Appunti sullo svolgimento degli esercizi di Fondamenti della misurazione

INTERVALLO PROBABILITÀ DI COPERTURA

[−, ] 68%

[−, ] 95%

[−, ] 99.73%

[−, ] 99.99%

38%

,

[− ]

19.74%

,

[− ]

15.85%

,

[− ]

Una distribuzione gaussiana descrive una conoscenza sull’errore e non una proprietà verificabile

sperimentalmente, quindi è una SOKD (State-Of-Knowledge-Distribution).

Codice dell’esercizio 3.2.1

%%

clear, clc;

%% Stampo il grafico della distribuzione dell'errore normalizzato in sigma

e = linspace(-5, 5, 1000);

sigma = 1;

mu = 0;

pdf_normale = makedist('Normal', 'mu', mu, 'sigma', sigma);

u = pdf(pdf_normale, e);

%Normalizzazione del vettore delle ascisse rispetto a sigma

e_norm = e/sigma;

plot(e_norm, u);

xlabel('e/\sigma');

ylabel('u');

title('Distribuzione dell''errore normalizzata rispetto a \sigma');

%% Calcolo delle probabilità che gli errori cadano in intervallo

k = [sigma/5, sigma/4, sigma/2, sigma, sigma*2, sigma*3, sigma*4]';

% Formula per il calcolo delle probabilità

p = 2*cdf(pdf_normale, k)-1;

T = table(k, p);

disp(T);

3.2.2

Se si conosce solo l’incertezza di caso peggiore si assume che la distribuzione dell’errore sia uniforme

[−, ]. ~(−, ).

nell’intervallo

Incertezza di caso peggiore max|| = +

Incertezza standard

=

√3

Una distribuzione uniforme descrive una conoscenza sull’errore e non una proprietà verificabile

sperimentalmente, quindi è una SOKD.

3.3 Probabilità 2

3.3.1

[ ]

= , ,

1 2 3

2

1 2 1 3

1 2

Σ = [ ]

2 1 2 3

2 2

3 1 3 2 3

Variabili incorrelate a varianza unitaria

= = 0 ⇒ = 0

Se le variabili sono incorrelate:

⋅

1 0 0

Σ = [ ]

0 1 0

1 0 0 1

Variabili incorrelate a varianza uguale a 3 3 0 0

Σ = [ ]

0 3 0

2 0 0 3

Variabili correlate, con varianza uguale a 3 e covarianza uguale a -1 per differenza tra gli indici uguale ad 1

2

3 −1 0

1 2 1 3

1 2

Σ = =

[ ] [ ]

−1 3 −1

3 2 1 2 3

2 0 −1 3

2

3 1 3 2 3

Variabili incorrelate con varianza uguale ad 1, 2, 3 1 0 0

Σ = [ ]

0 2 0

4 0 0 3

2

= ) Σ = ⋅ )

Nel primo caso (Σ e nel secondo caso( gli errori sono tutti incorrelati con la stessa varianza e

1 2

prendono il nome di “errori omoschedastici”.

In questi casi si parla di rumore “stazionario bianco”.

Nel terzo caso gli errori non sono omoschedastici e il rumore è stazionario non bianco.

Nel quarto caso gli errori non sono omoschedastici e il rumore non è né stazionario né bianco.

3.3.2

1

2

′ 2

= = 0 = 1 = ′

[ ]

2

3 ′ ′

Dato che gli errori sono i.i.d (indipendenti identicamente distribuiti) la matrice covarianza di è:

′ ′ ]

Σ = [ =

′

= ′,

quindi la matrice covarianza di è: ′ ′

]

Σ = [ = [ ]

Posso portare fuori dall’operatore di aspettazione le matrici ed perché sono costanti.

′ ′

]

Σ = ⋅ [ ⋅ = =

4 −2 0 0

−2 5 −2 0

Σ = [ ]

0 −2 5 −2

0 0 −2 5

Considerare gli errori dal secondo in poi consiste nel considerare la sottomatrice:

5 −2 0

[ ]

−2 5 −2

0 −2 5

In questa matrice si nota che i termini non sulla diagonale principale sono diversi da zero, quindi gli errori non

sono omoschedastici e il relativo rumore non è bianco.

Inoltre, si nota che le righe successive alla prima si ricavano ognuna dalla precedente spostata di una posizione

a destra e resa simmetrica (matrice di Toeplitz), quindi il rumore relativo agli errori è stazionario.

3.3.3 (−, )

Errori i.i.d. a distribuzione uniforme con assegnata

Istruzione Matlab: Sigma1 = unifrnd(-U,U, [N, Nsim]);

Σ Σ ⋯ Σ

11 12 1

Σ Σ ⋮

21 22 ×

Σ = ∈ ℝ

1 ⋮ ⋱

Σ ⋯ Σ

[ ]

1

Σ ∈ [−, +].

Con numero casuale

2

(−, )

Errori i.i.d a distribuzione uniforme con varianza assegnata

2

2 2

= ⇒ = √3 ⋅

Dato che in una distribuzione uniforme .

3

Istruzione Matlab: Sigma2 = unifrn(-sqrt(3*sigma_2), sqrt(3*sigma_2), [N, Nsim]);

Σ Σ ⋯ Σ

11 12 1

Σ Σ ⋮

21 22 ×

Σ = ∈ ℝ

2 ⋮ ⋱

Σ ⋯ Σ

[ ]

1

2 2

Σ ∈ [−√3 ⋅ , +√3 ⋅ ].

Con numero casuale

2 2

(0, )

i.i.d a distribuzione con varianza assegnata

Istruzione Matlab: Sigma3 = normrnd(0, sqrt(sigma_2), [N, Nsim]);

Σ Σ ⋯ Σ

11 12 1

Σ Σ ⋮

21 22 ×

Σ = ∈ ℝ

3 ⋮ ⋱

Σ ⋯ Σ

[ ]

1

Σ = 0 .

Con numeri casuali generati dalla distribuzione normale di valore medio e deviazione standard

2

(0, )

i.i.d a distribuzione con assegnata l’incertezza estesa con probabilità di copertura

= 95.45%

L’incertezza estesa è l’estremo destro dell’intervallo in cui è contenuto l’errore.

∈ [− , ] = 95.45%

con

≅ 95% ≅ 2 ⇒ =

Dato che allora .

2

Istruzione Matlab: Sigma4 = normrnd(0, Ucp/2, [N,Nsim]);

Σ Σ ⋯ Σ

11 12 1

Σ Σ ⋮

21 22 ×

Σ = ∈ ℝ

4 ⋮ ⋱

Σ ⋯ Σ

[ ]

1

Σ = 0

Con numeri casuali generati dalla distribuzione normale di valore medio e deviazione

=

standard .

2

Errori con matrice covarianza di Toeplitz, essendo la prima riga della matrice di Toeplitz

Una matrice di Toeplitz è una matrice simmetrica quadrata in cui ogni riga dopo la prima è ricavata

dalla precedente spostata di una posizione e resa simmetrica.

Ad una matrice di Toeplitz di errori è correlato un rumore stazionario.

Dato che per generare una matrice di Toeplitz è necessario conoscere solo la sua prima riga, sia questa

, Σ

si può generare in Matlab la matrice con la seguente istruzione:

Sigma5 = toeplitz(r);

:

Sia il numero di elementi della prima riga

Σ Σ ⋯ Σ

11 12 1

Σ Σ ⋮

21 22 ×

Σ = ∈ ℝ

[ ]

5 ⋮ ⋱

Σ ⋯ Σ

1

Σ è una matrice simmetrica che verifica la seguente proprietà:

5

Σ = Σ = Σ = ⋯ = Σ ∈ [0, − 1].

con

i,j +1,+1 +2,+2 +,+

Istruzione Matlab per calcolare una stima della matrice covarianza data la matrice degli errori

×

∈ ℝ Sigma=cov(e);

3.4 Incertezza 2

3.4.1

Incertezza di caso peggiore || = +

Incertezza standard U

σ = u =

e √3

Incertezza di misura

L’incertezza di misura verrà fornita come incertezza di caso peggiore con una probabilità di copertura

(cioè la probabilità che l’errore cada in un determinato intervallo) del 100%.

3.4.2 2

(0, ) è una distribuzione gaussiana.

Incertezza di caso peggiore max|e| = +∞

Incertezza standard u=σ

Incertezza di misura

L’incertezza di misura verrà fornita come probabilità che l’errore cada in un intervallo simmetrico

= 2 ⋅ () − 1 =

rispetto all’asse delle ordinate. La probabilità è data dalla formula con .

3.4.3

Incertezza di caso peggiore |

max|e = 2U

3

Incertezza standard u = σ 3

Dato che le v.a. ed sono indipendenti:

1 2 2 2

2 2

32 12 22 2 √

= + = + = ⇒ = ⋅

3

3 3 3 3

Incertezza di misura [−2, 2],

La PDF triangolare è approssimabile ad una gaussiana ma allo stesso tempo è limitata in

2

2 = 2 = 2√ ⋅ ,

quindi l’incertezza di misura può essere fornita sia come intervallo sia come

3 3

|

max|e = 2U.

incertezza di caso peggiore Tra i due valori si sceglie il minore per dare informazioni più

3 2

2 = 2√ ⋅ ≅ 1.63 ⋅ .

precise, quindi in questo caso l’incertezza di misura è 3

= 3

Incertezza di misura per 2

3 3√ ⋅ = 2.45 ⋅

Moltiplicando l’incertezza standard per un fattore di copertura si ottiene ma la

3

[−2, 2],

PDF della somma delle due distribuzioni uniformi esiste solo in quindi il valore calcolato è

2.

errato e bisogna fornire l’incertezza di caso peggiore

3.4.4

Se si sommano almeno 3 distribuzioni uniformi di dimensioni simili la PDF risultante è molto somigliante ad una

distribuzione gaussiana.

La somma di dieci distribuzioni uniformi è:

Incertezza di caso peggiore max|e| = 10 ⋅ U

Incertezza standard 2