Appunti Statistica per la finanza

Lezione 1/3/2022

Retta dei minimi quadrati: fa riferimento alla modalità con cui si ottenta

Con riferimento al file Excel sia X il N di pezzi, prodotti e Y il tempo necessario (in ore) per produrli. Si suppone che siano stati rilevati mediante una rilevazione statistica in cui ci sono 24 unità statistiche. Dato luogo ad una serie di N uple:

I punti si possono disegnare nello spazio cartesiano

Min _{α0, α1} Σ (_{i = 1}^N)(Ŷ_i - Ŷ_i)²

Ŷ_i = α₀ + α₁X_i

Lo _{α0 e α1} da rendere minima la somma dei minimi quadrati:

α₁ = cov(X,Y) / var(X)

α₀ = Ȳ - α₁X̄

cov(X,Y) = 1 / N Σ (_{i = 1}^N) (X_i - M (X))(Y_i - M(Y))

var(X) = 1 / N Σ (_{i = 1}^N) (X_i - X̄)²

Supponiamo

• α₁ = 0,028
• α₀ = 2,216

α₀ = 2,216 indica che sono necessarie 2,216 ore per sistemare una linea di produzione per far partire la produzione (quindi se la QA richiesta è zero)

α₁ = 0,028 è il coefficente angolare che indica che ogni volta passo ad una confezione con 1 ordine in più, il tempo necessario cresce di questa QTA, è sempre lo stesso e/o indica l'altezza del gradino

Una covarianza misura il legame lineare catturato dalla retta tra le 2 variabili X e Y. Se è positiva indica se un fenomeno X cresce cresce anche Y e viceversa.

Proprietà retta dei minimi quadrati:

1. \(\sum_{i=1}^{n} Y_i = \sum_{i=1}^{n} \hat{Y}_i\);

   oppure \( \sum_{i=1}^{n} Z_i = 0\)

   somma dei residui è nulla

2. Passa per il punto \((\bar{X}, \bar{Y})\) la retta dei minimi

3. \(\text{Cov}(X,Z) = 0\) i residui sono incorrelati con la variabile esplicativa

\(r(x, y)\) = rapporto di correlazione di Pearson può assumere valori tra -1 (massima correlazione negativa) e 1 (massima correlazione positiva) e nel caso sia pari a zero vi è incorrelazione tra X e Y

\(r(x, y) = \dfrac{\text{Cov}(Y, X)}{\sigma(X) \sigma(Y)}\)

Indice della bontà di adattamento:

Indica quanto il modello sia adeguato a descrivere il legame esistente tra X e Y (in quanto non è detto che sono legati da una relazione lineare)

Si basa sulla scomposizione della varianza

\(r^2 = \dfrac{\text{Var spiegata}}{\text{Var totale}} = \dfrac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (\hat{Y}_i - \bar{Y})^2}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2}\)

- DERIVARE

D

=

N

=

N

=

2

= 0

DD

=

2

= 0

DD

=

2

= 0

SI. SEMPLIFICA

= 0

= 0

= 0

SI MOLTIPLICA PER -1

= 0

= 0

= 0

SI RAGGRUPPA E SI METTE

1^a COLONNA α₁

2^a COLONNA α₂

3^a COLONNA α₃

TUTTO IL RESTO COME TERMINE NOTO

Lezione 17/3/2022

Ogni modello lineare nei parametri (retta piano iperpiano) i cui parametri sono stimati con il metodo dei minimi quadrati ha le seguenti proprietà:

1. Residuo ha media nulla M(Z_i) = 0
2. Media X₁ = Media X_1̂ → M(X₁) = M(X_1̂)
3. Incorrelazione tra residui e le variabili esplicative
4. Incorrelazione tra residui e il modello X_1̂
5. Per la 1^a equazione del sistema normale:β₁ X₂ X₂ + β₃ X₃ = X₁, punto (X₁, X₂, X₃) ∈ PMQ

• Queste proprietà non assicurano sebbene siano ottime proprietà che la precisione della stima del modello sia sufficiente quindi non assicurano che l’ordine di grandezza dei residui sia di dimensioni limitate.

­Indice della bontà di adattamento (rapporto di composizione parte/tutto)

Scomposizione della varianza in spiegata e residua

Devianza totale (X₁) = Σ_i=1^N (X_1i - X̄)²

= Σ_i=1^N [(X_1i - X_1̂i) + (X_1̂i - X̄)]²

= Σ [ (X_1i - X_1̂i)² + (X_1̂i - X̄)² + 2 (X_i=1 - X_1̂i)(X_1̂i - X̄) ]

= Σ (X_1i - X_1̂)² + Σ (X_1̂i - X̄)² + 2 Σ (X_1i - X_1̂)(X_1̂i - X̄)

Devianza Residua ↓SOMMA DEI QUADRATI DEI RESIDUI

Devianza Spiegata ↓SOMMA DEI QUADRATI DEGLI SCARTI DEI VALORI DEL MODELLO DALLA MEDIA

Si vorrebbe che sia pari a zeroin quanto ≠ 0 in quanto il moltiplicato per altri valori e non si esaurirano come risultato zero

se X₂ e X₃ sono incorrelate, se calcolo r tra loro 2 è pari a zero

p ₀ 1₂₃ = 0

quindi

1 + 2₂ = 1 + 1₂ + 1₃ = 1₁ 1₂₃

In questo caso la quota di variabilità spiegata dal piano interpolante è pari alla somma della quota di variabile spiegata dalle 2 rette

X_{1 1} = α + b X₂

X_{1 1} = C + d X₃

Miglioramento della bontà di adattamento dal passaggio della P.M.Q agli P.M.Q

aumento della varianza spiegata e diminuzione di quella residua

DEV. RES. _p ^{^} = ∑ (X₁ - X₁ ^{^} )² - ∑ (X₁ - α₁ ^{^} 1 - α₂ ^{^} X_2i - α₃ ^{^} X_3i )²

dato un generico piano P

DEV. RES. _p ^{^} = ∑ (X₁ - d₁ - d₂ X_2i - α₃ X_3i )²

Vale per ∀ α₁, α₂, α₃ ε R

≥ devianza residua piano dei minimi quadrati per definizione

dimostrazione del dev residua (r.m.q è maggiore della devianza residua)

Si divide e moltiplica per G₁₂ G₂₂ G₃₃

_{G33 G12 G13 G23}

_{G12 G22 G33}

_{G22 G33 G23}

1 - _G23

_{G22 G33} G₂₃ = R²₂₃

_{α12 - h23 P23 G1}

_{(1 - R²23)}

*

_{Φ ( α12 ; h23 ; G1 )}

_{Φ ( α13 ; h23 ; G1 ) =}

α_{13 : 2}

= _{α13 - r12 P23 G1}

- _{(1 - h23)²}

Se vogliamo ricavare l'opposto α₁₂ = Φ ( α_12.3 ; h₂₃ ; G₁ )

Si parte da * e si ricava α₁₂.

_α12

= _{α12.3 + h23 P23 G1}

- _{(1 - h23)²}

= _{α12.3 (1 - (1 - h23)²) + h23 P23 G1}

Se X₂ e X₃ sono incostante tra loro indica che

α_{12 = α12.3}

Il piano dei minimi quadrati è generato da due rette dei minimi quadrati.