3

Capitolo: SISTEMI DI VETTORI APPLICATI

A) esempi di interesse&p;&p;meccanica?

Un vettore applicato è una coppia formata da un punto di applicazione ed un

vettore (v, p) costituisce un modello matematico in diverse situazioni, ad esempio:

• Il sistema delle quantita' di moto
• Una sollecitazione di forza

Considero le componenti del vettore rispetto a (S_p, S_a, S_o) = ad esempio:

• A: leggi di variazione del momento dei Vettori

• Considera i vettori parallelismi di differente tipo

Quindi:

H_o' = ∑(i) (p_oA, S_x)

Capitolo 5 - Cinematica del punto

1. Ricavare l'espressione dell'accelerazione vettoriale nel triedro fondamentale:

a(t) = dv/dt = (s'(t)·t + s''/s·c) tdt/ds = acs = s'(t)·t + s''_c nc = f'(s) = ac / at

a(t) = s'(t)·t = |~t| = lim ∆(φ/2) / ∆t→0 ∆s

c(s) coincide con l'incremento dell'angolo dal versore tangente

Capitolo 6 - Cinematica del corpo rigido

1. Def. di spostamento di un corpo

s(t) = c(p(t), p(i)) = c(p2, p1)

Quindi |u(t)| è costante se e solo se v·du/dt = 0

4. Dim. che in un moto rigido (asse ai moti) ha direzione fissa nel corpo e moto con

no direzione fissa nello spazio.

Considero l'asse ad un moto rigido o assi ai moti, dlo è la sua direzione

vedi punto della direzione su.

\[ \frac{d \mathbf{r}_B^s}{d t} = \frac{d \mathbf{r}_A^s}{d t} + \omega \times \mathbf{r}_{B|A}^s \]

\[ \frac{d^2 \bar{\omega}}{d t^2} \]

La direzione cli w varia nello spazio

»

corpo. In particolare in un moto

specie ai motlo or azmil

direzione fissa nel corpo, lo avente ha direzione

fissa new R spazio

5. Dim.Che ne a mto L un corpo rigido la uecli. angolare ha UPA." da variatre

temoprale ribspetta.. I L terna fiale e ila i dena siduale del corpo t.

Considero cli

\[ \mathbf{v} = \mathbf{r}_B^s = \mathbf{r}_A^s + \omega_t \times ( \mathbf{r}_B - \mathbf{r}_A ) \]

lui ei. serm sobo mobili ,e Ie tere a terna

assoluta t relatwa. dl corpo, gli otrosn .son

\[ (\frac{d \mathbf{r}_B^s}{d t})_s = (\frac{d \mathbf{r}_A^s}{d t})_s + \mathbf{r}_{B|A}^s(\frac{d}{d t})_s \]

l

j

\[ \mathbf{r} \].(nella terna

\[ \mathbf{r}_{B|A}^s \times \frac{d}{d t} \]

fuosu. ≈

Chiami o d uv

Le da rivata temporale rispetto ala terna o x t Assobutla

\[ \frac{d \mathbf{r}}{d t} \]

La derivata temporale relativa rispetto alla terna clse OA fall

\[ \frac{d \mathbf{r}}{d t} = \frac{d \mathbf{r}}{d t} + \omega_t \times \mathbf{r} \]

Velucità angolare del mto rlgiido delle tenna axs rispetto olu c x.t, per ia formula ai poisson

ds =

\[ \frac{d \mathbf{v}}{d t} = \omega \times c z_t \omega = \omega_t (\frac{\mathbf{r}}{d t}) + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \omega_t \times \mathbf{r} \]

Per £

\[ \frac{\omega_v}{d} (u_t_ + \frac{\mathbf{v}}{d t}) \]

du frd , dv

\[ \frac{d \mathbf{u}}{d t} = \omega_lf + \omega \frac{d u}{d t} = (\omega_{t^2 \times})_s + \omega ( \omega_t \div \times \cdots) + \omega_f r_t \]

Si può affermare che ne mortoal un corpo rigido, la velocità angolare ha

duplicu derivatte temporale rispetto alle tenze ailazi nostalgia il .

6. Enunciare I a che Charles?

Ith di Chasses . Lurigo un moto rigido piano a suette rotate lettera Lestriccare

sulla base //

II ith di Chazhes. Lurigo am moso igido piano le Veloctà del punti del te φΓη LD

rigidu sul piano dei moto sono зориулен Çadenzuaxi coniugiuenti

pirmo Con I centro listemand.cr notazion a se lineee//

lona portocule (tiloro di nomse ~ cl.viewortorio (t.c G481 hinfinint..()

7. Pe£ montali precessione?

piase moto la Please an Cleo. Del CRO rigido e Op .fnoto rigido âi un Wa

mare fisso I» nel ruyele uno reobal Rationalele - pessimple perila Ormaim ampili e

Costanle con una cerca ni fiss inello Spatizle pneumate nei Line dice

base di spare plosseland preccisione, ·》 pilze delil preccesilona )