Definizioni, teoremi ed esercizi, Geometria

Matrici

Def. 1

Una matrice a coefficienti reali e p righe e q colonne è una tabella di numeri a_ij posti su p righe e q colonne:

A = ( a₁₁ a₁₂ ... a_1m )     ( a₂₁ a₂₂ ... a_2m )     ( a_m1 .......... a_mm )

Si definisce di tipo (p, q) se è di p righe q colonne con n ed m detti elementi. (dimensioni) L’elemento generico si indica con a_ij

Def. 2

Una matrice si definisce quadrata di tipo (m, m) se ha lo stesso numero di righe e colonne.

L’indirizzo della matrice quadrata M (m, m, R).

Gli elementi a₁₁, a₂₂.. a_mm definiscono la diagonale principale della matrice.

Def. 3

Una matrice di tipo M (m, m) si definisce triangolare superiore se tutti gli elementi sotto la diagonale principale sono nulli. Triangolare inferiore se tutti gli elementi sopra la D.P. sono nulli.

Matrici

Def. 1

Una matrice a coefficienti reali e p righe e q colonne è una tabella di numeri disposti su p righe e q colonne:

A = (a₁₁ a₁₂ ... a_1m)  (a₂₁ a₂₂ ... a_2m)  (a_m1 ... ... a_mm)

Si definisce di tipo (p, q) se è di p righe e q colonne con indici ai suoi elementi (dimensioni) L'elemento generico si indice con a_{i j}

Def. 2

Una matrice si definisce quadratica di tipo (m, m) se ha lo stesso numero di righe e colonne.

L'insieme delle matrici quadrate M(m, m, R).

Gli elementi a₁₁, a₂₂, a_{m m} definiscono la diagonale principale della matrice.

Def. 3

Una matrice di tipo M(m m) si definisce triangolare superiore se tutti gli elementi sotto la diagonale principale sono nulli. Triangolare inferiore se tutti gli elementi sopra la d. p. sono nulli.

Tr = Triang. Sup. ::= { A = (a_ij) ∈ M(m,m,R) | a_ij = 0, ∀i > j }

Tm = Triang. Inf. ::= { A = (a_ij) ∈ M(m,m,R) | a_ij = 0, ∀i

Def. 4

Una matrice quadrata che ha tutti gli elementi nulli, escluse quelli della diagonale principale, si definisce d'algonale.

D(m,R):= {A=(a_ij) ∈ M(m,m,R) | a_ij = 0, ∀i ≠ j}

Def. 5

Una matrice quadrata si dice simmetrica se i suoi elementi sono simmetrici rispetto alla diagonale principale.

Def. 6

Dati due insiemi A e B, chiamiamo unione di A e B l'insieme formata dagli elementi di A o B.

A ∪ B A ∪ B := { x | x∈A o x∈B }

Si definisce intersezione A∩B l'insieme formò da elementi di A e B comuni.

Se A e B non hanno elementi in comune, definiamo l'insieme vuoto.

A ∩ B = ∅

N.B. Una matrice si dice ridotta per righe o colonne se in ogni riga/colonna contiene un elemento staccato cioè seguito da tutti 0.

Def. 7

Data una matrice A=(a_i,j) a p righe e q colonne chiamiamo matrice trasposta di A la matrice (⋯) che indichiamo con A ^T a q righe e p colonne avente come elemento al posto (j,i) elemento di posto (i,j) della matrice A:

(⋯)(a_i,j)=A_(T) (mnn)(bisn⋯) = (T)(⋯)A^T := b_i,j con b_i,j = d_i,j.

Matrice somma

Def. 1

Date due matrici: A:= (a_i,j) e B:= (b_i,j) entrambe di tipo (m,q) chiamiamo matrice somma di A e B, la matrice di tipo (m,q) che indichiamo con A+B dove l'elemento al posto (i,j) è dato dalla somma di (i,j) di A e B.

A+B:=c_i,j con c_i,j := a_i,j + b_i,j

ES. A:=( 1 2 )( 3 4 ) B:=( 5 6 )( 7 8 ) ; A+B=( 1+5 6+2 )( 7+3 8+4 )=( 6 8 )( 10 12 )

Osservazioni

• Proprietà associativa
  (a+b) + c = a+ (b+c)
• Commutativa
  a+b = b+a con a∈ℜ b∈ℜ
• Esistenza dello zero
  sm lk Viè lo O
  a+O=a
• Esistenza opposto
  Dato un qualsiasi numero a ∈ ℝ, esiste −a ∈ ℝ/a + (−a) = 0. Questo numero è −a cioè l'opposto
  a + (−a) = 0

N.B. Proprietà valide per i numeri reali, le quali sono valide anche per l'addizione di matrici.

Prop. 1

Dati due numeri A,B ∈ &M; (p,q,R) si ha se A + C = B + C allora A = B.

Questa proprietà viene definita legge di semplificazione per l'addizione matriciale.

Prop. 2

Date due matrici A e B in &M; (n,q,R) si ha:

(A^t + B)^t = A^t + B^t

Moltiplicazione matrice-scalare

Data una matrice A e un numero reale K, possiamo moltiplicare ogni elemento di A per K ottenendo una matrice che indichiamo con KA.

ES: A = 12359