Definizioni Analisi

Def di insieme

Un insieme è una collezione di oggetti elementi.

Come si descrivono gli insiemi?

• Per elenco.
• Per proprietà: l’insieme è univocamente caratterizzato da certe proprietà dei suoi elementi.

Def: indichiamo che B è contenuto in A.

B ⊆ A ⟺ ∀ b ∈ B ➔ b ∈ A.

Molticazione: contenimento proprio.

Insieme vuoto

Def di insieme vuoto: chiamare insieme vuoto l’unico insieme che non contiene alcun elemento e lo denotiamo con ∅.

Operazioni tra insiemi

Unione: x ∈ (A ∪ B) ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B.

Intersezione: x ∈ (A ∩ B) ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B.

Differenza: x ∈ (A-B) ⇔ x ∈ A ∧ x ∉ B.

Complementare: x non appartiene.

Prodotto cartesiano: A × B formati dalle coppie ordinate (a,b) con a ∈ A e b ∈ B.

Cardinalità

Def di cardinalità: Sia A un insieme finito. Chiamiamo il numero dei suoi elementi la cardinalità di A...

Oss: A, B insiemi finiti |A × B| = |A| . |B|.

Insieme delle parti

Def di insieme delle parti: l’insieme delle parti di A è l’insieme P(A) = {insieme: B ⊆ A}, cioè l’insieme dei sottoinsiemi...

Principio d’induzione

Principio d’induzione: sia Pn un’enunciato, che dipende dal parametro n ∈ N. Assumiamo che:

• Passo base: P0 sia vera, cioè Pn vera per n=0.
• Passo induttivo: ∀n ∈ N si ha che, se Pn è vera, allora anche Pn+1 è vera.

Allora Pn è vero ∀ n ∈ N.

Def di insieme

Un insieme è una collezione di oggetti chiamati elementi.

Come si descrivono gli insiemi?

• Per elenco: A = {2, 3, 5, 7}.
• Per proprietà: l'insieme è unicamente caratterizzato da certe proprietà dei suoi elementi. A = {numeri dispari}.

Def: diciamo che B è contenuto in A B ⊆ A ∀b ∈ B ➔ b ∈ A.

Def: sottoinsieme: A = B ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A.

Molteplice: ⌀ contenitore generale ➔ ∃a ∈ A e a ∉ B.

Insieme vuoto

Def di insieme vuoto: chiamiamo anche vuoto l'insieme che non contiene alcun elemento e lo denotiamo con ⌀.

Operazioni tra insiemi

Unione: x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B.

Intersezione: x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B.

Differenza: x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∉ B.

Complementare: x ∈ A^c ⇔ x ∉ A.

Prodotto cartesiano: A × B formato dalle coppie ordinate (a, b) con a ∈ A ∧ b ∈ B.

Cardinalità

Def di cardinalità: sia A un insieme finito. Chiamiamo il numero dei suoi elementi la cardinalità di A e la denotiamo con |A|.

Oss: A, B insiemi finiti: |A ∪ B| = |A| + |B|.

Insieme delle parti

Def di insieme delle parti: l'insieme delle parti di A è l'insieme P(A) = {B | B ⊆ A}, cioè l'insieme dei sottoinsiemi.

Oss: |P(A)| = 2^|A|.

Principio d'induzione

Principio d'induzione: sia P_n un enunciato, che dipende dal parametro n ∈ N. Assumiamo che:

• Passo base: P₀ è vera, cioè P_n vera per n = 0.
• Passo induttivo: ∀n ∈ N o ⌀ vale che se P_n è vera, allora anche P_{n + 1} è vero.

Allora: P_n è vero ∀n ∈ N.

Principi di induzione verificati

Principi di induzione verificati: k = k(m + 1).

^mC_m+k=^mC_m^(m+1)C_k.

^mC₀^mC₁...^mC_m=2^mn ∀m∈N, ∀n∈N.

a^kn(a^m) = a^k.

a^m-1 a^k = a^km+m-1.

∀m∈N.

k+1 = k(m+1)+1 ⇒ k+1 = m+1.

• ∀m∈N.

mⁿ∀m≥4.

6ⁿ ≥ 4ⁿ+5ⁿ ∀n∈N.

Diseguaglianze di Bernoulli

Diseguaglianze di Bernoulli: (1+x)ⁿ ≥ 1+nx ∀n∈N, x > -1.

Passo base: n=0 n≥2.

Passo induttivo: (1+x)^m+1 ≥ 1+(m+1)x potere: (1+x)² ≥ 1+nx.

• (1+nx)(1+x) ≥ 1+(m+1)x.

Osserviamo che x∈R, x≥0, quindi mx≥0 ∀ numero e=1+(m+1)x.

mx²+e ≥ e.

e = 1+(m+1)x.

mx²+1+(m+1)x ≥ e 1+(m+1)x.

Abbiamo quindi le seguenti diseguaglianze: (1+x)^m+1 = (1/x)((1+x)^mx ≥ e 1+(m+1)x → abbiamo ottenuto la tesi.

Dimostrazione

Dim: |P(A)|=2ⁿ. Sia |A|=n, allora |P(A)|=2^m.

Passo base m=0.

|A|=0 ⇒ A= ∅ ⇒ P(A)={ ∅ } ⇒ |P(A)|=1=2⁰.

Passo induttivo: sia |A|=m₀, dim. Ammiano che la tesi è decsa fortuna: A={a₁, ..., a_m} tutti i suoi sottoin.