Costruzione di macchine - Parte 1

Reazioni vincolari

Vincolo

Vincolo: dispositivo che limita i movimenti della trave (ad es.).

Reazione vincolare: forza esercitata dal vincolo per equilibrare una forza esterna.

Corpo rigido

Corpo rigido: corpo che non subisce deformazioni.

Il sistema di forze F₁ e F₂ equivale a:

F = F₁ + F₂

M = F₂r₂ - F₁r₁

Inoltre è equivalente a:

F = ma

M = Jω̇

Problema di statica:

F = 0

M = 0

Vincoli

Vincolo: dispositivo che limita i movimenti della trave (ad es.). Prendendola in basso, il vincolo blocca il movimento di alcuni punti, gli altri punti traslano. Fermi, ho bloccato gli spostamenti, ma non la rotazione.

Reaz. vincolare: forza esercitata dal vincolo per equilibrare una forza esterna.

Corpo rigido

Corpo che non subisce deformazioni. Sistema di forze ⃗₁ e ⃗₂ equivale a ̅ = ⃗₁ + ⃗₂

M = F₂r₂ - F₁r₁

Inoltre equivalente a:

⎧ F⃗ = m⃗_o⎨

⎩ M = J⃗_o⎧

F⃗ = 0

⎨

M = 0

Problema di statica

• Vincoli a terra
• Relativi: vincolano i movimenti relativi tra 2 o più corpi di stessa struttura

Esempi

• Incastro - no gradi di libertà (GDL)
• Manicotto e pattino
• Cerniere

Incastro: per impedire che l'asta si sposti ho bisogno di una reazione vincolare. Sostituisco il vincolo con le sue reazioni vincolari. Essendo il corpo fermo, ΣF = 0, ΣF₀ = 0, ΣFᵥ = 0, ΣM = 0.

Cerniera

O - F₀ = 0 — O = F₀

V - Fᵥ = 0 — V = Fᵥ

Pattino

O - F₀ = 0 — O = F₀

-FᵥL + M = 0 — M = FᵥL

Manicotto e Carrello

V = Fᵥ

M = FᵥL

Carrello: V = F_v e per impedire gli altri movimenti devono consentire la rotazione dell'albero attorno all'asse.

Cuscinetti

Il tipo di vincolo esercitato non dipende solo dalla morfologia, ma anche da come è montato.

• Disassamento fra le piste: l'albero può oscillare sul piano trasversale. Non è detto che gli assi coincidano.
• Cuscinetti orientabili: sono consentiti piccoli movimenti di oscillazione.
• Cuscinetti non orientabili: le piste devono avere assi coincidenti (non sempre fattibile).

Montaggio

• Cerniera
• Carrello
• Manicotto

Imperfezioni nelle lavorazioni: no blocco assiale, sistema assiale del cuscinetto rispettato alle sede, no blocco assiale il manicotto.

Incastro

Il vincolo non dipende solo dalla morfologia, ma anche da come è montato il cuscinetto.

Calcolo reazioni vincolari

Equazioni di equilibrio:

RAO - FO = 0 → RAO = FO = Fcosα

RAV - FV + RBV = 0 → RAV = FV - RBV = Fsenα - ½ Fsenα = ½ Fsenα

- FV L/2 + RBV L = 0 → RBV = FV L/2L = ½ Fsenα

3 eq e 3 inc → GDV = GDL

Movimenti impediti dai vincoli

Movimenti ₃

Movimenti che può fare la struttura

1 asta = 3 GDL

Struttura isostatica

GDV = GDL ≠> Problema risolvibile

Atto di moto, momento infinitesimo? Non impedito dal svincolo

RAV - FV = 0 → RAV = FV

RAO - RBO - FO = 0

FV L/2 = 0 → L'ho impicciato _t0

Struttura isostatica labile

S. IPOSSTATICA: GDV < GDL — irrisolvibile con la statica

S. ISOSTATICA: GDV = GDL — irrisolvibile con le eq. di equilibrio se non labile

S. IPERSTATICA: GDV > GDL — introduco deformazioni

Fin'ora abbiamo visto vincoli ESTERNI — vincolano i mov. rispetto ad SER assoluto [ ci sono anche vincoli INTERNI ]

Esempi

GDV = 3: 9 GDL - 8 GDV = 1 GDL → IPOSSTATICA

4 quadrilatero articolato: 9 GDL > 10 GDV → IPERSTATICA

8 GDL = 8 GDV ↓ ISOSTATICAv. multiplo: posso considerarlo come un solo CR (una sola asta)

n = nr aste

GDV = 2n

Suppongo un'asta libera e 2 aste seguono estremità asta libera.

GDV = 2n - 1

Considero come unico CR ↳ 2GDV