Cinematica del punto

Cinematica del punto

Dato un origine O, ∀P è univocamente determinato da P-Ot → P(t), t ∈ ℝ e P(t) ∈ ℝ³.

Introduzione della terna cartesiana

Introduco la terna cartesiana _i, _j, _k:
x_(t) = (P-O)_i
y_(t) = (P-O)_j
z_(t) = (P-O)_k
⇒ P-O = x_i i _i + y_j + z_k

Traiettoria e curva oraria

Si dica traiettoria del punto P la linea che il punto percorre durante il moto. Si dica curva oraria del punto P la funzione t→s(t), dove s(t) è la lunghezza dell'arco di traiettoria i cui estremi sono P_o = P(t_o) e il P = P(t).

Velocità

V_m = (P(t+Δt) - P(t)) / Δt
Fornisce una misura della rapidità con la quale il punto P è passato da P(t) a P(t+Δt). Considero Δt → 0:
v = lim (Δt→0) (P/Δt)
V_m = dP(t)/dt

Introduco una terna cartesiana:
P(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
v_(t) = (dx(t)/dt)i + (dy(t)/dt)j + (dz(t)/dt)k = ẋi + ẏj + żk

Determinazione del moto

Nota la v_(t), è possibile determinare il moto di un punto purché se ne assegni la posizione in un istante. Sia v_(r) una funzione nota nel tempo:

• ẋ = v_x(r)
• ẏ = v_y(r)
• ż = v_z(r)

x(r) = x_o + ∫_to^t v_x(r) dt
y(r) = y_o + ∫_to^t v_y(r) dt
z(r) = z_o + ∫_to^t v_z(r) dt

Condizione iniziale

P_oP_(t,0) = x_(r,t) i + y_(r,t) j + z_(r,t) k
Il moto del sistema: In generale si può determinare il moto di un punto quando viene assegnato lo v_(p,t).

Sistema

• ẋ = v_x(x,y,z,t)
• ẏ = v_y(x,y,z,t)
• ż = v_z(x,y,z,t)

Infatti:
dP_(t)/dt = v_(p,t)
In 2D:
ẋ = v_x(x,y)
ẏ = v_y(x,y)
v_p =

Lezione Pagina 3

dy _dt = dy _dx dx _dt = dy _dx dx _dt v_x = v_y=> dy _dx = v_{y vx} = y(x) traiettoria in 3D v_p = {ẋ = v_x (x,y,z)ẏ = v_y (x,y,z)ż = v_z (x,y,z)} dy _dx v_{y vx} dz _dx v_{z vx} Equazioni differenziali per la traiettoria Esempio P_(r0,0) = (x₀,0) [v_x - kyv_y = kx]

1. Determinare il moto

* ẋ = ky ẏ = kyj = k₂x ẍ - k₂x = 0 ü = k_x x_r = Δe^kt + R₀ e^-ktLezione Pagina 4 y' = kxx(t) = A e^kt + B e^-kt da * y = ẋ / k → y(t) = A e^kt - B e^-kt Dalle condizioni iniziali x(₀) = A + B = x₀ y(₀) = A - B = 0 A = B → 2A = x₀ A = x₀ / 2 = B x(t) = x₀ (e^kt + e^-kt) / 2 = x₀ Ch (kt) y(t) = x₀ (e^kt - e^-kt) / 2 = x₀ Sh (kt) eq. del moto

Determinare la traiettoria

Ch (kt) = x(t) / x₀ Sh (kt) = y(t) / x₀ ma Ch²(kt) - Sh²(kt) = 1 → x(t)² - y(t)² = x₀² parabola equilatera

Lezione Pagina 5

Alternativamente -^dy/_dx   =   ^v_y/_vx   =   ^k_x/_ky   →   ^dy/_dx   =   ^x/_y     y dy = x dx ^d/_dk   ( ^y2/₂   -   ^x2/₂ )   =   0 ^y2/₂   ^x2/₂   =   c   =   ^x_o/₂ x² - y² = x_o²

Velocità e curva oraria

Suddivido il percorso. La traiettoria è rettificabile se considerate tutte le suddivisioni possibili. ∃ finito l_n = ^∑n_k=1 || P_(k) - P_(k−1) || 0   |   |   n= ∞   1   P_n-1   P_n   |   ||   (   x   )

Lezione Pagina 6

l_m = _{k=1}^{N} |P(r_k) - P(r_k-1)| (r_k - r_k-1)
m → ∞ |r_k - r_k-1| → 0
l_m → S(c_(r)) curva sopra
S_m = |v(r_{t)| = (x² + y² + z²)^^1/2}

Accelerazione

Misura come varia v nel tempo:
a = dv(r_t) / dt = d²P(r_t)/dt²

Avendo una terna cartesiana, lavoro con le componenti:
a_(rt) = a_xi + a_yj + a_zk = dv_x/dt i + dv_y/dt j + dv_z/dt k= d²x/dt² i + d²y/dt² j + d²z/dt² k

Determinare il moto

Noti il vettore a_(rt) in funzione del tempo è possibile determinare il moto, purché si assegnino la posizione e la velocità del punto ad un istante: | P_(rt) = P_(o) + ∫_o^b v_(rt) dt | v_(rt) = v_o + ∫_o^b a_(rt) dt

Lezione Pagina 7

v(t₁) = v₀ + ∫_t0^t₁ a(t) dt → P(t₁) = P₀ + v₀ (t₁-t₀) + ∫_t0^t₁ dt’ ∫_t0^t’’ a(t’) dt’’

Moto

In generale:
a̅(t,v,p) → P(t)d²p/dt² = a(v,p,v){ ẋ = a_x(x,y,z,ẋ,ẏ,ż,t)   ẏ = a_y( - - )   ż = a_z( - - )

Esempio

P(t₁) - O = R (cos ωt i̅ + sen ωt j̅)
1. Traiettoria:
u̅ = cos ωt i̅ + sen ωt j̅
‖u‖ = 1 → versore
P - O = R u(t₁)
‖P - O‖ = R‖u(t₁)‖ = R → traiettoria è una circonferenza

Velocità

v(t₁) = ?
v(t₁) = d(P-O)/dt = ωR (- sen ωt i̅ + cos ωt j̅)

Lezione Pagina 8

v_(r) = ^d(P-O)⁄_dt = ωR(-senωti + cosωtj)= ωRm

Curva oraria

s_(r) = ‖v_(r)‖ = ‖ωR‖‖m‖ = |ω| R ⇒ s_(t) = |ω|Rt

Accelerazione

a = ^dv⁄_dt = -ω² R u•

Esempio

a_(t) = -g K

Determinare moto

{ẋ = 0 ÿ = 0 z̈ = g
Suppongo v_(t) = v_o e P_(to) = 0, il moto sarà.

Lezione Pagina 9