Calcolo numerico e programmazione

E assoluto: x̂ - x

E relativo: ^{x̂ - x}/_x ^{|x̂ - x|}/_|x|

Precisione macchina

1u = 10^-16 trench

1u = 10^-16/2 arrotond.

Errore sul risultato

E = ^{(x̂ + ŷ) - (x + y)}/_{(x + y)} = ^{x̂ - x + ŷ + y}/_{x + y} - x̅ - ŷ  ^{x E_X + y E_Y}/_{x + y}

= ^x/_{x + y}E_X + ^y/_{x + y}E_Y

Errore sui dati:

E_X = ^{x̂ - x}

Teo Lagrange continued and derivable sembra c ∈ (a,b) t.c.

f_(b) - f_(b)/a - b = f¹(c)

Errore incidente:

E_IN = ^{f(x̂, ŷ) - f(x,y)}/_f(x,y) = ^x̂,ŷ/_y = x̂,ŷ - f(x,y)

Errore algoritmo

E_ALG = f_{(x̂ )} - f_(x) ^{f(x̂ )}-f(x̂) ^E/_X

E_ALG < E

Errore totale

f(E(x̂ ) - f(x)

f(E(x̂ ) - f(x)

= E_IN + E_ALG

E assoluto: x̅ - x

E relativo: ^{x̅ - x}/_x → ^{| x̅ - x |}/_{| x |}

Errore sul risultato

ε = ^{(x̅ + y̅) - (x + y)}/_{(x + y)} =

= ^{x (1 + E_x) + y (1 + E_y) - x - y}/_{(x + y)} =

= ^{x E_x + y E_y}/_{(x + y)} =

= ^x/_{x + y} E_x + ^y/_{x + y} E_y

Se (cêrti degli errori) allora risultato impreciso(mal cond.) se tendorni vicino 0 e hanno segnoopposto

Errore sui dati

E_x = ^{x̅ - x}/_x, x̅ = x (1 ± E_x)

Errore inerente

EIN = ^{f(x̅, y̅) - f(x, y)}/_{f(x, y)} =

= ^{x̅-1 - x-1}/_x^-1 = ^{y⁄̅(1 + (E_x)(E_y) - 1}/_y

= ^{y̅ [ (1 + E_x)(1 + E_y) - 1]}/_y = ± E_x + E_y ± E_x E_y ≈ E_x ± E_y

Teo di Lagrange

Se f continua e derivabile esiste c ∈ (a, b) t.c.

f'(c)

EIN = ^{f(x̅) - f(x)}/_f(x) = f'(c)

ε_x̅ ∙ x̅

(x̅ - x)

E_x

^{f(x̅) - f(x) - f'(c)(x̅ - x)}/_{(x̅ - x)} E_x̅ + E_x

Errore algoritmo

I semplice => basso

I instabile => quando modulo di x e̅ circa (1 x 10^-1)(1 x 2 1 y)

ε_ALG = ^{f(Ᵽ̲̅, b) - f(x)}/_b

valore calcolato perarchitetturafloating point con aritmeticaerrata dovuto a questa

Errore totale

ε_tot = ^{f(Ᵽ̲̅, b) - f(x)}/_f(x)

ε_INT + ε_ALG ⇒ (ε_INT) ^{ε INT + ε LOG + ε_INT ! (ε_ALG). A questo ε!}

Metodo di bisezione

Teorema esistenza zero se su funzione continua tale che f(a)f(b)<0

f(a)=f(b) hanno segni opposti

esiste il punto in cui f si annulla [a,b]

f(a)·f(c)=0 a,c

b,c b=a+c c=

^b-a/₂ se b-a <

ogni volta che ...

certezza esito

b₁-a₁ = ^b-a/_2ⁿ

b-a <2 A non invertibile

Norma di condizionamento

Δ→→ due rette quasi parallele →→ molte volate di tacito = luci con 0 due rette quasi perpendicolari → molte zone a posa è molti cond. di Barber → sapere se Ax ≈ b scrive ↔ desseguallo unici azione purocenavelo Ξ-b sul pagbabate deo velociop λ=x usepeto on ∩-A A^b-b Suppronacco di venire perturbante nello Ξ

→ b-b ^o b → anche x^e perturbabile x^e è la soluzione del sistema x^- x + φx

→ Ax Ξ = → A(x+ Ξ) - (b+Ξ) vuolo di prodotto Ax+Δx I