Equazione di Newton

Eq. di newton

y'' = f(y)uniche p.m. = forza che dipende dalla posizioney = y(x)

Moltiplico a sx e a dx per y'

y'' y' = f(y) y'

1/2 d/dx [y'(x)]^2 = d/dx F(y(x))FPrimitiva di f

disegnoallora l'oscillatore non è derivata <=> differenza per una costante1/2 [y'(x)]^2 - F(y(x)) = Ep = cost.∀ x∈IEp Etotcondizioni diCauchy - > Perturbaz relativa delle condizioni iniziali -> valori iniziali delle

y e valori iniziali dellevelocitày(x0) = y0y'(x0) = v0allora E non zero di E = 1/2 v^0 - F(y0) = cost.E è anche funzione di due variabili y e v > E(y0, v0)detta integrale-tanto del'EQ di newtonE(y,v) = 1/2 v^2 - F(y)

le curve di livello di E (curve dove E assume valore cost.)sono rappresentate tramite /o materia. dell'eq. differenziale,curva da tutti i pi ti detto (y(x), y'(x)) al variare di x in cu y è soluzione dell EQ diff.disegnopianodelle fasi

le curve di livello di E(y,v) sono dette orbitePer...unità della soluzone 2o2T però ma interocamo

Eq. di Newton

y'' = f(y)

multiplo: m . a = Forza che dipende dalle posizioni

y = y(x)

Moltiplico a sx e a dx per y'

y'' . y' = f(y) . y'

1/2 d/dx [y'(x)]^2 = d/dx F(y(x))↑ primitiva di f ↓

dove F è l'unica altra nome derivata ↔ differenziale per una costante1/2 [y'(x)]^2 - F(y(x)) = E↑Ecin ↑Ep

∀ x ∈ I _EU.TOT. condizion di Cauchy → per trovare valore delle→ condizione iniziali→ valore iniziale delay e valore iniziale della( velocità

• y(x₀) = y₀
• y'(x₀) = v₀

Allora diciamo che E = 1/2 v² - F(y₀) = cost.

E è anche sulle fuse di due variabili (y e la v) → E(y₀, v₀)detta INTEGRALE PRIMO dell'Eq. di Newton E(y, v) = 1/2 v² - F(y) le curve di livello di E (Curve che E assume valore cost.) sono rappresentate tramite le soluzioni delle Eq. differenziale, ovvero da tutti i pti di detta (y(x), y'(x)) al variare di x∫ con y e derivate dell'equaz diff.

Piano delle FASI

le curve di livello di E(y, v) sono dette ORBITEPer l'unità della soluzione 2o bibl' → spartita m. INTERSEZIONE

Si può studiare l'esistenza e unicità dei (cq) ordinato in questo modo

pongo y₁ = y ; y₂ = y' ma derivando ottengoy₁' = y' = y₂ ⇒ y₁' = y₂ e y₂ = y'' = f(y₁)(te) con e y = y₁

• y1' = y2 , y = [y1 y2] ⇒ y' = f(y) = [y2 f(y1)] a cui associare condizione 2, x soddisfare th. 3.

serve che:

• - f(y₁) sia continua
• - f(y₁) sia derivabile con derivata continua

Sotto le hp già viste per l'equazione del 1°ordine anche l'equazione di Newton ammette soluzioni. Ha cause reali?

EX. Massa legata ad una molla —> legge molla L'equazione della molla

• m = 1 kg x = tempo m = 1 kg

  y'' = -k(y) + g

  f(y) e' quella

  E(y₁, v) = ¹/₂ v² - (^k/₂ y² + gy) ↕Eu for elastica | Eu for gravitazionale

  ⇒ E(y₁, v) = ¹/₂ v² + ^k/₂ y² - gy

  Fissare iniziaienti le costanti (fino ai valori di E) corresponsabile le soluzioni del sistema di equazione diff.

  • y₁' = y₂
  • y₂' = -ky₁ + g

  Vediamo E: E(y₁, v) = E₀ cost. → ¹/₂ v² + ^k/₂ y² - gy = E₀

  ¹/₂ v² + ^k/₂ (y - ^g/_k)² - ¹/₂ ^{g2/_k = E₀}