Dischi rotanti, meccanica dei materiali

Dischi rotanti

I volani vengono messi in rotazione per ridurre il grado di irregolarità delle macchine utensili. Nascono delle tensioni per effetto dell'inerzia del disco (forze di tipo centrifugo).

Equazioni generali

Le equazioni generali sono date da:

• σ ρ= − − 2A Cr ρ 2 ρ = r / r
• σ ρ= + − 2A Dϑ ρ 2σ 0; perché le pareti del disco sono molto vicine e sulle pareti la tensione laterale è nulla

I termini C e D hanno un preciso significato fisico:

• υ+3 σ=C 08 con σ: tensione di riferimento
• 0υ +3 1 σ=D 08 è la tensione che sorge per riequilibrare la dF (forza centrifuga)

Nel caso di un anello sottile del disco: dFc. La tensione di riferimento si ricava pensando ad un anello sottile che sta ruotando alla stessa velocità angolare w e dello stesso materiale del disco.

Nasce una forza centrifuga infinitesima. È così sottile che è significativo solo il raggio esterno:

• ρ ϑ ω σ ϑ× = =2r d t 1 r d F 2 t s e n d / 2 σ 0
• dϑ ϑ≈sen d / 2 d / 2

ρ è intesa come densità di massa, 1: profondità unitaria, t: spessore.

Si trova che la tensione che nasce su un anello di raggio r che è realizzato con lo stesso materiale del disco e che ruota con la stessa velocità angolare è data da:

σ ρ ω= 2 2r

OSS: sono noti C, D: = f (ρ, w, r, υ)

Attenzione! Usare il sistema internazionale in metri per evitare problemi.

Dischi a spessore variabile (a gradini)

Un disco a spessore variabile può essere rappresentato come:

• b 2r = re1 i2 r e2r i1 b 1

Questi dischi hanno una sezione variabile come le palette delle turbine (anche se non a gradini). Possiamo vederli come due dischi uniti, entrambi a sezione costante:

• 1 → A; b1 12
• 2 → A; b2 2

Condizioni

Il caso più diffuso è quello del disco scarico alle estremità. Le condizioni sono:

• σ = =(1 ) 0 ( p 0)ri i σ = =(2) 0 ( p 0)
• Equilibrio delle forze: re eServono altre condizioni! σ π σ π× = ×(2) ( 2 ) (1 ) ( 1 )2 r b 2 r b
• Equilibrio delle forze ri i 2 re e 1r i2ξ ξ=(1 ) ( 2 )
• Congruenza degli spostamenti e iξ: spostamento radiale ξdξ = : deformazione radiale r dr

Si dimostra che:

• ξξ ξ =: deformazione circonferenziale: