Dimostrazioni e Domande svolte test di sbarramento svolte ricerca operativa lucidi

Ricerica

1 min s(x) : x ∈ F ⊇ B

B(x₀, p) = {x ∈ Rⁿ} ||x - x₀|| < p

X = (4,1)

s(x) = (x₁ - 1)² + (x₂ - 2)²

∂l(x) = 2(x₁ - 1) = 2(x₂ - 2)

h = (

t₅ = t₆

∫ + (

n+1 = 1 + t_n - 2 = f₂ ∂ + 1

24) ∀g

3(x₁ - 1)² + ß(x₂ + 2)² ⇒ f(x) ≥ 0 ???

k k f

nan kkt

? ≤ 0 i = 1 .. n

1 = 0 j = 1 .. p

λ ∂(x, λ, µ) ≥ 0

∇s(x) + λ ∇g(x) + ∇h(x) = 0

∂i(x) ≠ 0, H(x) = 0

λ ∇i(x) ≠ 0

λ x ≥ 0

λ,p = 1

SE UN PUNTO È KKT È ANCHE DI FS

SE UN PUNTO È FS È ANCHE KKT SE x₀=H

x₀ ∇S(x₀) + μ∇(H(x₀))

aμ ≥ 0

x₀∉H

aμ=0

SE x* = min ⇒ x*∈FS

SE x* = min E ESCLUDE NEI VINCOLI ⇒ KKT

• - H= L.I. IN HESSIANO L.I. J UNICO I
• - ∃ α, β: α∇S(x) + β∇H= 0

min x₁² + x₂²

x' - x₂ ≥ 3 ⇔ S(x) ⇒ [x₁ x-3](?)

x₁ - x₂ ≤ 3 ⇒ loss. x₁-x₂ ≤ 6 ∇H = (1, 2)

∇S + λ ∇S + μ ∇H ⇒

• [x₁ x₂]-
• λ ≥ 0
• λ ≤ 0
• μ≥0
• λ (2x₁ x₁) ∇L [H(x₂)]
• H=> (2x₁ x₁-3)

{2x₁ - 2x + λx₁}

{2x₂ + λ x2λ}

{x ≥ 0}

λ₁ (x₁ - x₁²; 3) =

min 2 x₁+x₃

2 x₁ + x₂ - 2 x₃ = 1

4 x₁ + x₂ ≥ 4

x ≥ 0

Primal:

min c^Tx

Ax ≥ b

x ≥ 0

Dual:

max b^Ty

Ay ≤ c

⇒ max y₁ + 4 y₂

• 2 y₁ + 4 y₂ = 2
• y₁ + 2 y₂ = 0
• -2 y₁ ≤ 1
• y₂ ≥ 0

1. ASSENZE SOL. OTTIME. SIA ≠ ℝⁿ UN INSIEME CONV. E SIA ɸ CONV. E NON COSTANTE SU F ALLORA SE ESISTE UN PUNTO DI MINIMO DI ɸ SU QUESTO È NULLA FROM ∥ F.

-SUPPONIAMO CHE IL PROB ACCETTAB SU x* É SOL. OTTIMA POICHÉ PER HP ɸ NON COSTANTE SU F DEVE ∃ W PUNTO x₀∈ F | ɸ(xᵧ) > ɸ(x*)

-SUPPONIAMO CHE x₀∈ F SIA UN PUNTO INTERNO ALL'INSIEME ።M

DEVE ALLORA ESISTERE UNA SFERA APERTA B(x₀,p) CON CENTRO X E RAGGIO p TUTTA CONTENUTA IN F.

SULLA RETTA PASSANTE PER e x POSSIAMO DETERM xᵧ E y∈ B(x₀,p) ∩ F

INVIAMO AL SENTIMENTO DI ESTREGN x'∈ y CON x,y∈ y ESISTE ALLORA λ ∈ (0,1) | x = (1-λ)x + λy.

PER LA CONV. DI ɸ |HP CHE ɸ(xᵧ) > ɸ(x*) TENENDO CONTO

DEL FATTO CHE ɸ(y) > ɸ(x*) E CHE (1-…) > 0 SI OTTIENE

ɸ(xᵧ) = (1-λ) ɸ(x) + λɸ(y) > (1-λ) ɸ(x*) + λɸ(x*) = ɸ(x*)

CIOÈ DIMOSTRO CHE ɸ(xᵧ) > ɸ(x*) E QUINDI NON PUÒ ESISTERE

UNA SOL. OTTIMA IN UN PUNTO INTERNO

Supp _x∈C^p se il punto _x̄∈Rⁿ soddisfa ∇f(x̄) = λ ∇g(x̄) ≥ 0

Allora x = min localmente stretto

• Per assurdo neghiamo il fatto che x̄ sia min top. Questo implica che ci possiamo scegliereun indice k esisterebbe un punto x_k ∈ (B(x̄, r)∩K) | f(x_k) < f(x̄)

Richiediamo il teorema del mean sty 2° forma si avrà

• ∃ c₁, c_k ∈ (0, 1)

Ricordando che ∇g(x̄)≠0 (risolvo la diseguaglianza tutti oro...)

Poiché la seq di vettori è limitata esiste un sott. Convergente in indice N = {t ∈ Z : t ≥ 0}...

Questo contraddice la seconda condizione del teorema.

(16) - DEF VERTICE

UN VERT X ∈ ad UN INSIEME CONVESSO C È DETTO VERTICEDI C SE ∀ DUE PUNTI DISTINTI X₁, X₂ ∈ C X≠tX₁ + 1-tX₂∀t ∈ X E AL SEGMENTO DI ESTREMI X₁, X₂.

- DEF 1 POLIEDROUN INSIEME P