Costruzione di macchine - Parte 1

Reazioni vincolari

Vincolo: dispositivo che limita i movimenti della trave (ad. es.)

Premendolo in basso, il vincolo blocca il movimento di alcuni punti

Gli altri punti traslano

Fermi, ho bloccato gli spostamenti, ma non la rotazione

Reaz. vincolare: forza esercitata dal vincolo per equilibrare una forza esterna

Corpo rigido

Corpo che non subisce deformazioni

Sistema di forze F₁ e F₂ equivale a

• F = F₁ + F₂
• M = F₂r₂ - F₁r₁

Equivalente a

• F = mv
• M = Jω

Problema di statica

VINCOLI

• a terra
• relativi: vincolano i mov. relativi tra 2 o + corpi di = struttura

ESEMPI:

• incastro — no gdl
• manicotto e pattino

incastro

manicotto

cerniere

INCASTRO

per impedire che l'asta si sposti ho bisogno di una reazione vincolante

ce n'è una x movim. imposto

sostituendo il vincolo con le sue reazioni vincolari

8. IPOSTATICA: GDV < GDL — insolubile con la statica

9. ISOSTATICA: GDV = GDL — risolvibile con le eq. di equilibrio se non labile

8. IPERSTATICA: GDV > GDL — introduco deformazione

fin'ora abbiamo visto vincoli ESTERNI — vincolano i mov. rispetto al SR assoluto (esistono anche vincoli INTERNI)

Esempi

gdv e le rotazioni sono consentite   GDL = 3n

9 GDL - 8GDV = 1 GdV ⇒ ISOSTATICA

quadrato articolato

3GDV > 3GDVIPERSTATICA

8GDL = 8GDVISOSTATICA

v.multiploposso considerarle come un solo CR(una sola asta)

Calcolo reazioni vincolari

(A)

Calcolo RV: rimuovo i vincoli e metto RV. Equazioni di equilibrio

• ΣF_o = 0
• ΣF_v = 0
• ΣM_A = 0

OA - Bcos45° = 0

VA - P + Bsen45° = 0

PL/2 - Bsen45L = 0

B = P√2/2

OA = P√2/2 = P/2

VA = P/2

(B)

RAO = 0

RAV + RBV = 0 → RAV = -RBV

ΣM_A = 0 → RBVL - M = 0

RBV = M/L

RAV = -M/L

RAO = 0

• Tutto indip. da dove applico M
• M è equilibrata da una coppia di forze uguali in modulo e opposte in verso

NOTO CHE:

• N e T non dipendono da x → costanti
• Il momento flettente dipende linearmente da x     MF = P/2 x
• Se considero lo spezzone destro

Posso fare il taglio in tutti i punti in cui non ho    discontinuità della trave    Devo trovare queste equazioni in tutti i tratti    delimitati da discontinuità:

Presenza di:

• vincoli
• forze concentrate

N + P/2 = 0 → N = -P/2   -P - T = 0 → T = -P/2   MF + P(x - L/2) - P/2 x = 0                MF = P/2(L - x)                    x = L → MF = 0

Considerando la parte destra

N = -P/2   T = -P/2   MF = P/2 x

x = 0 → MF = 0

Convenzioni:

• Si fanno i diagrammi delle azioni interne      Mostrano andamento delle azioni interne       lungo la trave

vale \(\frac{P\sqrt{3}}{2} - \frac{P\sqrt{3}}{6} = \frac{P\sqrt{3}}{3}\), che coincide con la componente lungo l'asse dell'asta BC e della discontinuità generata dal collegamento con AD

vale \(\frac{P}{2} + \frac{P}{2} = P\), ovvero la componente della discontinuità ⟂ all'asta

\(\frac{P}{2} \cdot \frac{L}{4} = \frac{PL}{4}\)—no salto → il collegamento con l'asta AD tramite cerniera non impedisce la rotazione relativa ⟺ no momento interno

REAZIONI INTERNE DOVUTE A CARICHI DISTRIBUITI

carico distribuito: forza applicata lungo una distanza finita distribuita secondo una certa funzione

solitamente è costante o triangolare

\(R = \int_{0}^{L} q(x) \, dx \quad [N]\)

\(M = \int_{0}^{L} q(x) \cdot x \, dx = \int_{0}^{L} \sigma(x) \cdot x \, dx\)

3

• N = -F
• ³/₄ F + T - F = 0 → T = -³/₄ F
• M_F + F(x - L/₄) - ³/₄ F × x - F (x - L/₂) = 0
• M_F = F/₄ (L - 3x)

5

• N = -³/₄ F
• T = 0
• M_F = 0

4

• N = -³/₄ F
• T = F
• M_F = F(L/₂ - x) = 0

Diagrammi delle azioni interne

ql²

ql²

ql² / 3

ql² / 2

ql² / 2

BC - Bievo

Estremità cerniera

No forze

• R_AO = 0
• R_AV + R_BV - qL = 0
• qL - ³⁄₂ qL - R_BV L = 0

R_BV = ³⁄₂ qL

R_AV = qL + qL - ³⁄₂ qL = -¹⁄₂ qL

Stacco la biella

P

2p

3p

N

T

2p/5

p/2

V₃

P/2

O₅

O₃

√3/10 p

NF

3/10 ph