Elementi costruttivi delle macchine - Broggiato

Elementi costruttivi delle macchine

Introduzione alla progettazione meccanica

Il primo vincolo di cui tenere conto nella progettazione meccanica è rappresentato dall’ambiente e dalle condizioni operative. Per esempio, nel nostro caso ci troveremo spesso a lavorare con i materiali in campo elastico e quindi bisognerà imporre come limite la tensione di snervamento.

Tipi di approccio alla progettazione

Si può progettare con due tipi di approccio:

• Calcolo/verifica a resistenza: si stabiliscono le dimensioni dell’oggetto in modo che nei punti critici la tensione non superi il valore limite di snervamento, scegliendo anche il materiale più opportuno per sopportare le condizioni di carico a cui viene sottoposto l’oggetto;
• Calcolo/verifica a deformazione: si stabiliscono le dimensioni dell’oggetto in modo che sia limitata la deformazione oppure lo spostamento, sotto determinate condizioni di carico.

Il processo di verifica serve spesso ad alleggerire l’oggetto nelle parti in cui risulta sovradimensionato, oppure a modificarne la geometria qualora si riesca a trovare una configurazione migliore per sopportare il carico.

Esempio pratico di calcolo

Esempio: si è eseguito un calcolo su un albero di trasmissione, sul quale è calettato un ingranaggio. Se l’albero scelto è lungo e snello, c’è rischio che le componenti flessionali rendano le sue sezioni oblique, tanto da far sfasare l’ingranaggio di un certo angolo rispetto alla direzione normale (direzione assiale dell’albero) e quindi concentrare tutto lo sforzo su un lato della dentatura a causa di uno scorretto ingranamento. Quindi, una volta progettato l’albero, è buona norma effettuare sia una verifica sulla sollecitazione, per evitare che la tensione superi il valore di snervamento, sia una verifica sulla deformazione, per evitare problemi di disallineamento, prima di approvare il progetto in via definitiva.

Prova di trazione

Per caratterizzare il comportamento elasto-plastico del materiale, si effettua la prova di trazione:

Il provino è costituito da:

• Trotto calibrato, ossia la parte centrale a sezione costante (A₀) e lunghezza (l₀) pari a 5-10 volte il diametro, che serve a generare uno stato tensionale unidirezionale ed uniforme, da usare come riferimento in varie situazioni;
• Afferraggi, che si trovano agli estremi del provino e dovranno essere ben raccordati con il tratto calibrato, così da non generare un’intensificazione di sforzo tale da rompere il provino agli estremi anziché al centro.

La macchina di prova è quella in cui viene posto il provino, agli estremi del quale viene applicato un certo spostamento a velocità costante: si mantiene la parte superiore fissa ed il provino viene tirato verso il basso; successivamente un trasduttore di carico registrerà la reazione che il materiale esercita nei confronti dello spostamento imposto, traducendola in termini di forza (N).

Analisi del grafico della prova

L’andamento della forza al variare dell’allungamento del provino nel tempo (allungamento a velocità costante) è composto da 3 tratti: una prima zona lineare che rappresenta il campo lineare elastico, una seconda zona mediamente a carico costante che rappresenta il fenomeno dello snervamento ed una terza zona curva non lineare che rappresenta il campo plastico, che si estende fino alla rottura del provino.

Il problema del grafico precedente è che, andando a calcolare la forza, esso caratterizza la resistenza del provino (infatti se cambiano le dimensioni del provino si ottengono diversi valori del carico) mentre a livello pratico è interessante misurare la resistenza generica del materiale! Per risolvere questo problema è sufficiente normalizzare il carico dividendolo per la superficie della sezione relativa al tratto calibrato (A₀), ottenendo uno sforzo misurato in N/mm² [MPa].

Valori importanti del grafico

• Tensione di snervamento (σ_s), cioè lo sforzo oltre il quale il materiale inizia a plasticizzare;
• Tensione di rottura (σ_R), cioè la tensione massima che il materiale riesce a sopportare (alla quale il materiale inizia a comportarsi in maniera instabile fino a rottura).

In realtà dividendo per A₀ stiamo effettuando un’approssimazione:

Il provino si deforma mantenendo costante il volume, per cui ad un allungamento in direzione assiale corrisponde un restringimento (strizione) in direzione trasversale: l’area effettiva sarà A < A₀. Si misura facilmente: V = V₀ ⇒ A₀l₀ = Al ⇒ A0 = A(l0/l).

Curva ingegneristica e reale

Se definisco la tensione dividendo per A₀, sul grafico della prova ottengo l’andamento della σ ingegneristica (σ_e), mentre se definisco la tensione dividendo per A, sul grafico della prova ottengo l’andamento della σ reale (σ_R): oltre ad essere più semplice da tracciare, la curva approssimata con A₀ è quella più utilizzata a livello pratico, in quanto si ottengono valori limite (σ_S) minori rispetto a quelli reali andando in favore di sicurezza. Nella curva approssimata, σ_R è il massimo valore raggiunto, ma non quello in cui avviene la rottura: dopo il massimo della curva il provino inizia a comportarsi in modo instabile, subendo un’elevata strizione fino alla rottura (l’area diminuisce talmente tanto che la tensione reale aumenta anche a fronte di una forza più piccola, ma la diminuzione della forza comporta una diminuzione della σ ingegneristica).

Deformazione ingegneristica e reale

Come nel caso della forza, l’allungamento è una caratteristica che varia da provino a provino, per cui bisogna normalizzarla per ottenere una grandezza descrittiva del materiale.

In questa situazione si ha una deformazione ingegneristica (ε), che è un’approssimazione sempre a favore di sicurezza e grazie alla quale è nuovamente possibile calcolare l’area effettiva della sezione A₀ < A. Quando invece si traccia il grafico relativo alla σ reale, anche per lo spostamento bisogna fare riferimento alla deformazione reale, che è semplicemente la somma delle deformazioni ingegneristiche infinitesime: ln ε = ∫ (dx/x) da l₀ a l = ln(l/l₀).

Queste due deformazioni sono praticamente uguali in campo elastico ed iniziano a differire sensibilmente in campo plastico, come si può osservare da questo conto:

Campo elastico: l₀ = 1000 mm

ε_ENG = (l - l₀) / l₀ = (1002 - 1000) / 1000 = 0,002

ε_TRUE = ln(l/l₀) = ln(1002/1000) = 0,001998

Campo plastico: l₀ = 1000 mm

ε_ENG = (l - l₀) / l₀ = (1500 - 1000) / 1000 = 0,5

ε_TRUE = ln(l/l₀) = ln(1500/1000) = 0,405

Progettazione del tirante

Supponiamo di dover progettare il tirante della seguente struttura: è necessario schematizzare nel modo migliore la struttura prima di applicare i criteri di dimensionamento e valutazione delle sollecitazioni.

Per andare in favore di sicurezza è buona norma schematizzare la struttura isostatica, con due cerniere fisse ed una che collega le due travi, e realizzare, invece, la struttura molte volte iperstatica, così da renderla più rigida rispetto al caso studiato: nella configurazione isostatica il tirante sarà maggiormente sollecitato rispetto alle configurazioni iperstatiche in cui, per esempio, si sostituisce una cerniera con un incastro.

Dato che la richiesta è solamente di dimensionare il tirante obliquo, non ha senso considerare l’intero sistema di azioni e reazioni vincolari, ma è sufficiente prendere in esame quelle che agiscono su di esso. La presenza delle cerniere impone che non vi siano momenti agli estremi del tirante e che quindi esso potrà esclusivamente essere sottoposto a trazione o compressione.

L’incognita del problema sarà l’area della sezione del tirante e quindi nel progetto/verifica a resistenza si dovrà considerare lo sforzo a cui esso viene sottoposto, confrontandolo con la tensione ammissibile del materiale σ_amm, dove σ_lim è la tensione limite del materiale, oltre la quale l’oggetto smette di funzionare (nel nostro caso è il carico di snervamento σ_s), mentre X è il coefficiente di sicurezza, che sarà sempre >1 e serve come ulteriore garanzia per fare in modo che lo sforzo massimo a cui è sottoposto il materiale (sforzo critico) si trovi abbastanza al di sotto rispetto al limite vero e proprio del materiale: tiene conto di tutti i fattori del sistema che non si riescono a prevedere e vale da 1.25 a 1.5 per organi di poco conto, da 2 a 4 per comuni organi meccanici e da 10 a 12 per i sistemi di sollevamento (ascensori).

Nel nostro caso stiamo progettando e quindi si ha σ_lav < σ_amm. Se invece stiamo effettuando una verifica del progetto, bisogna rispettare σ_lav < σ_amm. Qualora il tirante avesse dovuto solamente sorreggere un carico, anziché essere parte di una struttura, sarebbe stato sufficiente che non si rompesse ed avremmo avuto σ_lim = σ_R > σ_S. Mentre qualora l’obiettivo fosse stato quello di non permettere la propagazione instabile di una cricca, avremmo avuto σ_lim = σ_crit.

Progettazione della trave orizzontale

Per quanto riguarda la trave orizzontale, essa è soggetta a compressione e bisogna evitare che vada in biforcazione, per cui si ha σ_lim = σ_eul = (π² EI) / (λ² A), dove al denominatore abbiamo il rapporto di snellezza della trave λ = L₀ / ρ_min, con L = β ⋅ L₀, dove β dipende dai vincoli e L₀ è la lunghezza della trave, mentre al numeratore abbiamo il raggio d’inerzia minimo della sezione trasversale ρ_min = √(I_min / A), con I_min momento d’inerzia minimo della sezione trasversale della trave e A area della sezione trasversale.

Lo stesso passaggio può essere effettuato effettuando un progetto/verifica a deformazione, in cui si impongono dei limiti allo spostamento dei punti sui quali è applicato il carico. In realtà si utilizzano le stesse formule di prima, con σ_amm, solamente che al posto della tensione ammissibile avremo l’allungamento massimo ammissibile ricavabile sfruttando la legge di Hooke: Δl = (N ⋅ X ⋅ l) / (E ⋅ A) = σ_amm ⋅ Δl_max / E. In caso di verifica, come prima, sarà sufficiente porre σ_lav < σ_amm.

In questo caso, però, bisognerà conoscere il modulo elastico del materiale E: un modo può essere quello di fissare il provino con un incastro ad un’estremità e misurare la frequenza di vibrazione dopo averlo colpito, ricavando E dalla formula f = (1 / 2π) √(EI / ρA).

Coefficiente di sicurezza

Vediamo che cosa significa prendere un coefficiente di sicurezza piccolo o grande:

Sia per quanto riguarda la sollecitazione applicata all’oggetto, sia per quanto riguarda la sollecitazione limite del materiale, i valori sono descritti attraverso una distribuzione probabilistica, che di solito è di tipo gaussiano. Questo è indice del fatto che, qualunque sia il valore di X scelto, ci sarà sempre un’area (quella rossa) in cui lo sforzo prodotto sull’oggetto supererà il limite che esso riesce a sopportare.

Esistono due modi per ridurre al minimo quell’area:

• Essendo σ_lim = σ_lav ⋅ X, è sufficiente aumentare il coefficiente di sicurezza per poter allontanare una campana dall’altra;
• Ridurre la dispersione della campana relativa alla sollecitazione limite del materiale, magari effettuando un maggior numero di prove su di esso.

Travature isostatiche

Prima di iniziare lo studio delle travature, occorre impostare le convenzioni da utilizzare nell’analisi:

Studio della trave appoggiata

Iniziamo con lo studio della trave appoggiata: In questo caso il carico è tutto trasversale e quindi il carrello e la cerniera rispondono solo in direzione verticale.

Iniziamo lo studio sostituendo i vincoli con le rispettive reazioni vincolari, ossia le azioni che il vincolo esplica sulla trave (uguali e opposte alle azioni che la trave esplica sui vincoli), quindi scriviamo le equazioni di bilancio meccanico:

ΣF_x = 0 ⇒ F_AX = 0

ΣF_y = 0 ⇒ F_AY + F_BY - P = 0

ΣM_A = 0 ⇒ -P ⋅ a + F_BY ⋅ l = 0

da cui si ottengono i seguenti valori:

F_AX = 0, F_AY = P_b / l, F_BY = P_a / l

Si può osservare come le due reazioni verticali, oltre ad essere direttamente proporzionali al carico applicato sulla trave, sono proporzionali al rapporto tra la distanza del carico dall’estremo opposto a quello dove è applicata la reazione e la lunghezza totale della trave.

Diagramma del taglio

Adesso passiamo al diagramma del taglio: sezionando la trave poco dopo il punto A, ingrandiamo il tratto considerato come si vede nella figura qui accanto.

Una volta preso il sistema di riferimento locale, con l’asse x avente origine in A come in figura, bisogna calcolare l’azione di taglio (in giallo) in grado di bilanciare l’elementino di trave nero, così da ripristinare l’equilibrio dovuto alla separazione del pezzo dalla trave intera:

- P_b / l ⋅ x + T(x) = 0 ⇒ T(x) = P_b / l (funzione di taglio dal punto A fino al carico P)

Sezionando la trave appena dopo il punto d’applicazione del carico, ingrandiamo ancora come prima. Il sistema di riferimento locale è rimasto lo stesso di prima, ciò che è cambiato sono le forze da bilanciare con l’azione di taglio (in giallo), in quanto dovremo tenere conto sia della reazione vincolare calcolata prima, sia del carico applicato sulla trave.

- P_b / l + P - T(x) = 0 ⇒ T(x) = -P_a / l

Il carico applicato verso il basso ha fatto in modo che l’azione di taglio sulla trave passasse da positiva a negativa venendo chiusa all’estremo B grazie alla reazione calcolata in precedenza.

Agendo solamente carichi concentrati, il diagramma del taglio sarà uniforme a tratti, con l’unico “punto di discontinuità” in corrispondenza proprio del carico P (per i motivi elencati in precedenza sul cambio disegno).

Diagramma del momento flettente

Passiamo al diagramma del momento flettente: partendo sempre dalla sezione appena successiva al punto A, consideriamo come polo l’estremo del segmento in cui è avvenuta la separazione dal resto della trave e calcoliamo il momento in grado di bilanciare quello generato dalla reazione vincolare (si considera positivo ↺ e negativo ↻):

M(x) - P_b / l ⋅ x = 0 ⇒ M(x) = P_b / l ⋅ x

L’andamento sarà di tipo lineare crescente con l’ascissa locale, finché non si giunge al punto C di applicazione del carico P, dove il bilancio sarà:

- P_a / l ⋅ (l - x) + M(x) = 0

L’andamento è lineare decrescente lungo l’ascissa locale, a partire dal valore che il momento assume nel punto di applicazione del carico fino al valore nullo, ossia il valore assunto nel punto B di fine trave.

Per convenzione il diagramma del momento va tracciato dalla parte delle fibre tese, che in questo caso sono le fibre verso il basso. Il diagramma del taglio è la derivata del diagramma del momento, per cui ci torna il fatto che dove il taglio è costante e positivo abbiamo un momento lineare crescente, mentre dove il taglio è costante e negativo abbiamo un momento lineare decrescente. È giusto anche il fatto di avere momento nullo agli estremi, in quanto non vi sono coppie concentrate e soprattutto i vincoli imposti non permettono di spendere potenza sulle rotazioni.

Il caso appena studiato è un caso del tutto generico di trave appoggiata, che si può ritrovare in differenti schematizzazioni, purché vi siano due appoggi e un carico concentrato in un punto.