Caratteri, unità statistiche e collettivo. Classificazione dei caratteri statistici. Tipi di rilevazione. - Le medie

La tecnica dell'intervista elettronica

CAPIelettronica è il metodo utilizzato per svolgere interviste faccia a faccia, in cui l'intervistatore utilizza un personal computer per gestire il questionario elettronico e inserire direttamente le risposte.

Le medie

Una volta completata la rilevazione statistica, è necessario elaborare i dati ottenuti al fine di sintetizzare una molteplicità di valori in un unico valore che rappresenti l'ordine di grandezza del fenomeno collettivo studiato.

Le medie sono valori di tendenza centrale che soddisfano l'esigenza di esprimere sinteticamente l'intensità di un fenomeno collettivo.

Al fine di ottenere una sintesi dei valori osservati, la strada più logica da seguire - ovviamente nel caso di variabili quantitative - è quella di fissare delle quantità invarianti, ossia che rimangano immutate quando, al posto delle modalità osservate, si ponga il valore medio prescelto.

In termini formali,

Esprimiamo con: ( ) f(x), x, … x1 2 N una generica funzione delle N osservazioni.

Al fine di trovare un valore medio rappresentativo della distribuzione, si deve sostituire alle modalità osservate la media stessa, mantenendo inalterato il valore della funzione: ( ) ( ) = f(x), x, … x x́, x́, … , x́1 2 N

La media aritmetica

La media aritmetica viene definita come quel valore e che, sostituito alle modalità osservate, mantiene invariato l'ammontare o l'intensità totale del carattere.

Quando la quantità invariante è l'ammontare o l'intensità totale del carattere (ossia la somma delle x), allora poniamo (nel caso di una distribuzione unitaria, cioè senza frequenze associate alle modalità): ( ) = f(x), x, … x x, x, … x1 2 N 1 2 N

( ) = ´ ´ f(x), x́, … , x́ x, x́, … , x́

Uguagliando i secondi termini, otteniamo: = x, x, … x x́, x́, … , x́1 2 N

Consegue: N

N∑ ∑=x x́ii=1 i=1N∑ =Nx x́ii=1E infine:N∑ x ii=1x́=μ= N media aritmetica semplice.È la formula della distribuzione di frequenze. Quando si tratta di una distribuzione di frequenze, sappiamo che ad ogni modalità sono associate le frequenze assolute; abbiamo dunque: ∑ f x , x , … x n = x₁f₁ + x₂f₂ + … + xₙfₙ Uguagliando i secondi termini, otteniamo: ∑ f x , x́ , … , x́ x́ n = x₁f₁ + x₂f₂ + … + xₙfₙ s ∑ ∑=x n x́ ni i ii=1 i=1 s ∑ ∑=x́x n ni i ii=1 i=1 E infine: s∑ x ni ii=1x́=μ= N media aritmetica ponderata.È la formula della distribuzione di frequenze. Il numeratore è l'ammontare o l'intensità totale del carattere. nMedia aritmetica ponderata con pesi pari a i =f iN In generale, data una variabile X alle cui modalità sono associate le frequenze assolute f₁, f₂, …, fₙ, la media aritmetica ponderata è data da: ∑ x f x , x , … x n = x₁f₁ + x₂f₂ + … + xₙfₙ

associatipesi non negativi, si calcola la media aritmetica ponderata:

pis∑ x pi ii=1=x́=x́ a s∑ p ii=1 p i

Media aritmetica ponderata con pesi pari a s∑ p ii=1

Nel caso di una distribuzione di frequenze per un carattere

suddiviso in classi, la media aritmetica si calcola con i valori

centrali delle classi:

s∑ 'x ni ii=1=x́=x́ a N +x x

Dove ' i i+1=x i 2

Proprietà della media aritmetica

Prima proprietà

La somma degli scarti algebrici dalla media aritmetica è uguale a 0.

s∑ ( )− =0x x́ ni ii=1

Dimostrazione:

s s s s s∑ ∑ ∑ ∑ ∑( )− = − = −x́ =x́ −x́x x́ n x n x́ n x n n N N=0i i i i i i i ii=1 i=1 i=1 i=1 i=1

Seconda proprietà

La somma dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica è un

minimo (più basso valore che posso raggiungere), significa che la

media aritmetica è il valore più vicino alla distribuzione quando, per

misurare le distanze, si utilizza

il quadrato degli scarti.∑ 〖 〗 2( )−x́ =minx ni ii=1

Dimostrazione:Per dimostrare questa proprietà, calcoliamo la somma deid, d= -aquadrati degli scarti da un valore diverso da :x́ x́s s s s s s[ ]∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑〖 〗 〖 〗 〖 〗 〖2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )−d = −x́+ = −x́ +a +2 −x́ = − + +x n x a n x a x n x x́ n a n 2i i i i i i i i i ii=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1s per la prima proprietà della media∑ ( )−x́2 a x ni ii=1aritmetica è uguale a 0Giungiamo dunque alla relazione:s s∑ ∑〖 〗 〖 〗2 2 2( ) ( )−d = −x́ +x n x n N ai i i ii=1 i=1E, poiché ≥0, ne consegue che la somma dei quadrati2N adegli scarti da d sarà sempre maggiore o uguale allasomma dei quadrati degli scarti da , col segno dix́uguaglianza che varrà solo se a=0, cioè se d= x́s s∑ ∑〖 〗 〖 〗2 2 2( ) ( )−d −x́ +x n ≥ x n N ai

i i ii=1 i=1s∑ 〖 〗 2( )−x́ =minx ni ii=1

Terza proprietàSe ad ogni osservazione di una distribuzione aggiungo unaa,medesima costante la media della nuova distribuzionea.sarà pari alla media della vecchia distribuzione più=x +ay +ax x́ ý=x́i iDimostrazione: 〖 +x ais∑ ¿i=1s s s s s s∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑−y n x n a n x n a n x ni i i i i i i i i i aN¿ =1i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=¿ ¿¿ = = + = + =x́+ý= n aiN N N N N N N

Quarta proprietà (omogeneità)La media aritmetica è omogenea: se moltiplico tutti ib (diverso datermini della distribuzione per una costantezero), la media aritmetica della nuova distribuzione saràpari alla media aritmetica della vecchia distribuzioneb.moltiplicata per la costante=bxyx x́ ý=b x́i iDimostrazione:s s s∑ ∑ ∑y n bx n b x ni i i i i ii=1 i=1 i=1= = =bý= x́N N N

La media geometricaViene definita come quel valore che,

sostituito alle modalità prodotto delle intensità osservate, mantiene invariato ino degli ammontari del carattere. Quando la quantità invariante è il prodotto delle intensità o degli ammontari del carattere, allora poniamo (nel caso di distribuzione unitaria, cioè senza frequenze associate alle modalità): _{( )}=f_x x₁ x₂ ... x_N ^{( )}=∑f_x x₁ x₂ ... x_N E, uguagliando i secondi termini, otteniamo: ^=x̄x₁ x₂ ... x_N x̄₁ x̄₂ ... x̄_N Ne consegue: N ∏ ∏=x_i x̄_i i=1 i=1 Ed infine: √N ∏=M=x̄=γx̄g i=1 i media geometrica semplice che è la formula della N Prodotto delle intensità o degli ammontari ∏x_ii=1 del carattere Analogamente a quanto fatto per la media aritmetica semplice, consideriamo il caso di una distribuzione di frequenze: n n sn( ) =xf_x x₁ x₂ ... x

1. … ∙ x₁ 2 s₁ 2 s₁ 2n n n´( )=f x , x́ , … , x́ x́ ∙ x́ ∙… ∙ x́1 2 s
2. Uguagliando i secondi termini, otteniamo:
3. n n n n n n=x ∙ x ∙ … ∙ x x́ ∙ x́ ∙… ∙ x́1 2 s 1 2 s₁ ss s∏ ∏+n +…nn n in N=x́ =x́x xi 1 2 s iii=1 i=1
4. Ed infine: √ sN ∏ in=M =x́=γ x ig i=1
5. Media geometrica (ponderata)
6. Il calcolo della media geometrica può essere semplificato attraversol’utilizzo dei logaritmi; abbiamo, infatti:
7. √ N N1 Per la media geometricaN ∏ ∑=log =lo g M x lo g xg i iNi=1 i=1 semplice√ s s1 Per la mediaN ∏ ∑n=log =lo g M x n log xig i i iNi=1 i=1 geometrica ponderata
8. Una volta trovato il logaritmo della media geometrica, ilrisultato sarà trovato semplicemente con l’usodell’antilogaritmo: lo g M=eM gg
9. La media armonica
10. A volte, nelle applicazioni pratiche, può accadere di doverconsiderare l’inverso dei singoli termini della

distribuzione;la quantità invariante, allora, è la somma dei reciproci delle, ex inel caso di distribuzione unitaria) poniamo:1 1 1( )= + +…+f x , x , … x1 2 N x x x1 2 N1 1 1( )=∑ + +f x , x́ , … , x́ …+x́ x́ x́Uguagliando i secondi termini, otteniamo:1 1 1 1 1 1+ +…+ = + + …+x x x x́ x́ x́1 2 NNe consegue:N N1 1∑ ∑=x x́i=1 i=1iN 1 Nx́∑ =xi=1 iEd infine: N=M =x́=α ar N 1∑ xi=1 i media armonica semplice.È la formula della Come sivede, essa è il reciproco della media aritmetica deireciproci della distribuzione iniziale.Consideriamo adesso il caso di una distribuzione difrequenze: n n n1 2 s( ) = + +f x , x , … x …+1 2 s x x x1 2 sn n n1 2 s( )=∑ + +…+f x , x́ , … , x́ x́ x́ x́Uguagliando i secondi termini, otteniamo:s sn n∑ ∑i i=x x́