Differenza di potenziale e conservazione del campo elettrico

DIFFERENZA DI POTENZIALE E CONSERVAZIONE DEL

CAMPO ELETTRICO

Sappiamo dai teoremi per le forze conservative che:

B ❑

∫ ∮

⃗ ⃗

⃗ ⃗

F ∙ d l=L , indipendentedal percorso ; F ∙d l=0

A → B

A γ

E queste considerazioni sono anche valide per la forza elettrica e per il campo

elettrico, in quanto è la forza elettrica su unità di carica. Il lavoro è un’energia,

essa non può essere definita in funzione di se stessa se non in base ad una

costante (ad esempio, il riferimento dell’energia potenziale dalla cima di un

palazzo si fa in base al terreno [h = z-0]).

Consideriamo una carica C che si sposta da una parte A (distante r da C) ad

una parte B (aumentando la distanza di dr) secondo uno spostamento

infinitesimo “dl”, la forza elettrica ha compiuto un lavoro (svolto sottoforma di

campo elettrico dato che consideriamo quella carica C), che indichiamo quindi

come:

B B ⃗

Q r

∫ ∫

⃗ ⃗

⃗ =

E ∙ d l ∙ d l

3

4 π ε r

A 0 A

Ma dato che per dl che tende a 0, il vettore r è parallelo al vettore r dr, quindi

dl forma un angolo con dr, di conseguenza l’integrale è uguale a:

θ

B

Q cos θ

∫

| |

r | dl∨ 3

4 π ε r

0 A

Ma dal disegno, quindi l’integrale finale è:

dl∗cos θ=dr

B

Q dr Q 1 1

∫ = ( − )

2

4 π ε 4 π ε A B

r

0 A 0

Notiamo che la quantità dipende soltanto dai punti iniziale e finale, e non dal

percorso seguito, inoltre se la linea è chiusa l’integrale, che diventa una

1 1

=

circuitazione, è 0, in quanto .

A B

Questa quantità è la definizione di differenza di potenziale fra i punti A e B, e in

modo preciso (seguendo delle convenzioni) si indica come:

A

∫ ⃗

⃗

=V −V =−

Δ V E ∙ d l

A B B

Ossia l’espressione di come una particella si muova di una parte infinitesima dl

per l’effetto di un campo elettrico.

Notiamo come va definita sempre una differenza ed un confronto, non

V

esclusivamente ad esempio, che se si presenta da sola vuol dire che è

A