Corso completo di Statistica

Definizioni

L’unità elementare è portatrice della caratteristica d’interesse, la quale può

presentarsi in diverse modalità (singoli valori). Più unità formano la

popolazione, essa può comprendere più campioni (sottoinsiemi del totale).

Un’indagine si dice totale/censuaria (deriva da censimento) quando analizza

l’intera popolazione.

Un’indagine si dice parziale/campionaria invece quando considera solamente

un campione.

La sintesi di un fenomeno rilevata su tutta la popolazione si chiama parametro,

su un singolo campione invece viene definita statistica.

Il campionamento casuale può essere con o senza ripetizione, la statistica

descrittiva organizza i dati in modo da darne una visione comprensibile anche a

chi non è esperto in materia.

- L’inferenza è invece un tipo di statistica che si prefigge l’obiettivo di

indurre delle conclusioni sulla popolazione.

Una stima può essere puntuale (comprende quindi un solo preciso valore) o

mediante intervalli (forbici di valori, ad esempio da X100 –ME, la media errore,

a X100 + ME).

Verifica d’ipotesi: fa una congettura su quello che potrebbe essere il valore del

parametro. Si cerca poi se c’è evidenza empirica che confermi l’ipotesi.

Studio delle relazioni tra variabili: studia se posso verificare una variabile

rispetto ad un’altra. 1

Dataset

I dati si presentano sotto forma di matrice, con una distribuzione unitaria o

disaggregata.

(schema)

La scelta delle possibili sintesi migliori dipende dal tipo di carattere, esso infatti

può essere: nominale

1) Qualitativo, o (“sconnesso”, ad esempio i numeri con valenza

ordinale

solo di etichette) o (in quanto ordina le modalità);

discreto

2) Quantitativo, o (può assumere solo alcune modalità distanziate

continuo

l’una dall’altra) o (originato da un processo di misurazione).

Dati categorici: distribuzioni di frequenze;

1) Tabelle con diagrammi a barre, diagrammi a torta;

2) Grafici con o o

l’ordinamento delle modalità non esiste per i nominali, ma solo per gli ordinali

(come le distribuzioni di frequenze cumulate). 2

Caratteri Quantitativi

Possono essere rappresentati schematicamente con tabelle (distribuzioni di

frequenze assolute o cumulate) o graficamente con istogrammi, diagrammi ad

aste e

Distinguiamo due casi:

1) Numero limitato di modalità distinte;

2) Numero elevato di modalità distinte.

Nel primo caso si possono costruire distribuzioni di frequenze

assolute/cumulate, nel secondo caso si considerano invece intervalli arbitrari in

cui far rientrare le molte modalità differenti.

- L’ampiezza di una classe d’intervallo equivale alla differenza tra

l’estremo superiore ed inferiore, il pedice dell’estremo inferiore inoltre

indica la classe alla quale appartiene.

Nel caso poi l’intervallo sia costante, nell’istogramma l’area è sempre

proporzionale alla frequenza, se l’ampiezza degli intervalli varia invece le

colonne possono essere diverse.

- Se la base è più larga (intervallo più ampio) quindi l’altezza non potrà che

essere minore in proporzione rispetto alle altre colonne, per non

commettere errori nei calcoli si utilizza la densità di frequenza, ottenuta

con la formula frequenza/ampiezza.

Non si può risalire alle frequenze assolute se si ha un grafico di frequenze

relative perché manca la numerosità totale. 3

Funzione di Ripartizione

“Associa ad ogni valore di X la frequenza relativa delle osservazioni/unità che

presentano una modalità del carattere minore o uguale ad X”:

per ogni xϵR, F(x) = Freq. Rel. Oss. xᵢ≤x

La funzione si calcola come: F(x) = Fi-1 + (freq. rel./ampiezza)*(x - ampiezza

cumulata).

- Dove (freq. rel/ampiezza) misura la densità di frequenza relativa.

Quando prendo un x qualsiasi la F(x) mi da l’area sottesa all’istogramma da

zero fino a quel punto.

Analisi Congiunta dei Caratteri: consideriamo simultaneamente due caratteri,

per le relazioni tra due variabili si usano le tabelle a doppia entrata che

elencano distribuzioni di frequenze congiunte e grafici con variabili

categoriche/miste (caratteri entrambi qualitativi/quantitativi o uno ed uno) in

istogrammi e diagrammi a barre o variabili numeriche.

Distribuzione Subordinata (condizionata): suddivide l’insieme principale in altri

sottoinsiemi pari al numero di modalità X o Y.

- I sottogruppi sono “indotti” dalle modalità della variabile.

Analisi condizionata: studia la variabile dipendente in ognuno dei sottogruppi al

fine di capire se la sua distribuzione è diversa, in questo caso tra due caratteri

vi è associazione. 4

- Se tutte le distribuzioni subordinate di Y date le diverse modalità di X

“indipendenza statistica”.

sono uguali si parla di profili riga colonna

- Le subordinate si chiamano anche o se sono

orizzontali o verticali.

Descrizione Numerica dei Dati

Si studia la tendenza centrale (valori attorno ai quali tendono a concentrarsi

molte stime), formata da media, mediana e moda e la variabilità che

comprende campo di variazione, differenza interquartile, varianza, scarto

quadratico medio e coefficiente di variazione.

massima frequenza assoluta.

Moda: modalità a cui è associata la Nel caso ci

massima densità di frequenza

siano classi di intervalli si considera la (punto

medio della classe modale).

Mediana: “valore” (non per forza una modalità) che nell’ordinamento non

posizione centrale.

decrescente delle modalità osservate occupa la Ha la

determinata

funzione di dividere circa a metà il totale. Può essere (numerosità

indeterminata

dispari) o (numerosità pari). Viene calcolata con la formula

(N+1)/2, nel caso sia indeterminata si prendono i valori immediatamente

precedente e successivo e ne si fa la media (solo se si tratta di un carattere

quantitativo, altrimenti vengono considerati entrambi).

Media: media aritmetica di tutte le modalità, se K<<N si calcola con

ᵏΣᵢ=₁(mᵢ*nᵢ)/N. se invece K è poco minore o uguale a N (ad esempio con classi

di intervalli), la formula è ᶰΣᵢ=₁(mᵢ*nᵢ)/N.

Campo di Variazione (intervallo di variabilità): differenza tra il valore massimo e

minimo di una distribuzione. W = Xᴹ - Xᵐ 5

Differenza Interquartile: differenza tra il terzo ed il primo quartile (ampiezza

della fascia che contiene la metà centrale dei valori). È un indice di dispersione,

misura di quanto i valori si allontanano da un valore centrale. IQR = 1/F

(0,75) – 1/F (0,25) dove F è la funzione di ripartizione.

Varianza: media dei quadrati degli scarti della media aritmetica. σ² =

1/N*Σᶰᵢ₌₁(xᵢ - μ)², dove xᵢ - μ misura lo scarto. Nel caso di una distribuzione di

frequenze in classi d’intervallo al posto di ᶰ troviamo ᵏ (numero di classi) e lo

scarto viene moltiplicato per nᵢ (numero di unità dell’intervallo), nᵢ/N nel caso di

frequenze relative.

- La formula ridotta è σ² = 1/N*&Sigm