Appunti completi su Elementi di matematica

Orale di matematica

Mercoledì 26 gennaio 2022 16:55

L’insieme dei reali

L’introduzione

L’introduzione dell’insieme dell’insieme dei reali reali nasce nasce dall’esigenza dall’esigenza di ampliare ampliare l’insieme l’insieme dei razionali razionali.

Viene indicato con il simbolo R.

È la struttura algebrica dell’insieme dei reali, o campo.

È l’insieme dei reali positivi (0 escluso).

È l’insieme dei reali negativi (0 escluso).

È l’insieme dei reali non negativi (0 incluso).

È l’insieme dei reali non positivi (0 incluso).

Il concetto di valore assoluto

Il concetto di valore assoluto: si si può può definire definire |x| |x| come come la la distanza distanza dall’origine dall’origine di di un punto punto nell’asse nell’asse.

Il teorema Il teorema dice dice che che sono sono uguali uguali le le distanze distanze dall’origine dall’origine di di un punto punto e del e del suo suo simmetrico simmetrico rispetto rispetto all’origine all’origine.

|x| = |x| = 1 ammette 1 ammette come come soluzioni soluzioni quei quei punti punti che che hanno hanno come come distanza distanza 1 dall’origine, 1 dall’origine, infatti, infatti, la la soluzione soluzione è {è {-1,1}.

|x| = 0 ha come unica soluzione {0}.

|x| > 3 ha come soluzioni tutti i valori x<-3 V x>3.

|x| ≤ 3 ammette 3 ammette come come soluzioni soluzioni tutti tutti i valori i valori che che hanno hanno distanza distanza dall’origine dall’origine pari pari o minore o minore di di 3: 3: -3 x 3 ≤ ≤.

|x| < -3 non ammette soluzioni reali.

|x| > -3 è valida per tutti i valori reali.

Le equazioni di secondo grado

Le equazioni di secondo grado! !

Si riconoscono con la forma con con e è positivo è positivo esso è risolvibile # + %# + & = 0 ), %, & ∈ , )≠0 % − 4)& 4)& attraverso la classica formula.

Attenzione!

L’insieme dei numeri complessi

L’insieme dei numeri complessi (programma avanzato).

L’insieme dei numeri complessi (programma avanzato) !

L’unità immaginaria definisce quei numeri tali che vale la regola / / = −1 "#$% ".

È una sequenza periodica 4, infatti si può rappresentare con / = / &12 2 2< <4, 4,4∈4∈5.

Esso Esso è particolarmente è particolarmente utile utile per per i calcoli i calcoli con con un esponente esponente particolarmente particolarmente elevato elevato.

&'& &$(#) )/ = / = / = −/.

L’insieme dei numeri complessi si indica con C ed ed è una è una sorta sorta di di estensione estensione dei numeri numeri reali reali.

Si riconoscono con z = a+bi in cui si distingue a come parte reale, e b una una parte parte immaginaria immaginaria.

Vengono Vengono rappresentati rappresentati nel nel piano piano di di Gauss, Gauss, in in cui cui l’ascissa l’ascissa rappresenta rappresenta la la parte parte reale reale e l’ordinata e l’ordinata la la parte parte immaginaria.

Intervalli in R

Maggiorante e minorante

Ipotesi Tesi.

Ipotesi Tesi di tutti gli elementi di X. In questo caso l’insieme X è superiormente limitato.

Tesi.

• Dato un insieme X non vuoto di numeri reali, si dice maggiorante di X, un, un numero numero che che è è maggiore o uguale di di tutti tutti gli elementi elementi di di X. X. In In questo questo caso caso l’insieme l’insieme X è X superiormente è superiormente limitato limitato.
• Dato un insieme X non vuoto di numeri reali, si dice minorante di X, un, un numero numero che che è è minore o uguale di di tutti tutti gli elementi elementi di di X. X. In In questo questo caso caso l’insieme l’insieme è inferiormente è inferiormente limitato limitato.
• Un insieme si dice limitato, se, se è limitato è limitato sia sia superiormente superiormente che che inferiormente inferiormente.
• Un insieme si dice illimitato se non ammette ammette né né maggiorante maggiorante né né minorante minorante.

Massimi e minimi

Ipotesi Tesi.

Ipotesi Tesi.

Dato un insieme X non vuoto di numeri reali, un numero reale x* si dice massimo di di X quando: X quando:

• X* appartiene ad X.
• X* è un maggiorante di X.

Dato un insieme X non vuoto di numeri reali, un numero reale x si dice minimo di di X quando: X quando:

• X appartiene ad X.
• X è un minorante di X.

Estremo superiore e inferiore

Sia Sia X un X un sottoinsieme sottoinsieme proprio proprio non non vuoto vuoto di di R, R, indichiamo indichiamo con con X* X* l’insieme l’insieme di di tutti tutti i maggioranti i maggioranti di di X, X, il il minimo di X* si chiama estremo superiore di X e si indica con supX.

Se X possiede un massimo, questo coincide con l’estremo superiore di X.

Sia Sia X un X un sottoinsieme sottoinsieme proprio proprio di di R, R, indiciamo indiciamo con con X l’insieme X l’insieme di di tutti tutti i minoranti i minoranti di di X, X, il massimo il massimo di di X si X si chiama estremo inferiore di X e si indica con infX.

Se X possiede un minimo, questo coincide con l’estremo inferiore di X.

Per Per convenzione, convenzione, se se un insieme insieme X è X illimitato è illimitato superiormente superiormente si si dice dice supX supX = +∞, = +∞, se se è illimitato è illimitato inferiormente infX = -∞.

Assioma: ogni: ogni insieme insieme non non vuoto vuoto dei reali reali possiede possiede un estremo estremo inferiore inferiore e un e un estremo estremo superiore superiore.

Gli insiemi

Due insiemi con si dicono: 6, 7∈, 6, 7≠∅.

• Separati, se, se ogni ogni elemento elemento di di A A è un è un numero numero reale reale minore minore di di ogni ogni elemento elemento di di B B.
• Contigui, se il supA coincide con l’infB, ma non viceversa.

Posso Posso trovare trovare due due punti punti tali tali che che la la loro loro distanza distanza sia sia arbitrariamente arbitrariamente piccola piccola.

Se Se A A e B e sono B sono separati, separati, allora allora esiste esiste almeno almeno un elemento elemento separatore separatore e può e può essere essere uno uno o più o più di di uno uno.

Se A e B sono contigui, allora l’elemento separatore, se esiste, è unico.

Lo spazio metrico

Definizione: dato l’insieme X si definisce distanza una funzione d: X X -> R> che R che rispetta rispetta i seguenti i seguenti.

Definizione: dato l’insieme X si definisce distanza una funzione d: X X -> R> che R che rispetta rispetta i seguenti i seguenti requisiti:

1. D (x,y).
2. D (x,y).
3. D (x,y) = d (x,y).
4. D (x,y).

Se Se esistono esistono questi questi requisit