Appunti Statistica III

Variabili casuali

Continue e discrete

Variabili casuali discrete.

Variabile casuale di Bernoulli.

Variabile casuale binomiale.

Variabile ipergeometrica.

Esempio di problema di statistica

Consideriamo un libro di esercizi di statistica che ha 120 esercizi di cui 40 di statistica descrittiva e 80 di inferenza. Uno studente decide un pomeriggio di svolgere 5 esercizi scelti casualmente dal libro, assicurandosi ovviamente di non selezionare più di una volta lo stesso esercizio (tecnicamente si chiama schema senza reintroduzione). Ci si chiede: A. P(2 esercizi di descrittiva su 5 estratti).

Variabile di Poisson

MYUNG Numero medio di successi per un particolare intervallo di tempo e/o spazio. Esempio: una compagnia assicuratrice ha un elevato numero di polizze sulla vita contratte da persone di tutte le età e la probabilità che una di queste si traduca in una richiesta di indennizzo durante l’anno è molto bassa. La distribuzione di Poisson può essere usata per approssimare la binomiale quando è N è grande e p è piccolo.

Quando usare Poisson e quando la binomiale

Binomiale.

Distribuzioni congiunte di più variabili aleatorie discrete. Siano x e y due variabili aleatorie discrete. La loro distribuzione di probabilità congiunta esprime la probabilità che X assume un particolare valore x e contemporaneamente Y assume un particolare valore y come funzione di x e y.

Distribuzione congiunta

Se conosciamo la loro distribuzione congiunta, la funzione di probabilità della variabile X viene chiamata distribuzione marginale di probabilità di X ed è ottenuta sommando le probabilità congiunte per tutti i possibili valori di Y. Nello stesso modo si calcola la distribuzione marginale di probabilità di Y.

Proprietà delle distribuzioni di probabilità congiunte

La distribuzione di probabilità condizionata della variabile Y subordinata a un valore x della variabile X esprime la probabilità che Y assume il valore y quando si specifica un valore x per la variabile X. Due variabili aleatorie sono dette indipendenti se e solo se la loro distribuzione di probabilità congiunta è pari al prodotto delle due distribuzioni di probabilità marginali. Se sono indipendenti, la loro distribuzione di probabilità condizionata coincide con le distribuzioni di probabilità marginali.

Distribuzione esponenziale

Importante nei problemi sulle cose d’attesa. Assume solo valori positivi e la sua distribuzione non è simmetrica. Differenze con la distribuzione di Poisson: Calcolare il numero di volte in cui si manifesta un evento nell’unità di tempo. Calcolare la probabilità di successo durante l’intervallo di tempo.

Chi quadro

Numero di osservazioni indipendenti del campione meno il numero k di parametri della popolazione che devono essere stimati per mezzo delle osservazioni campionarie. I gradi di libertà.

Distribuzione congiunta di due variabili continue

Siano X1, X2, ..., Xn variabili aleatorie continue. La loro funzione di ripartizione congiunta definisce la probabilità che simultaneamente X1 sia minore o uguale a x1, X2 sia minore o uguale a x2, ecc. Le funzioni di ripartizione delle singole variabili sono chiamate funzioni di ripartizione marginali e rappresentano la probabilità che la variabile aleatoria Xi non superi il valore xi.

Campionamento

Un procedimento attraverso il quale, partendo da un insieme di unità oggetto di studio (popolazione), estraiamo un numero ridotto di casi che generano un campione. Perché? Perché ci permetteranno di calcolare determinate cose e di poter generalizzare alla popolazione dati risultati attraverso un processo chiamato inferenza statistica. Ricorre spesso l'esigenza di stimare un parametro incognito della popolazione, quindi di ricorrere al campionamento, perché non ci sono sempre tutti i dati o per motivi di costo.

Obiettivo del campionamento

L'obiettivo è trovare uno stimatore che produca delle stime che devono essere il più vicino realistiche possibile al parametro incognito. Se sto calcolando la media di un fenomeno nella popolazione, prenderò un campione su questo farò delle operazioni che mi forniranno lo stimatore, che mi fornisce delle stime, un numero più vicino possibile alla media della popolazione.

Campione casuale semplice

Il campione casuale semplice è caratterizzato dal fatto che le unità vengono estratte una ad una. Con il campionamento casuale, si rimuove dalla popolazione per evitare il rischio di ottenere un campione non rappresentativo della popolazione, attribuendo di volta in volta la stessa probabilità di essere estratte alle unità rimanenti.

Inferenza

Le funzioni dei dati del campione vengono chiamate statistiche campionarie. Data una popolazione, si consideri una sua caratteristica, ad esempio la media. Estratto dalla popolazione un campione per fare inferenza sulla caratteristica, si dovrà scegliere una statistica campionaria. L'inferenza si basa sul fatto che ogni campione casuale determinerà un valore diverso dalla media campionaria. La distribuzione delle varie medie è detta distribuzione campionaria.

Esempio di distribuzione campionaria

Esempio: un datore di lavoro deve scegliere due tra sei dipendenti che devono fare parte di un determinato gruppo di lavoro. Gli anni di esperienza dei dipendenti sono i seguenti. La media della popolazione è dunque 5,5. Se noi prendiamo i campioni di due dipendenti, la media del campione non sarà uguale alla media della popolazione. Queste sono tutte le possibili coppie tra i sei dipendenti presi a due a due. Ognuno dei 15 campioni ha la stessa probabilità di essere estratto. Nonostante il numero di anni di esperienza dei lavoratori vada da due a otto, i possibili valori della media campionaria variano solo da 3 a 7,5. Inoltre, molti dei valori si trovano nella parte centrale dell’intervallo. Più aumenta l’ampiezza, più sono concentrati attorno alla media campionaria, più l’intervallo si restringe attorno alla media.

Stimatore e stima

L’obiettivo del campionamento è quello di riuscire a stimare il valore del parametro. La principale distinzione è anzitutto quella tra stimatore e stima. Uno stimatore per un parametro di una popolazione è una variabile aleatoria, funzione delle variabili campionarie. I suoi valori forniscono approssimazioni per il parametro non noto. Ogni singolo valore di questa approssimazione è detta stima. La stima può essere intervallare o puntuale. Uno stimatore puntuale per un parametro della popolazione &