Dimostrazioni e Domande svolte test di sbarramento svolte ricerca operativa lucidi

RICERCA

min f(x) : x ∈ F ⇒ B

B(x, r) = {x ∈ Rⁿ} ||x - x|| < δ ⇒ INTORNO

x = (1, 1)

δ(x) = (x - 1)³ - (x - 2)²

δ'(x) = 2(x - 1)³ - 2(x + 2)

H = (

TS ∼ Tδ

24) ∀δ

3(x - .) ² + δ(x + 2)² ⇒ (4.) ⇒ 0 ?

kkt non kkt

∃ i ≤ 0 i ∈ I∼

H.I = 0 J∈ I, 0

Δδ(x, λ, μ) = 0

∇f(x) + λ ∇g(x) + N ∇h(x) = 0

∂i∈I∼ ∇0. H.I. = 0

λ I. ∀i(x) ≠ 0

λ I ≥ 0

λ₀ = 1

min ⇒ kkt

min ⇒ kkt (se e convessa)

RICERCA

1) min S(x): x ∈ F, => B

B(x*, p) = {x < F}^f ||x - x*|| < ε => interno

x = (1, 1)

S(x) = (x - 1)² + (x - 2)²

S'(x) = 2(x - 1) - 2(x - 2)

H = (

T5 - T6

t* = - 1/t - 2 = f* + 1

2*) V₈ 3(x:: - )² + 3(x - 2)² => (4) => 0 ??

k k l

1 <= 0 j: t . . . ?

l, i: = 0 j: t, 0

Δ (x, λ₂, l₃, l) = 0

∇S(x) + l ∇h(x) = 0

θ(i) > 0. H(i, 5) = 0

λ ∇i(x): o

λ >= 0

l_p = 1

SE UN PUNTO è KKT è ANCHE DI FS

SE UN PUNTO è FS è ANCHE KKT SE ₀=H

FS

{

(∂ VΣ(∆) ≥ 0 ∆ ∂ x_i∆y_i= 0

x₁≥0

x₂≥0

x_i>0

}

SE X = INT => X = FS

SE X = INT E EQUAZIONI NEI VINCOLI => KKT

- H0 IN GENERALE LIJ VINCOLI

-∂α,β: ∂Σ β∂H=0

1)

min x²₁+x²₂=> Σ=(∂x²₁+x²₂)=(∂x₁,2x₂)

x₁-x₂≥3=> h=>

-x₁-x₂≥3=>

∂h=(−2x₁,1)

x₁+2x₂≥h=> => -x₁-x₂≥6 ∂h(1,2)

{

∂S+∆λ ∂V_h+∆Nʋ∂V_h=>

(R_x2k2)

λ≥0

λ>0

∆v₁=0

x₁*(x²₁*i²+3)=0

+

λ₁(−2,−,λN_it₂)

}

{

2x₁ = −2/x+N

2x₂+2/x*4λ

x>0

λ₁(x-x²−3)=

3) min

x₁x₂³ + x₂x₃³ ∇S = ⟨3x₁, 3x₂⟩

x₁ - x₂ ≤ -1 ⇒ h = 0 ⇒ x₂ - x₁ < 0

x₁ + 2x₂ - 4 = 0 V h = (2 x₂, 2)

x₂2x₁ = 4

λ(3x₁, 3x₂) + λ(-1, 1) + N(2x₁ + 2

{3x₁2x₁2x₁}

{-λ2 > 0

4)

λ0 ⇒ Sostituo nei vincoli (h, d)

2x₂ - x₁ < 0

x₂

∇S = (⟨x₁ + 2x₂

∇S = (-1, 2)

∇S = (x₁ ⟨2x₂- x₁ = 0⟩

NN

∇S = (x₁, 2x₂)

∇S NN

(*₁) ∇S1=0 x₁3x₂V_

{(2x₁2x₁)}

{∇S1=0

2x₂ - x₁ < 0

-x

(4.0)

min x₁² + x₂² ⇒ δ

x₁ + 2x₂ - 4 = 0 ⇒ ∇h₁

x₁ + x₂ ≤ 0 ⇒ ∇g₁

-x₁ ≤ 0 ⇒ ∇g₂

∇g₃ = (2x₁, 2x₂)

∇h₁ = (1, 2)

∇g₁ = (1, 1)

∇g₂ = (-1, 0)

{ ∇g₃ + λ₁ ∇h₁ + λ₂ ∇g₁ + λ₃ ∇g₂ + λ₄ ∇h₁ = 0

λ₁ ≥ 0

λ₄ ≥ 0

x₁, x₂ ≥ 0

{ 2x₁ - λ₁ + λ₂ + μ = 0

2x₂ + 2μ = 0

λ₁ μ = 0

λ₄ = 0

λ₃ = 1

λ₂ = 0

(4.2)

min ½ (x₁² + x₂² + x₃²) ⇒ δ

∇g₃ = (x₁, x₂, x₃)

x₁ + x₂ + x₃ + 3 ≤ 0 ⇒ ∇g₁

∇g₁ = (1, 1, 1)

KKT con (-1, -1, -1) / (-2, -2, -2)

{ x₁ + λ = 0

x₂ + μ = 0

x₃ + 1 = 0

λ