Carica di un induttore

Carica di un Induttore

Sappiamo che un induttore percorso dalla corrente I diventa sede di campo magnetico "H" e quindi, di induzione magnetica "B=μH".

Si può dimostrare che l’energia accumulata nella regione di spazio in cui c’è campo magnetico è esprimibile come segue:

W_m = 1/2 L I²

Questo ci fa capire che il generatore di f.e.m. "E" dopo la chiusura dell'interruttore "T", deve fornire energia all’induttore, che l’accumula sotto forma di energia magnetica W_m, e deve fornire energia al resistore, che la dissipa in calore per effetto Joule.

W_g = W_m + W_J

Energia Dissipata

Energia Magnetica

Energia Generata

SPERIMENTALMENTE SI OSSERVA CHE LA TENSIONE AI CAPI DELL'INDUTTORE E LA CORRENTE HANNO, DOPO LA CHIUSURA DI T, I SEGUENTI ANDAMENTI:

SI PUÒ DIMOSTRARE CHE LA COSTANTE DI TEMPO "τ" VALE: τ = L/R

QUINDI, DOPO t>5τ IL FENOMENO SI PUÒ CONSIDERARE TERMINATO, E LA SITUAZIONE È A REGIME.

COME SI SPIEGA IL FATTO CHE LA CORRENTE NON AUMENTA ISTANTANEAMENTE AL VALORE DI REGIME "I"? SE SI IPOTIZZA UN AUMENTO A GRADINO DELLA CORRENTE ASSORBITA DALL'INDUTTORE "ΔI", CI SARÀ ANCHE UN AUMENTO A GRADINO DELL'ENERGIA MAGNETICA "ΔWm":

ΔWm = 1/2 L (ΔI)² {ΔWm ≠ 0}

COME VISTO NEL CASO DELL'ENERGIA ELETTROSTATICA PER I CONDENSATORI, CI SAREBBE UN AUMENTO DI ENERGIA MAGNETICA IN UN INTERVALLO DI TEMPO

solo questo è un tratto rettilineo

solo qui si può considerare l = cost

solo per i materiali paramagnetici (aria, alluminio, platino, cromo, ...) e diamagnetici (bismuto, oro, argento, rame, ...) si può considerare con ottima approssimazione μ ≃ μ₀ e quindi una permeabilità costante, e dunque costante anche l’induranza, o coeff di autoinduzione, "L". per i materiali ferromagnetici, tale ipotesi è valida solo nel tratto indicato, altrove no!

chiarito ciò, possiamo ritornare alla questione della f.e.m autoindotta, cercando una espressione più comoda per lo studio dei fenomeni transitori.

la (**), scritta nel caso di grandezze variabili nel tempo, avrà espressione:

Φ_c(t) = L i^'(t)

STA EQUAZIONE È DATA DALLA SEGUENTE:

^{i(t) = _E/_R (1 - e-t/τ)}

NOTA LA CORRENTE, È ORA POSSIBILE CALCOLARE

LA TENSIONE AI CAPI DELL'INDUTTORE:

^{v_t(t) = L _di(t)/_dt}

I MATEMATICI CI HANNO INSEGNATO A CALCOLARE

LE DERIVATE; IN QUESTO CASO BISOGNA DETERMINARE

LA DERIVATA DELLA CORRENTE RISPETTO AL TEMPO.

SI PUÒ DIMOSTRARE CHE:

^{v_t(t) = E e-t/τ}

QUINDI:

E = L_I I_f = L_I I_f^/τ

I_f = E_R

DUNQUE:

1 = 1_τR => τ = L_R

È CHIARO CHE SI TRATTA DI UN TEMPO, INFATTI:

[ ] = [H_Ω] → 1H = 1Wb_1A

1Ω = 1V_1A

[Wb_A]

A_V

Wb_V

1Wb = 1V.1s

[H.S _A] = [S]

(ΔΦ = e Δt)

ES: CONSIDERIAMO IL CIRCUITO DI FIGURA!

• E = 100V
• R = 10Ω
• L = 0,1H

DOPO LA CHIUSURA DI "T" DETERMINARE:

1. LA COSTANTE DI TEMPO;
2. LA TENSIONE INDOTTA INIZIALE;
3. LA CORRENTE FINALE;
4. IL TEMPO DI ASSETTAMENTO;
5. L'ENERGIA MAGNETICA ACCUMULATA DOPO IL TEMPO DI ASSETTAMENTO

SOLUZIONE!

1. τ = ^L/_R = ^0,1/₁₀ = 0,01s = 10ms
2. SIAMO NEL 1° CASO (PAG.17) v_o = E = 100V
3. I_f = ^E/_R = ¹⁰⁰/₁₀ = 10A
4. È DEFINITO COSÌ: T_a = 4,6 τ
5. QUINDI: T_a = 4,6.10 × 10^-3 = 46ms
6. i(t) = I_f(1 - e^-t/τ)t = T_a = 46 ms⇒ i(0,046) = 10(1 - e^-0,046/0,01) ≈ 9,9 A
7. W_m(0,046) = ¹/₂ L i²(0,046) = ¹/₂ . 0,1 . 9,9² ≈ 4,9 J