Calcolo Numerico - nozioni

SINGOLARITà DELLA

MATRICE? Applicando tale a +a x +…+a =y

per mezzo della relazione 0 1 n n n

quindi non c’è convergenza

algoritmo, se al passo j-esimo risulterà il polinomio di interpolazione di

una riga nulla, il determinante della Lagrange può essere espresso:

matrice è nullo e quindi la matrice è quando ≥2, .Teorema: se A è

singolare. P (x)=

i=1,…,n n

Sistema lineare con matrice simmetrica definita positiva SOR

La matrice di iterazione è

rettangolare: il sistema è risolubile nel

caso m≠n in quanto rg(A)=rg(A|b)=c converge per 0< <2.

quindi la soluzione si riconduce a CONDIZIONE NECESSARIA E

quella di un sistema di c equazioni in c SUFFICIENTE PER LA

incognite. Si fissano ad arbitrio n-c (k+1) (k)

x =Bx +c

parametri liberi e si risolve il sistema D=tril(A) =

rispetto alle rimanenti incognite. CONVERGENZA:

C=A-D

Sistema lineare con matrice T=-inv(D)*C

singolare:una matrice è detta singolare n=1 interpolazione lineare (retta per

norm(T,inf) % se è <1 la matrice la sequenza definita da (x ,y )-(x ,y )

quando det(A)=0 ed in questo caso il k=0,…,n

converge altrimenti bisogna calcolare il 0 0 1 1

metodo di Gauss fallisce. raggio spettrale

Eliminazione di Gauss con pivoting rho=max(abs(eig(T)) % raggio P (x)=y + y

1 0 1

parziale determina la singolarità spettrale converge all’unica soluzione di

della matrice: se l’elemento di n=2 interpolazione quadratica

METODO DI RILASSAMENTO: è x=Bx+c↔ρ(B)<1 dove ρ(B)= (parabola per (x ,y )-(x ,y )-(x ,y )

massimo modulo di una colonna stato introdotto al fine di migliorare la 0 0 1 1 2 2

avesse valore pari a zero si avrebbe un

blocco diagonale con una colonna nulla correzione da effettuare su . Inoltre P (x)= y + y

2 0 1

e questo implicherebbe la singolarità

della matrice. CONDIZIONE SUFFICIENTE PER

TEOREMA DI CHOLESKY:una occorrerà scegliere in modo da LA CONVERGENZA: se A è a

matrice A simmetrica è definita + y

diagonale dominante in senso stretto, 2

accelerare il più possibile la

positiva se e solo se esiste una sola

matrice L triangolare inferiore con allora , sia il metodo

convergenza della successione .

elementi diagonali positivi tale che di Jacobi che quello di Gauss-Seidel

T

A=LL . Il teorema di Cholesky E’ una modifica di Gauss-Seidel: convergono all’unica soluzione di

determina la fattorizzazione di ERRORE DI INTERPOLAZIONE:

Ax=b. Se A è matrice definita positiva,

Cholesky. Il metodo è “robusto” poiché si commette quando nel punto x

allora sia il metodo di Gauss-Seidel

si accorge se A non è definita fissato per x≠x i=0,…,n ad f si

i,

sostituisce il polinomio di

che il metodo SOR convergono

positiva(senza applicare il criterio di interpolazione E (x)=f(x)-P (x)=?sia f

all’unica soluzione di Ax=b.

Sylverster). La complessità di calcolo è n n

derivabile n+1 volte in [a,b], intervallo

3

la metà di quella di Gauss ed è O(n /6) contenete i nodi dell’interpolazione ed

poiché basta calcolare solo il triangolo Sottraggo da ambo i membri il punto x, allora l’errore risulta nullo

inferiore della fattorizzazione. Il nei nodi dell’interpolazione, cioè:

comando matlab è <<chol(A). E (x )=f(x )-P (x )=0,i=0,…,n. E’

n i i n i

possibile fattorizzare l’espressione nel

THOMAS: fornisce la fattorizzazione prodotto di due funzioni,una delle quali

INTERPOLAZIONE: Il problema

LU di una matrice tridiagonale a si annulla nei nodi dell’interpolazione:

dell’interpolazione consiste nella

diagonale dominante. dove è la correzione da apportare a determinazione di una funzione in un

METODO ITERATIVO DI E (x )= (x)R (x), con (x)=(x-x )

intervallo limitato [a,b], in base alla n i n n 0

JACOBI:consiste nel calcolare, nota conoscenza dei valori che essa assume

(0)

un’approssimazione iniziale x , le per avere una nuova in un dato sistema. Come funzione

(k+1)

approssimazioni successive x =( f (x) prendiamo l’elemento

n

possibilmente unico di F che soddisfa

n