Definizione di Sistemi e cenni di matematica pratica

DOMANDA: Supponiamo di avere a disposizione 0.15 litri di caffè ad una temperatura di 30°C e 0.15 litri di latte ad una temperatura di 10°C. Versiamo entrambi i liquidi all'interno di un bicchiere per fare un cappuccino.

Orientativamente, quale sarà la temperatura del cappuccino? E quale sarà il volume del cappuccino?

La temperatura del cappuccino sarà circa la temperatura media dei due liquidi.

Il volume del cappuccino sarà la somma dei due volumi (0.30). Questo perché la temperatura è una variabile INTENSIVA mentre il volume è ESTENSIVA e gode, dunque, della proprietà dell'additività.

COMPRENDERE LA DIFFERENZA MATEMATICA TRA "DELTA" E "DE"

Supponiamo di avere come volume di controllo una sigaretta. Cosa accade se la fumo? Tiro dopo tiro, quei "pezzettini" di sigaretta separati attraverso le linee nere si consumeranno. Nel momento in cui tutti i pezzettini della sigaretta saranno consumati, il volume della sigaretta sarà ridotto a zero.

saranno consumati, la sigaretta sarà stata interamente fumata. La sigaretta, dunque, può essere vista come una successione di pezzettini, teoricamente uguali, che la compongono. Dal punto di vista matematico, se vedessimo la sigaretta come un volume ΔV, i pezzettini che succedendosi la compongono, verranno indicati con dV (si legge "de V"). Sommando i vari dV avremo il valore ΔV. Supponiamo che la sigaretta abbia una forma perfettamente cilindrica. Sigaretta vista "di lato" Sigaretta vista dal "filtro" Cosi come accade nel gioco "battaglia navale", per "definire" una posizione all'interno del volume di controllo occorre fissare un SISTEMA DI RIFERIMENTO. Nel gioco, il volume di controllo, cioè il tabellone, è un foglio quadrato (dunque una figura piana, cioè BIDIMENSIONALE). Ciò significa che, per individuare in maniera chiara una posizione in cui è presente una nave o un pezzo di nave,basta utilizzare un sistema di riferimento a due assi, cioè l'asse delle lettere (che è posizionato lungo un lato del tabellone, cioè la "lunghezza") e l'asse dei numeri (posizionato lungo l'altro lato del tabellone, cioè l'altezza, in modo da formare un angolo di 90° con l'altro asse). Di fatti, le posizioni sono individuate da sigle formate da due caratteri, i quali indicano la distanza rispetto all' "origine" sugli assi di riferimento. asse dei numeri ESEMPIO "A3, B2, C1" asse delle lettere origine Se volessimo valutare, invece, delle diverse posizioni lungo una forma tridimensionale, come per esempio un cilindro, il discorso si complica. A differenza del tabellone del gioco BATTAGLIA NAVALE che presenta soltanto due dimensioni (i due lati), un cilindro presenta tre dimensioni (lunghezza, larghezza e profondità). Se voglio definire in modo chiaro una posizione lungo il cilindro, devo

"indicare" la sua posizione non solo rispetto agli assi posti in coincidenza con la larghezza e la lunghezza ma anche rispetto alla profondità. Dunque, saranno necessari non due assi ma TRE.

ESSENDO TRE ASSI DI RIFERIMENTO, LE POSIZIONI NON SARANNO PIÙ INDICATE DA COPPIE DI CARATTERI (A2, B1) MA DA TRIPLETTE DI CARATTERI.

Posizioniamo l'origine del sistema di riferimento composto dai tre assi nel centro della base circolare del cilindro: Asse z, Asse y, Asse x.

Ritorniamo all'esempio della sigaretta. I volumetti dv che definiscono la variazione di lunghezza della sigaretta tiro dopo tiro sono posizionati lungo una direzione, definita DIREZIONE DIFFERENZIALE.

QUALE ASSE DEFINISCE LA DIREZIONE DIFFERENZIALE? X, Y o Z?

Asse z, Asse y, Asse x.

In questo caso, la direzione differenziale è definita dall'ASSE Z.

Per comprendere l'importanza della scelta opportuna della direzione differenziale cambiamo esempio.

All'interno di un tubo scorre

Una certa quantità di acqua. Taletubo è lungo 5 metri ed è per metà immerso in una vasca piena di ghiaccio e per metà appoggiato sui carboni roventi. Il tubo è collegato al rubinetto della tua doccia: a quanto ammonterà la temperatura dell'acqua con cui sarai costretto a lavarti?

1° Step: Definizione del sistema.

La materia è l'acqua.

Il volume di controllo è il tubo.

L'ambiente sono la vasca ghiacciata e i carboni ardenti.

Il sistema è aperto (alle estremità entra ed esce materia, cioè acqua) e non è adiabatico (la vasca ghiacciata e i carboni ardenti scambiano energia termica con l'acqua, cambiandone la T).

Il tubo è assimilabile ad un cilindro. Riutilizzo il sistema di riferimento già esposto in precedenza.

Asse z, Asse y, Asse x. T0 T10

L'acqua entrerà all'interno del tubo ad una certa temperatura (variabile di stato) T0 ed uscirà ad una certa T10.

Il passaggio non sarà però netto: ci saranno, lungo la lunghezza del tubo, temperature diverse a causa dell'effetto del ghiaccio e dei carboni roventi sull'acqua. Mi aspetto infatti che la temperatura dell'acqua dapprima si abbassi raffreddata dal ghiaccio, e poi si alzi riscaldata dai carboni. Posso valutare la differenza di temperatura ΔT = T1 - T0 come somma di differenze dT valutate alle estremità di "pezzettini" di tubo. COME POSSO OTTENERLI QUESTI PEZZETTINI? (Trascuro ogni contributo sull'asse x)

Asse z, Asse y, Asse x.

1. SCELGO COME DIREZIONE DIFFERENZIALE L'ASSE Z. Vedo il tubo come un insieme di volumetti dV aggiunti l'uno accanto all'altro lungo la direzione Z.
2. SCELGO COME DIREZIONE DIFFERENZIALE L'ASSE Y. Vedo il tubo come un insieme di volumetti dV aggiunti l'uno accanto all'altro lungo la direzione Y.

Asse z, Asse y, Asse x.

Caso 1) Direzione differenziale Z

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 Δ

T=T10-T0=dt1+dt2+dt3+dt4+dt5+dt6+dt7+dt8+dt9==(t1-t0)+(t2-t1)+(t3-t2)+T0 T10 (t4-t3)+(t5-t4)+(t6-t5)+(t7-t6)+(t8-t7)+(t9-t8)+(t10-t9)

Caso 2) Direzione differenziale Y

T0 t1 DELTA T=T10-T0=dt1+dt2+dt3+dt4+t2t3 dt5+dt6+dt7+dt8+dt9=t4t5 =(t1-t0)+(t2-t1)+(t3-t2)+t6t7 (t4-t3)+(t5-t4)+(t6-t5)+(t7-t6)t8t9 +(t8-t7)+(t9-t8)+(t10-t9)T10

Asse z, Asse y, Asse x.

Caso 1) Direzione differenziale Z

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 Valuto la variazione dellavariabile di stato Temperatura lungo la direzione ZdT/(dz)T0 T10

Caso 2) Direzione differenziale Y

T0 Valuto la variazione dellat1t2 variabile di stato Temperatura lungo la direzione Yt3t4t5 dT/(dy)t6t7t8t9T10

Qual è la direzione differenzialeopportuna da scegliere per valutare laT10, supponendo trascurabili levariazioni della Temperatura lungo lealtre direzioni?

Asse z, Asse y, Asse x.

T0 T10