Campi elettromagnetici 2 - teoremi

Th. Unicità

Dom’inio del _Tempo:

V

S = _dV

Dobbiamo determinare:

A partire da t₀

Ipoteni:

e (x,t) ∀ x ∈ V ∀ t > t₀ Ampioato % Sorg.imponen.

e (x,t₀) ∀ x ∈ V Condizioni iniziali

h (x,t₀) ∃ Condizioni al contorno

∫_{m x l} / S aperto ^ink_bs (1)

^m^ x/ S aperto ^ink_bs (3)

Dato: c (t) = c (x,t)

⊂ S

I (1) componeti tg. di e, h, in S

Ten: e C (x,t) >> interno di velame è rendeto

Enucniato:

Dimostrazione: c anvede consideronco (e₁, h₁) ≠ (e₂, h₂)

considero:

(c_d, h_d) = (e₁, h₁) - (e₂, h₂)

→ 0 se (e₁, h₁) = (e₂, h₂)

≠ 0 se (e₁, h₂) ÷ (e₁, h₂)

Applico il Th. di Poyntng al campo differenza (e_d, h_d)

S_d = e_d x h_d

= 0 ∫_S s_d d_s - ∂/∂t ∫∫∫_V 1/2 ψ [h]_d ² + 1/2 E | e_d | ² dv + ∫∫∫ | e_d | dv - ∫∫∫

perchè (in x ed) h_d → 0 perchè Iog = 0

dati che le despenti somo lipuli

Esaminiamo il 3^o integrale:

∫_S d ∧ n dS = (c_e d ∧ h_d). n

(∂ × b). c = (b × c). ∂ = (c × ∂). b

∂d ∧ h_d ∧ n = h_d(∂n ∧ ed) = (∂n ∧ h_d). e_d

⇒ ∯∯∯_V ∂_t (1/2 μ |h_d|² + 1/2 ε |e_d|²) dv + ∯∯∯_V σ|e_d|² dv = 0

⇒ ∂_t ∯∯∯_V (1/2 μ |h_d|² + 1/2 ε |e_d|²) dv = - ∯∯∯_V σ|e_d|² dv

W_em (energia elettromagnetica immagazzinata nel mezzo)

Pot. dissipata. × effetto Joule (σ > 0) nel edil—> σ ≤ 0

∂_t W_em ≤ 0

⇒

ciò vuol dire:

(A) ∞ W_em è costante

∂_t W_em → (B) W_em decade nel tempo

∂_t W_em < 0

⇒

considerando le condizioni iniziali ⇒ W_em(t = 0) = 0

considerando (A)

(A)

t

Considerando (B)

(B)

(h_e - h₂) ⇒ h₂ ≠ h_e

↓

W_em = ∯∯∯_S ( - ) = 0 → (hd| → 0

Dimostrazione:

- Dominio Toroid e mezzo normale ⇒ B = μ H e D = ε E

- mezzo senza perdite e omogeneo nello spazio ⇒ Ez0, μ0 = 0, σv

Così facendo avrò come dipendente (ζ-r') e non (r',r') Portando via le ipotesi deriventano l'operazioni di varevelle.

Hp

• ∇ x E₁ = - j ω μ H₁ + φ (Jm)
• ∇ x H₁ = Jε E₁ + J

Teo:

• ∇ x E₃ = - j ω μ H₂ - Jm
• ∇ x H₂ = Jε E₂ + φ (J)

Adesso sostituisco nelle ipotesi le relazioni del Th.

1. ∇ x (ζ H₂) = - j ω μ E_z/_ζ
2. ∇ x (ζ E₃/_ζ) = Jω ε (-ζ H₂) φ - Jm/_ζ

suo so che: μ/_ζ² = μ/_(N^μ/₁)² = __μ/_ε = ε

(7) porto ζ fuori dal vettore al primo membro:

• ∇ x H₂ = + Jω (μ E_z/_ζ²)

∇ x H₂ = Jω ε E₂

(II) ∇ x E₂ = - Jω ε² H₂ - Jm

∇ x E₂ = - Jω μ H₂ - Jm

Abbiamo dimostrato il Th.

Valutazione Asintotica

1. Metodo della fase stazionaria

Supponiamo di voler calcolare:

f(u)e^-j2πg(u) du

con f(u) dolcemente variabile e g(u) arbitraria e R_w2π cost.

Tesi:

Il risultato di questo integrale sarà compreso dei punti dell'asse in cui funzione g(u) è costante, ed in un intorno di tali punti.

Specifico la tesi:

M₀ = pto e fase stazionaria, dove g(u)_w è costante.

con e non grande, ovvero g(u) costante in intorno ±Δ_U/2

f(u)e^-j2πg(u) du ≈

1. f(u)e^-j2πg(u) con Re e^...
2. f(u)e^-j2πg(M₀) r→∞

Per calcolare la direzione di riflessione:

θ è il piano tangente al paraboloide, devo trovare le pendiste per poi trovare γ.

x th. Pitagora avrò:

• z' = ρcosθ
• r' = ρsenθ

Per calcolare la pendenza:

d²z'¹/dr¹ = tg(x) → d/dr[fg - n²z'²/4f^g] = d/dr[fg - ρ¹/4f¹] =

= 2r'/4f' - r'/2f' (1)

Supponiamo di sviluppare z' = f - x'² + y'¹²/4f

• 4fg¹ = 4f² - n¹² - y¹²   sottoep posso l'espero br. z'¹
• - z'¹² + 4f² = 4g² - n² - y¹² - z¹²
• - z'¹, 4g², 4f² = 4g^f2
• - ρ² = 4g¹² - 4g^{f2 + z'1} →

ρ² = (2f - z')²

• - ρ = 2f - z'

de qui direzione che - 2f = ρ + z' ; sostituendo nella (1)

dz'/dr' = -r'/2f - z'/ρ + z' = -ρsenθ/f + ρcosθ

→ dz'/dr' = senθ/1 + cosθ

1. Il fatto che il campo decada come ¹/_r vuol dire che?

|E_np|  le f >>> D

(1)

|E_np|  le f <<< D

(2)

1) Field molto lontano dalla parabola E_np = _kd/^{r2 + z2} = ¹/_r ² cos

E_np = D/2

2)|E_np|   => asintoticamente a campo costante CAMPO TARMATO

|E_np| =

Ricordando che: E_OO = E₂ b^l E_np 1

1) il campo non trasf. di semi rect. = D semi.

2) circa su r² perché quello campo è com. irradibile a (rect rect)

Se voglio, un campo stretto e secano uni interracano su i lobi laterali, è semplice. (1) se voglio avere lobi laterali buoni   e allargare il foro e sottello (2).

Equivalente (Love)

... di definire uno scenario equivalente ad uno di potenza più facile...

Considero I_m un ... esempio (E_s, H_s) in tutto lo spazio:

(E, H)

x E - jωμ H = J_m

x H = E + J

↗️

→

Fase 2 (E_s, H_s) → (E, H) |_s

V con J_s, J_ms

(E, H)

Emerge s ... la superficie immaginaria non ho differenze di ... interno ed esterno

→

E_s, H_s

(E_s, H_s) (E, H)

de ... fase 2 è equivalente a questo:

• (0, 0) interno V
• (E_m, H_m) esterno V

con J_s e J_ms dette correnti superficiali:

J_s = -n x H_s; J_ms = -n x E_s

di V in arbitrari gli scenari vige lo stesso campo (E, H)

giova ... (E, H) è unica relazione assumibile, e può essere visto come ... prodotto da J_s e J_ms. Sicuramente il fatto che viga ... (0, 0), se V è plausibile,

sono sappurti nell'intero ruolo (E, H), ed è assumibile quelle paralle ... (E, H) ... . Per concludere basta dimostrare che nella superficie ... unica soluz. possibile, questo ... possiamo farlo ... dalle es. ... .

E_ext, H_ext → J_s = [n x H_{ext] - [n x Hint]s}

J_ms = -[n x E_{ext] ... -[n x Eint]s]}