Equazioni/Disequazioni risolte per via grafica, Analisi matematica I

Analisi

Equazioni / Disequazioni

- Risoluzione Esatta

Es: x² - 2x - 6 = 0

x_1,2 = 2 ± √1 + 6

(_{1 + √7} \ ₂ )

2 Soluzioni

Risolvere Esatta o Simbolica

- Risoluzione Grafica

- Risoluzione Approssimata o Numerica

Es: x³ + x - 1 = 0

Con metodi esatti (ad esempio Ruffini) non siamo in grado di risolverla

Ho soluzioni??

Si utilizza il metodo grafico

Introduce la funzioni: f(x) = x² - 2x - 6

Risolvere l'equazione vuol dire trovare

il valore di X per cui f(x) = 0

X = soluzione dell'equazione se e solo se X è uno 0 di f, cioè f(x) = 0

Risolvere un'equazione equivale a dire trovare gli 0 di una funzione

Y = f(x) se f(x) = 0 allora Y = 0

Visualizzo la soluzione grafica

e capisco se ci sono soluzioni

cioè se l'asse x viene

incontra

Analisi

Equazioni / Disequazioni

• Risoluzione Esatta

Es: x² - 2x - 6 = 0

x_1,2 = 2 ± √(1±6)_{(1 - √7)}

2 soluzioni

Risoluzione esatta o simbolica

• Risoluzione Grafica
• Risoluzione Approssimata o Numerica

Es: x³ + x-1 = 0 con metodi esatti (ad esempio Ruffini) non siamo in grado di risolverla

Ha soluzioni ??

Si utilizza il metodo grafico

Introduco le funzioni: f(x) = x² - 2x - 6

Risolvere l’equazione vuol dire trovare il valore delle x per cui f(x) = 0

X è soluzione dell’equazione se e solo se x è uno 0 di f, cioè f(x) = 0

Risolvere un’equazione equivale a dire trovare gli 0 di una funzione y = f(x) se f(x) = 0 allora y = 0

Riesalizzo la soluzione grafica e capisco se ci sono soluzioni cioè se l’asse riesalizzo e emmette

ES. 2 METODO GRAFICO

f(x): x³ + x - 1

grafico? Non lo so disegnare perché x³

Lavoro esplicitamente sull'espressione

x³ = 1 - x

{ y = x³

{ y = 1 - x

Esiste un'unica soluzione a:

Quanto vale 1? Non si trova in modo esatto. Troviamo un valore approssimato.

ES. 1 METODO NUMERICO

Metodo di BISEZIONE → teoria di esistenza degli 0

Metodo di NEWTON → giustificazione teorica

ES: x² - 2x - 6 = 0

Base: trovare un intervallo contenente lo 0, dove localizzare uno 0. In questo caso è [3, 4], cioè compreso ma 3 e 4

dove la funzione da negativa diventa positiva.

Devo trovare il punto medio ma i due punti dove la funzione da negativa diventa positiva e tengo per detto nelle risultate maggiori in precisone

6° punto medio di (3, 4)

(3+4)/2 = 3,5

f(C₀) = f(3,5)

Ho 3 possibilità

• f(C₀) > 0
• f(C₀) = 0 -> fine C₀ è il valore cercato
• f(C₀) < 0

f((C₀) = f(3,5) = 3,5² - 2·3,5 - 6 = -0,75 < 0

Siamo nel caso C₀ < 0

• n=0
• n=1

n=0 incertezza (3)

Al più b=0+63+2

Perciò abbiamo l'intervallo buono b_n-a_n = b-a/2

Itinerario il ragionamento

C₁ = 3,5+4 / 2 = 3,75

Ho 3 possibilità

• f(C₁) > 0
• f(C₁) = 0
• f(C₁) < 0

d ∈ (a₁, C₁)

FINE C₁ è il valore cercato

d ∈ (C₁, b₁)

Iterazione per precisione dell'approssimazione

b_n-a_n = b-a / 2ⁿ

Osservazione

Sappiamo che dopo n iterazioni si ha b_n-a_n = b-a / 2ⁿ

Errore massimo che si commette al passo n-esimo.

Quante iterazioni sono necessarie per avere un errore inferiore ad una soglia prefissata ε >0!

|b-a| < ε n...

ES. 2

Supponi di avere un'approssimazione di e = 10^-5

Quante iterazioni sono necessarie, n = ?

|e₁ - 0| < 10^-5

|e₂ⁿ < 10^-5

10 = 5 · 2ⁿ > 1

2ⁿ > 4, 2ⁿ > 10⁵

log₂ 2ⁿ > log₂ 10⁵

n > 5 log₂ 10 ≈ 16,6

1^a RISOLUZIONE GRAFICA: RISPONDE ALLA DOMANDA ESISTONO SOLUZIONI?

2^o SE ESISTONO SOLUZIONI, SI POSSONO SEMPRE TROVARE NUMERICAMENTE(ESI METODO BISETTRICE)

3^o EVENTUALMENTE, DUE SOLUZIONI SI PUÒ TROVARE UN VALORE ESATTO CON METODI ALGEBRICI

DISEQUAZIONI

Es. 1: x² + 2x - 6 ⩾ 0

Es. 2: x² + x - 1 < 0

Es. 1

f(x): x²-2x-6

Y = f(X) TROVARE I PUNTI (X,Y) DELLA PARABOLA CON Y > 0

Soluzione x ⩽ a, x ⩾ b

a, b ⸺ 1

Soluzione a, b

f(x) = 0 cioè x² - 2x - 6 = 0

a 0 - √ b = 1 + √

Es: x² - 9 ≤ 0f(x) = x² - 9γ = f(x)⎧ y = 0⎨ y < 0a =? Per trovare a si risolvef(x) = 0cioè x² - 9 = 0, x = ±3soluzione -3 ≤ x ≤ 3

Es.2x³ + x - 1 < 0x³ - 1 < - x Attuando passi algebriciy = x³y = 1 - xLa y₁ e y₂ deve essere al di sopra dellay = 1 - xVado a vedere quando la y₂ sta sottola retta y = 1 - xsoluzione y₂ < x < dd = ?

d è la soluzione di x³ + x - 1 = 0d si può trovare numericamente (metodo di bisezione)

Valore Assoluto

Dato un x ∈ ℝ il valore assoluto di x, lo indicheremo con |x|, è il segmento che unisce il punto X con O (origine), cioè la lunghezza del segmento.

|x| _{lunghezza del segmento}

Es. x = 3

• |3| = 3

Es. x = -2

• |-2| = 2

Proprietà:

1. |x| ≥ 0, ∀x ∈ ℝ
2. |x| = 0 ⇔ x = 0
3. |x| > 0, ∀x ≠ 0
4. |x| = |-x| ∀x ∈ ℝ

La funzione valore assoluto è pari, cioè cambiando x con -x il valore della funzione non cambia.

Equazioni/Disequazioni Elementari

Es. |x| = 2 muove i punti x che distano 2 da 0.

• Soluzione: x = 2, x = -2

|x| < 2 muove i punti x i quali la distanza da 0 è minore di 2

• Estremi esclusi
• Soluzione: -2 < x < 2

|x| > 3 muove i punti x che distano da 0 di più di 3

• Soluzione: x < -3 ∨ x > 3

Osservazione: Fissato un punto C ∈ ℝ si dimostra che la distanza di X da C è data da |x-c|

Es. |x-3|: distanza di x da 3

|x+1|=|x-(-1)| distanza di x da -1

Es. |x-3|=2 trovare x la cui distanza da 3 sia uguale a 2

x = 1, x = 5

Es. |x-3|<2 trovare x la cui distanza di x da 3 sia < 2

1<x<5

Es. |x-1|>4 trovare x la cui distanza di x da -1 sia >4

x<-5 ∨ x>3

|x-c|<r

c ∈ ℝ il numero da cui misuro la distanza

r > 0 la lunghezza delle distanze

Trovare x tale che la distanza di x da c sia minore di r

x ∈ (-r+c, c+r)

|x-c|<r ⇔ -r+c<x<c+r

c ∈ ℝ, r > 0 ⇒ x ∈ (-r+c, c+r)

Definizione: Intorno

Dati c ∈ ℝ, e r > 0 si chiama intorno di c di raggio r e si indica I_r(c)

è l'intervallo (-r+c, c+r)

Osservazione: x ∈ I_r(c) ⇔ |x-c|<r la distanza di x da c è minore di r.

Stare nell'intorno significa stare vicino, non distante più del raggio dell'intorno.

Grafici

F(x)=|x|

|x| = ^{(x se x ≥ 0)}_{(-x se x < 0)}

1. Se x > 0: |x| = x
2. f è pari f(-x) = f(x)

il grafico è simmetrico rispetto all'asse y

1. Del grafico di f(x) el grafico di |f(x)| es grafico di |x²-4x+3|

2. Del grafico di f(x) el grafico di f(|x|) es grafico di x²-4|x|+3

3. • f < f(x), |f(x)| > |f(x)|
   • II |x| = |f(x)|
   f(x) =
   • f(x)
   • Se f(x)
   |f(x)| =
   • f(x)
   • f(x) < 0

Es. |x²-4x+3|

4. Disegnare f(x) = x²-4x+3

qui il grafico rimane uguale perchè positivo

pezzo del grafico negativo devo cambiare y con -y

Es. Disegnare |f(x)|