Appunti sui gas Prof. Branda

Pressione

Per pressione si intende la forza che insiste sull'unità di superficie

p = F/S = m·g/S = kg/m·s² = kg/m·s² = Pa (Pascal)

Esperimento di Torricelli

Torricelli misurò la pressione atmosferica usando un barometro a mercurio.

Torricelli utilizzò un tubo pieno di mercurio, chiuso da un lato e vide che rovesciandolo nel bacino il livello della colonna di mercurio scendeva a 760 mm.

Il peso della colonna di mercurio è:

Fp = d_Hg Ah dove:

d_Hg = densità del mercurio

A = l'area di base e h = l'altezza della colonna

Quindi la pressione è p = Fp/A = d_Hg h

Il livello del mercurio si ferma quando la pressione esercitata eguaglia quella dell'atmosfera.

Un'unità di misura della pressione è il millimetro di mercurio chiamato anche Tor (in onore di Torricelli) ed equivale alla pressione esercitata da un millimetro di mercurio.

È un'unità di misura (che deriva dal Tor) e l'atmosfera è quella che detiene 760 Tor perché per eguagliare la pressione dell'atmosfera abbiamo bisogno di una colonna di 760 mm di mercurio.

Fusioni ed ebollizioni

La fusione di un elemento avviene ad una temperatura ben precisa che rimane costante finché il soggetto non è completamente liquido; la temperatura di fusione dipende anche della pressione.

Anche l'ebollizione avviene ad una temperatura ben precisa e dipende molto dalla pressione.

Scale di temperatura

La scala Celsius (o centigrada)

La scala di temperatura celsius attribuisce alla temperatura di fusione del ghiaccio il valore 0° e alla temperatura di ebollizione dell'acqua 100°C.

La scala Fahrenheit

Questa Fahrenheit corrispondenza dello 0°C ha un valore di 32°F mentre il 100°C equivale a 212°F. Quindi se 100°C corrispondono a (32 + 100·1,8)F = 212°F.

Scale celsius e Fahrenheit sono scale relative e opposte si indica con il pallino in cima l'unità di misura °C, °F.

Pressione

Per pressione si intende la forza che insiste sull'unità di superficie.

p = F / S = m_g / S = kg·m·s^-2 / m² = kg / m²·s² = Pa (Pascal)

Esperimento di Torricelli

Torricelli misurò la pressione atmosferica usando un barometro a mercurio.

Torricelli utilizzò un tubo pieno di mercurio chiuso da un lato e vide che rovesciandolo nel bacinella il livello della colonna di mercurio scendeva a 760 mm.

Il peso della colonna di mercurio è:

P_p = m_g Ah dove:

Hg = la densità del mercurioA = l'area di baseh = l'altezza della colonna

Quindi la pressione è p = P_p - m_g Ah / A = m_g h₁

Il livello del mercurio si ferma quando la pressione esercitata eguaglia quella dell'atmosfera.Un'unità di misura della pressione è il millimetro di mercurio, chiamato anche Torr (in onore di Torricelli) ed equivale alla pressione esercitata da un millimetro di mercurio.Un'altra unità di misura (che deriva dal Torr) è l'atmosfera.È quella che determina 760 Torr perché per raggiungere la pressione delle 1 atmosfere abbiamo bisogno di una colonna di 760 mm di mercurio.

Fusione ed ebollizione

La fusione di un elemento avviene ad una temperatura ben precisa che rimane costante finché la sostanza non è completamente liquida. La temperatura di fusione dipende anche della pressione.

Anche l'ebollizione avviene ad una temperatura ben precisa e dipende molto della pressione.

Scale di Temperatura

La scala Celsius (o centigrada)

La scala di temperatura Celsius attribuisce alla temperatura di fusione del ghiaccio il valore 0°C e della temperatura di ebollizione dell'acqua 100°C.

La scala Fahrenheit

La scala Fahrenheit in corrispondenza dello 0°C ha un valore di 32°F mentre la diversità di Celsius equivale a 1°C = 1,8°F. Quindi a 100°C corrispondono (32 + 100·1,8)°F = 212°F.

Scale Celsius e Fahrenheit sono scale relative e opposte si misura con il termolino inversa o l'unità di misura: °C, °F

La scala Kelvin

Le scala Kelvin fa corrispondere al valore 0 e si chiama 0 assolutoİ temperatura alla quale si dovrebbe annullare l'agitazionetermica delle particelle. Altro 0 corrispondono -273°C e visto chel’unità è - quella delloscale Celsius e avere:0°C = 273 K e 100°C = 373 K.La scala kelvin e una scala assoluta quindi si omette il o (grado) nelladesignazione.

Confronto tra scale termometriche

• 0°C / 32°F / 273K
• 100°C / 212°F / 373K

T°F = 32 + 1,8 T°CTₖ = 273 + T°c

Equazione dei gas perfetti

P·V = n·R·T

L'Opera: P = pressione V = volumen = numero di moli T = temperatura in kelvinR = Costante

Questa equazione e il risultato di 3 leggi ricavate da studi sperimentali:

1. Legge di Boyle (trasformazione isoterma)

A temperatura costante il volume di una quantita di gas varia in modoinversamente proporzionale alla pressione: P·V = costanteP₁V₁ = nRT (=) P₁V₁ = P₂V₂P₂V₂ = nRT

2. Legge di Charles - Gay Lussac (trasformazione isobara)

A pressione costante il volume è proporzionale alla temperatura.PV = nRT₁ (=) nR (V₁ / T₁ = V₂/T₂) =>V₁ / T₁ = V₂ / T₂

3) Trasformazione isocora

A volume costante la pressione è direttamente proporzionale alla temperatura:

P₁V = nRT₁ (a) = P₁V_1T1

P₂V = nRT₂ (c) = V_2T2V

P_1T1 = P_2T2

4) Principio di Avogadro

A pressione e temperatura costanti, volumi uguali di gas diversi contengono lo stesso numero di molecole. Se si raddoppiano le molecole il volume raddoppia.

Per volume molare, s'intende il volume di una mole d'esistenza pari a 6.022·10²³ molecole. V_m = V/K

Dalle 4 relazioni precedenti otteniamo:

L'Equazione di stato dei gas perfetti

PV = nRT

Si tenga conto che l'equazione di stato vale quando un gas si trova nelle condizioni "ideali" (perfetta), cioè ad alte temperature e basse pressioni, di modo che il diametro è costante ed il volume è trascurabile.

Sappiamo sperimentalmente che a condizioni standard o TPS, cioè T = 0°C = 273 K e P = 1.00 atm, il volume di una mole di gas perfetto è V_mo = 22,414 g. Allora R, che chiamano di solito dire la costante R:

R = PV/nT = (1.00)(22,414) / (1.00)(273) = 0.08206 atm·l/mol·K

Legge di Dalton delle pressioni parziali

La pressione esercitata da una miscela di gas perfetti è la somma delle pressioni che i singoli gas, che costituiscono la miscela, eserciterebbero se occupassero essi soli il volume dato.

Il contributo di ciascun gas alla pressione totale si chiama proprio pressione parziale. Quindi la legge di Dalton dice che la pressione parziale di un gas è la pressione che il gas eserciterebbe se occupasse esso solo il volume.

La pressione totale di una miscela di gas è la somma delle pressioni parziali.

Detti P₁, P₂...P_n le pressioni parziali di una miscela,

P_tot = ΣP_i

Calcoliamo le equazioni di stato di un gas e della miscela:

P_iV = n_iRT

P_totV = n_totRT / V

Allora P_i = P_totX_i

LA TEORIA CINETICA DEI GAS

Consideriamo un insieme di molecole in moto casuale all'interno di un contenitore, soggette alle seguenti ipotesi:

• Le forze tra le molecole e = 0
• Gli urti tra molecole, e molecole e contenitore sono elastici.
• Le molecole sono masse puntiformi (la distanza tra le molecole è grande rispetto le loro dimensioni).

Consideriamo come nostro contenitore un cubo di lato l

• N numero di molecole all'interno del cubo
• vi velocità di una molecola

L'energia cinetica di una molecola sarà: _Ec = 1/2 m vi² e l'energia cinetica totale del sistema sarà Ectot = Σ_i1/2 m vi²

Posso così calcolarmi una velocità quadratica media è una media fatta in modo diverso tramite l'energia cinetica media.

_Ec(media) = _Ectot / N = Σ_i1/2 mvi² / N = 1/2 m _v² allora.

1/2 m _v² = 1/2 N Σ_i1/2 mvi² = 1/2 Σ_imvi² / N

⟶ _v² = Σ_ivi² / N

Adesso mi è conveniente considerare un sistema con stesso contenitore, stesso numero "n", e molecole N che però hanno tutte la stessa velocità _v che ho appena calcolato.

Visto che all'interno il flusso attraverso qualsiasi superficie O le componenti di _v lungo gli assi sono tutte uguali quindi

_v² = _vx² + _vy² + _vz² ⇒ _vx² = _vy² = _vz² = 1/3 _v²

Dalla seconda legge della dinamica sappiamo che

F = ma = m _vt2 - _vt1 / _t2 - _t1 = ∆(mv) / ∆t = -∆p / ∆t

Adesso consideriamo come unica quantità di una molecola sia m_vx urtore contro una parete e la sua quantità di moto diventare m_vx quindi la variazione di quantità di moto è ∆p = 2m_vx

Per il 3^o principio della dinamica il recipiente esercita una forza pari ed opposta sulla molecola.

Per calcolare le forze ho bisogno della frequenza degli urti dopo un urto la molecola si muove verso la parete opposta e dopo un altro urto ritorna alla parete di partenza e avrà percorso una distanza 2 L e 2 L.

N v = 2 L allora la frequenza 1 sarà: f = 1 = v L

Quantità N v_x vapore sentili numero di urti percentuali di tempo.

Allora F = N v_x h m v_x = Nm v_x²

Se voglio la pressione devo fare le forze per unità di superficie.

Pensione = F = 1 Nm v_x² 2 = Nm v_x² = ₂/3 N L EC̅.

Utilizza il risultato appena trovato nell'equazione di stato dei gas perfetti.

PV = n = RT = 2/3 N E̅C̅ = n RT = 3 n RT EN.

n = il numero di moli N = il numero di molecole idonee.

n/n = N AV cioè 1 numero di avogadro quindi.

E̅C̅ = 3 / 2 RT N av

Notiamo che nel ragionamento scriviamo il fatto che energia cinetica e temperatura sono direttamente proporzionali.

Osservazione: l'energia cinetica della temperatura assolvuta e assolvuta e 0.0. Così con tradizione su questa teoria anche a 0_kelvin non abbiamo un gas perfetto ma questo è dimostrato un termodinamico.

Gas Reaci

Un gas è perfetto quando o = l'equazione di stato dei gas perfetti.

Un gas è redonde quando non rispetta quest'equazione.

Abbiamo visto che i gas reali soddisfano l'equazione di stato dei gas perfetti se:

• hanno una bassa densità cioè esercitano una bassa pressione
• si trovano ad alta temperatura

quella tra teorie caratteristiche dei gas desumono un modello di gas perfetto basato sulle seguenti ipotesi:

• le molecole sono punti materiali
• l'energia di interazione tra le molecole è nulla

Queste 2 ipotesi non verranno in un gas reale (cerchiamo di usare una legge per dei gas reali).

Partendo dall'

_{equazione di stato dei gas perfetti corregliamo}

di _ilaber della correzione.

1^a considerazione

consideriamo la molecola di un gas

perfetto come sei punti non effettivamente

non le ossi ogni molecola le vi volume finito.

Ora prendiamo una mole d['];gas e comprimiamo li il p'imm possibil;

aggiundiamo che il volume d _[] volume d. molecule si b.

Attuando questa correzione possiamo scrivere | 'equazione di stato:

P (V-nb) = nRT

Il parameter b 'chiamato volume della gasi, ['] determinato

sperimental mente:

2^a considerazione

: g. dimostro che': all'_intergas del

delle swaps attractive della _mum del Cole.

parte dell' Enegoie del Sistemo _{[ ]}deve esserre ettilizzate per virce.

le pareive e attrazione quintale molecole _{[ ]} muovomo piu lentemen

te [ ' d ].inu[ ' ]scono il numero degli urti. arisster che l' are< >Vazione

deg;una deg' urti . _{[ ]}niniliseche . le _{[ ]}beressione a.

d;,qualie aggi-e , indicaro un altro;

che dipara dal n:

[ we ] determinare, di volume e quioe le proporuvionale al numero di molecol_e

l major partde le pressione e - proprio Vdiato anche al - led he'sita n idem

che elaternon sulla qorete l a questo anche et patatero al

[ ]ziutlo grigiore e 'l'equazione di stato un tarmixn _in dolr

Correggera ^{[ ]}ln(). le del r_{[ ]}recipient o rer e qu Parametero

[ per il numero di moh] L' volume del re_ciptient el e un _{[ ]}voremtror

corretterisico deg' uni gas che va determinato sperimentalmente.

equazione di Van der Waals

_{(); ed agas rol i}

Dalle 2 wonsiderazioni precendenti air Elriloma deli un equazione

di stato per i gas real;

(p₊ a ⁿ²

—^{_' —---—-) (V—- nb) al\, — nRT}

dove a b sono prossimetr's cons'harrereitche del _gag

determan

rimenlte, perimentale.

Si tenga coiniett c'est equatione futiona colo so

assumo ni condizoni simih edquoella demquanno.

determ Hato a b.

Approccio Ingegneristico Ai Gas Reali

Possiamo definire una grandezza che misura la deviazione di un gas reale da uno ideale:

Z = \(\frac{pV}{nRT}\)

Z è chiamato fattore di comprimibilità ed è uguale a 1 per un gas ideale.

A sinistra è mostrato il grafico di un gas reale. Tutti i grafici partono dal valore Z=1 perché quando la pressione è 0 il gas è un gas perfetto.

Le temperature T1, T2, T3 sono le temperature, vediamo che più la temperatura aumenta più la curva va ad avvicinarsi a quella di un gas ideale.

Distribuzione di Velocità Maxwell-Boltzmann

Adesso ci poniamo il problema di quante molecole in un recipiente hanno una certa velocità.

No è il numero di molecole totali in un recipiente e N è il numero di molecole che possiedono quella velocità.

Consideriamo e calcolore N/No ovvero il numero di molecole su quelle totali che hanno una tale velocità v, questo perché mentre No e N dipendono dal recipiente N/No non dipende da esso.

Analizziamo ora il grafico:

• Il valore 0 non è posseduto dalla funzione perché nessuna molecola è ferma.
• Tende asintoticamente a 0 perché ci sono molecole molto veloci, ma nessuna raggiunge la velocità infinita.
• Questa funzione ha un massimo che corrisponde tra la velocità più probabile delle molecole.
• La velocità media è più alta di quella più probabile.
• La distribuzione N/No dipende dalla temperatura. All'aumentare della temperatura il massimo si sposta verso a destra perché abbiamo più molecole che raggiungono velocità maggiori.
• L'area sotto alle curve è sempre 1 perché la somma di distribuzioni della funzione non è alterata. No molecola si può aggregare.