Definizioni, teoremi ed esercizi, Geometria

Matrici

Def. 1

Una matrice a coefficienti reali c p righe e q colonne è una tabella di numeri disposti su p righe e q colonne:

A := ( a₁₁ a₁₂ ... a_1m ) ( a₂₁ a₂₂ ... a_2m ) ( a_m1 ... ... a_mm )

Si definisce al tipo (p,q) se è di p righe e q colonne con n elementi (dimensioni) L'elemento generico si indica con a_ij

Def. 2

Una matrice si definisce quadrata al tipo (m,m) Se ha lo stesso numero di righe e colonne L'insieme delle matrici quadrate M(m,m,R) Gli elementi a₁₁, a₂₂, a_mm definiscono la diagonale principale della matrice.

Def. 3

Una matrice al tipo M(m,m) si definisce Triangolare Superiore Se, Tranne gli elementi Sotto la diagonale Principale, sono Nulli. Triangolare inferiore se Tranne gli elementi Sopra la D.P. sono nulli.

DEF. 4

Una matrice quadratica ovvero tutti gli elementi nulli esclusi quelli della diagonale principale, si definisce diagonale

D(m,R) := {A=(a_ij) ∈ M(m,m,R) | a_ij=0 ∀ i≠j}

DEF. 5

Una matrice quadratica si dice simmetrica se i suoi elementi sono simmetrici rispetto alla diagonale principale.

DEF. 6

Dati due insiemi A e B, chiamiamo unione di A e B l'insieme formato dagli elementi di A o B:

A ∪ B :={x / x ∈ A o x ∈ B}

Si definisce intersezione A∩B l'insieme formato da elementi di A e B comuni.

Se A∩B non hanno elementi in comune, definiamo l'insieme vuoto A ∩ B = ∅

N.B. Una matrice si dice ridotta per righe o colonna se in ogni riga / colonna contiene un elemento scelto. C'è seguito di tutti, o

Matrice Prodotto

Def. 1

Siano A = (a_ik) ∈ M(M, q; M) e B = (b_ks) ∈ M(M, q; R)

La Matrìce Prodotto e la Matrìce A.B := (c_is) ∈ M.

c_is = a_i1b_1s + a_i2b_2s + ... + a_iqb_qs

Oss. 1

Il Prodotto AB di due matrici. Viene definito

Prodotto Righ. Per Colonne. Il Prodotto puo essere

Calcolato solo se le righe di una coincide (A)

con le colonne dell'altra (avviso come numero) (B)

n° Colonne 1^a Matrìca = n° Righe 2^a Matrìca

ES. n° Colonne = 2

A := ( 2 0

       3 2

       1 0

       1 3 )

B := ( 3 2 1

         0 4 1 )

n° Righe = 2

AB := | 6 4 2 |

        | 24 44 1 |

        | 3 2 -1 |

        | 3 14 -2 |

Matrici e Insiemi

Consideriamo il Sistema:

S := {

   x₁ + 2x₂ + 5x₃ = 1

   x₁ + 4x₂ + 7x₃ ≥ 0

Indichiamo con A la matrice dei coefficienti.

A := ( 1 2 5

         1 4 7 )

X := ( x₁

      x₂

      x₃ )

B := ( 1

     0 )

PROPRIETA'

• È possibile sviluppare il determinante considerando qualsiasi riga o colonna
• Sia A una matrice quadrata:
  • Se una riga o una colonna ha tutti i suoi elementi uguali a 0 ⇒ |A| = 0
• Se A è una triangolare inferiore/superiore, |A| = prodotto degli elementi della diagonale principale
• Data una matrice A (n,m):
  • |A| = |A_t|
• Una matrice con due righe/colonne uguali, ha |A| = 0
• Siano A e B due matrici quadrate di ordine n che si ottengono una dall'altra scambiando tra loro due righe. Allora |A| = -|B|
• Sia A una matrice quadrata di ordine n e K un numero reale:
  • |KA| = K^m |A|
• Se una matrice quadrata A ha una riga/colonna che è multiplo di un'altra, |A| = 0

Prop. 5

Dato A ∈ GL(nR) … B e C ∈ M_n, si ha:

Se AB = AC → B = C BA = CA → B = O

Teorema di Cramer

Ax = b \ n se A ≠ O una sla solusione x = A^-1b Esiste una Prop. analoga con definizione matricale di: Ax = B, X = A^-1B XA = B, X = BA^-1

Sia dato un sistema di m equazioni lineari a coefficienti reali in m incognite: a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … a_1nx_n = b₁, a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … a_2nx_n = b₂ … a_m1x₁ + a_m2x₂ + … a_mnx_n = b_m

Risolvicamo il sistema: Ax = B Se |A| ≠ 0, il sistema ammette una sla Solusione data da X = A^-1B equivalente a

X = |A_i|_i / |A| → A = matrice n...cia all'esim… des del sistema con 1 ≤ i ≤ m N.B. A_i è la matrice ottenunta da A sostituendo la i-esima colonna di A con la colonna B di t...ioni

TEOREMA DI ROUCHÉ-CAPELLI

DEF.1

Sia S un sistema lineare. Sia A la matrice dei coefficienti del sistema S e sia A' la matrice completa del sistema.

Il Sistema S è risolubile se e solo se MKA=MKA'

ES:

• S:
• 1x + 2y = 4
• 1x + 5y = 6

A = ^{(1 2)} _{(1 5)} B = ⁽⁴⁾ ₍₆₎ => A' = ^{(1 2 4)} _{(1 5 6)}

MKA = 2 = MKA'

* Matrice completa: Formata sia da coefficienti che da termini noti.

S:

• x + y + z = 1
• x + z = 1
• x + y = 2

A:

• 1 1 1
• 1 0 1
• 1 1 0

Vogliamo rendere nullo l'elemento (2,1)

• Sottraiamo alla 2º eq la 1º eq.

• x + y + z = 1
• - y = 0
• x + y = 2

A':

• 1 1 1
• 0 1 0
• 1 1 0

Vogliamo rendere nullo l'elemento 1º posto (3,1)

• Sottraiamo alla 3º eq la 1º eq.

• x + y = 2
• - y = 0
• - z = 1

A'':

• 0 1 1
• 0 1 0
• 0 0 1

x ∈ {₂, 0, -1} ∈ R

Vettori Geometrici

Vettore del Piano

Def. 1

Dato comunque un Punto P, chiamiamo Vettore applicato in O o di vertice P la coppia di punti O e P. Indichiamo questo vettore con il simbolo OP. Diremo anche che il vettore OP ha come origine il punto O. Indichiamo con il simbolo V(O) l'insieme dei vettori applicati in O.

Il vettore OO viene chiamato vettore nullo e indicato con il simbolo O di nulla.

Simbologia

V = OP Similmente: il vettore V è il vettore applicato in O di vertice P.

3 vettori: u = OA, v = OB, w = OC.

VETTORI DELLO SPAZIO

DEF 1

Fissato un punto O dello spazio, posso associare a ogni punto P dello spazio il vettore OP. Dico che nel punto O, in modo analogo a quanto fatto nel piano, indichiamo con V³(O) l’insieme dei vettori dello spazio applicati in O. In V³(O) definiamo le operazioni di addizione tra vettori e di moltiplicazione per uno scalare.

TEOREMA 1

L’insieme V³(O) dei vettori dello spazio con le operazioni di addizione tra vettori e di moltiplicazione di un vettore per uno scalare verifica le proprietà:

• Proprietà associativa (u+v)+w = u+(v+w)
• Proprietà commutativa
• Esistenza dello 0
• Esistenza opposto