Appunti Statistica I

Che cos'è la statistica?

Si tratta della disciplina che propone metodi per lo studio dei fenomeni naturali; si divide in due tipologie:

• Statistica induttiva/inferenziale → Probabilità → utilizzare la probabilità per estendere le proprie conclusioni dal campione alla popolazione.
• Statistica descrittiva → Rilevazione campionaria → descrivere con opportuni metodi le caratteristiche più salienti dei fenomeni oggetto di indagine (unità statistiche).

Esempio

N= 5000 studenti della facoltà. Per raccogliere informazioni si ricorre ad un campione cioè ad un sottoinsieme n: 400, molto inferiore a N → → risparmio di tempo e di costi.

Inferenza statistica: branca della statistica che generalizza alla popolazione di dimensione N, le conclusioni tratte dal campione di dimensione n.

Il concetto statistico di popolazione

Si tratta dell'insieme delle unità statistiche che si vogliono esaminare (popolazione degli alberghi di Milano, popolazione delle università d'Italia nel 2010-2011).

Quando si utilizza la statistica?

1. Nelle scienze empiriche → Scienze induttive basate non solo sulla deduzione ma anche sull'induzione che si deduce dall'osservazione → fisica/economia/medicina; si differenziano dalle scienze deduttive basate su deduzioni (assiomi → teoremi) → matematica/logica.
   • Economia: X= reddito Y= quota di reddito al risparmio → una teoria per cui Y= f(x) che viene quindi verificata nei dati, andando a verificare n osservazioni di reddito e n osservazioni di quota al risparmio e si va a valutare se quanto detto nella teoria ha un riscontro empirico.
2. Nell'ambito operativo →
   • Utilizzo della statistica per prendere delle decisioni in condizioni di incertezza.
     • Esempio: Per valutare il grado di soddisfazione della clientela si possono utilizzare dei questionari per valutare la rumorosità, la colazione, la pulizia e quindi l'analisi statistica servirà per mettere in atto eventuali azioni correttive.
   • Utilizzo della statistica in campo aziendale → data science.

I passi della statistica descrittiva

Formazione dei dati statistici

• Formazione di casi statistici: individuazione dei caratteri e delle modalità.
• Rilevazione dei casi statistici: raccolta delle modalità dei caratteri considerati (questionario).
• Spoglio dei casi: riunire tutti i casi possibili con la stessa modalità.
• Preparazione dei dati statistici: forma grafica o tabellare.

Trattamento statistico matematico dei dati

Formazione dei dati statistici

Formazione dei casi statistici: Dopo avere individuato la popolazione, i singoli oggetti di indagine, bisogna analizzare:

• Caratteri: le caratteristiche da analizzare di questi soggetti (sesso, regione, peso, reddito).
• Quantitativi: caratteri le cui modalità possono essere espresse in numeri (Es: numero figli per famiglia, peso del paziente, reddito di una famiglia).
  • Discreti: caratteri le cui modalità assumono un valore finito o numerabili di valori (numero dei figli che può essere fino a un numero K che però arriverà a una fine).
  • Continui: caratteri le cui modalità possono assumere qualsiasi numero in un intervallo (a,b), per cui in teoria è un numero infinito di modalità in pratica la precisione dello strumento di rilevazione fa si che il numero di modalità effettivamente misurabili sia finito (Y= peso alla nascita di un neonato che può essere quindi qualsiasi peso all'interno di un intervallo [250 g; 6500 g], ma in pratica dipende dalla precisone della bilancia).
• Qualitativi: caratteri le cui modalità non possono essere espresse in numeri, bensì in categorie, attributi, attraverso l'utilizzo di vocaboli (Es. Il carattere sesso ha come modalità maschio, femmina; Il carattere maturità ha come modalità classica, scientifica...).

I diversi valori assumibili dal carattere:

• Modalità: le modalità del sesso sono uomo/donna.
• Incompatibili: non posso definirle in modo tale da avere ambiguità cioè una modalità deve escludere l'altra (carattere=luogo di nascita; modalità= Milano città, provincia di Milano, altre province → non va bene perché Milano città e provincia di Milano sono compatibili).
• Esaustive: l'unità statistica deve avere un carattere tale da poter essere attribuito a una modalità (nell'esempio di prima, uno studente di Tirana non può essere attribuito a nessuna modalità per cui la lista di modalità dovrebbe essere = Milano, altri comuni, altre province, estero).

Scala di misurazione dei caratteri

• Carattere qualitativo:
  • Scala nominale: categoria in cui c'è meno informazione, per cui nella modalità non è possibile nessun ordinamento, posso solo dire uguale o diverso Es. Nel carattere sesso le modalità Maschio/ Femmina non possono essere ordinate → modalità sconnesse.
  • Scala ordinale: è almeno possibile un ordinamento naturale, per cui è possibile decidere il proprio ordinamento per cui posso dire se è uguale, diverso, maggiore, minore (Es. Nel carattere categoria alberghiera che ha come modalità 1 stella, 2 stelle fino a 5 stelle). I caratteri qualitativi ordinali a volte presentano dei numeri ma sono fittizi, per cui non li posso sommare, dividere etc...
• Carattere quantitativo:
  • Scala a intervalli: oltre a capire se è uguale, diverso, maggiore, minore si può anche aggiungere e sottrarre, ma non è possibile moltiplicare e dividere, perché in questa scala di intervalli lo 0 è fittizio (Es. Il carattere temperatura dove la temperatura =0 non vuol dire assenza di temperatura bensì è un valore convenzionale attribuito a una data temperatura; si può calcolare la differenza di temperature tra due corpi ma non si possono fare moltiplicazioni e divisioni, per cui il passaggio da un grado a 2 gradi non vuol dire raddoppio di temperatura).
  • Scala di rapporti: in questa scala si può fare ogni cosa uguaglianza, disuguaglianza, maggioranza, minoranza, addizione, sottrazione, divisione, moltiplicazione, lo 0 è un valore vero che identifica proprio l'assenza di fenomeno (Es. Il carattere peso di neonati, un peso 0 significa proprio assenza di peso).

Si definisce scala di misurazione perché, più si scende più aumenta l'informazione dei dati. Tra i diversi tipi di scala esiste una gerarchia per cui significa che la scala successiva possiede le caratteristiche della precedente più le caratteristiche proprie.

Rilevazione dei casi statistici

Si tratta della raccolta delle modalità dei caratteri considerati, spesso svolta attraverso dei questionari che possono essere:

• Totali → se effettuati sull'intera popolazione N (Es. Censimento).
• Parziali → se effettuati su un campione di popolazione n (Es. Indagini campionarie ISTAT).

Tali dati vengono sistemati in tabella (dataset, database) → matrice dei dati.

Spoglio dei casi rilevati

Riunire tutti i casi possibili con la stessa modalità.

Esempio 1

Carattere = maturità

Esempio 2

Caratteri = maturità e sesso

Preparazione dei dati statistici

Rielaborazione dei dati in tabelle dei risultati dello spoglio.

Esempio

Distribuzione di frequenza: successione delle modalità di un carattere con le rispettive frequenze (a_j, n_j) dove j = 1...., s per cui n_j = frequenza assoluta.

• Caratteri qualitativi → Mutabile statistica.
• Carattere quantitativo:
  • Variabile statistica x_jn_j per cui n_j = frequenza assoluta.
  • Se x= carattere quantitativo discreto → (x_j, n_j) con j = 1....., s.
  • Se x= carattere quantitativo continuo → le modalità vengono raggruppate in classi, si tratta di un intervallo in cui il limite superiore è incluso mentre quello inferiore è escluso (potrebbe anche essere il contrario), in modo tale da garantire incompatibile tra le classi.

Esempio

Ampiezza di una classe:

• Nel carattere continuo: Ampiezza = estremo superiore - estremo inferiore → lunghezza dell'intervallo della classe.
  • Esempio: L'ampiezza della classe 2000 —| 3000 è = 3000-2000= 1000.
• Nel carattere discreto: Ampiezza = estremo superiore - estremo inferiore + 1 → numero di modalità presenti nella classe.
  • Esempio: Nel carattere "voto maturità", la classe è 85 — 89 → 85,86,87,88,89 si può ottenere anche facendo 85-89 +1= 5.

Scelta delle classi

Spesso la scelta delle classi è arbitraria, per cui, non c'è una regola che dica quante classi e come costruirle, bisogna però considerare dei criteri:

• Classi troppo ampie → perdita di informazione: non si è in grado di capire come le frequenze cambiano al cambiare delle classi.
• Classi troppo piccole → poche/assenza di osservazioni nelle classi.
• Regola del pollice: non più di 20 classi.
• A volte l'ampiezza cambia da classe a classe → classi ad ampiezza variabile.

Distribuzione di quantità

Successione di modalità di un carattere con rispettive quantità diversa dalla frequenza. Per costruire una distribuzione di quantità è necessario avere:

1. Carattere quantitativo X per il quale ha senso calcolare la somma dei valori assoluti (sommare le modalità).
2. Carattere qualitativo A che serve per classificare le unità statistiche al fine di sommare i valori di X per data modalità di A.

Esempio

Carattere: numero di stelle di un albergo. Unità statistica: singolo albergo. Modalità: 1,2,3,4,5 stelle.

Serie storiche

Successione nel tempo di un fenomeno quantitativo in corrispondenza del carattere tempo.

Esempio di dati

• Flusso di un fenomeno in un anno o periodo determinato.
• Stock di un fenomeno in un istante di tempo di riferimento.

Serie territoriali

Successione di un fenomeno quantitativo in corrispondenza di divisioni territoriali.

Trattamento statistico matematico dei dati

Statistica univariata

Statistica bivariata

Il rapporto statistico

Definizione

Divisione tra due dati di cui almeno uno di natura statistica; tale rapporto serve per rendere meglio confrontabili i dati eliminando le circostanze eterogenee.

Tipologie

• Rapporti di composizione (di parte al tutto)
• Rapporti di densità
• Rapporti di derivazione
• Rapporti di coesistenza
• Rapporti di indici (numeri indici)

Rapporti di composizione

Divisione tra quantità/frequenza legata ad una certa modalità e frequenza/quantità totale → il risultato è un numero puro.

Esempio

Gli abitanti di Varese sono il 28,57% della somma degli abitanti.

Rapporto di densità

Rapporto depurato dal campo di osservazione (spazio, tempo, altro).

Rapporto di derivazione

Rapporto che si ottiene dividendo un dato statistico X per un dato statistico Y dove Y è considerato come causa/presupposto di X.

Esempio

Analizzando questo esempio diremo che c'è maggior propensione alla natalità in Valle d'Aosta.

Rapporto di coesistenza

Rapporto fra due dati statistici che coesistono.

Esempi

• Importazioni/esportazioni
• Crediti/debiti

Rapporti indici

Di X da T_s a T_j = X_j - X_s (T_s < T_j)

Variazione assoluta

Di X da T_s a T_j = (X_j - X_s) / X_s (la variazione relativa è un numero puro) → calcolata solo per i caratteri che possono assumere valori positivi (X>0) → j.s

Esempio

• Variazione assoluta di X dal 1994 al 1995 = 95,5-92,5 = +3
• Variazione relativa di X dal 1994 al 1995 = (95,5-92,5)/92,5 = 0,0324 = 3,24%

Numeri indice

A base fissa: divisione tra i valori di un fenomeno a un tempo T_j e i valori di un fenomeno al tempo T₀.

Esempio

• T₀ = 1
• I_s = 75
• I_j = 1,0324
• 92,5 = 95,5
• 96,2 = Io Indice a base fissa.

Serie storica indice a base fissa

Dai numeri indici possiamo recuperare le variazioni relative.

Non lavorare con le percentuali, calcolarle solo alla fine!

A base variabile/mobile

Divisione tra i valori di un fenomeno a un tempo T_j e di uno al tempo j-1. La base variabile coincide con il termine precedente.

Esempio

• T₀ = 1
• I_s = 1,0324
• 77,5 = Io
• 92,5 = 95,5
• 96,2 = non calcolabile

Indice a base variabile. È possibile arrivare alle variazioni relative al tempo precedente.

Relazione esistente tra indici a base fissa e variabile

I_s = I₀

Quindi indice a base fissa è uguale al prodotto delle basi variabili in tutto il periodo considerato.

Statistica descrittiva univariata

La frequenza relativa F_r

Definizione

È il rapporto tra frequenza assoluta e la frequenza totale, calcolabile per ogni tipo di carattere purché disponga di una distribuzione di frequenza → rapporto di composizione.

Nas F_r = n

Proprietà delle frequenze relative

• DZOV frla s.si sis numero de ne moda eitoi assunte da ecanattere di dimostrazione ne hadzoenzo sfrla st.tnqf
• O Ètica2 r.uar.riar.rcas Dimostrazione Nader d triade NEI Najmail.tns FoRMAtABeuARE spiasimaritania esempio

La frequenza cumulata assoluta C_j

Definizione

È la somma di tutte le frequenze fino e incluso alla modalità b_j/ numero di unità statistiche con modalità inferiore o uguale a b_j ce Castronin nananna no Csa

Casi speciali

• La frequenza cumulata della prima modalità, coincide con la modalità assoluta C_s ni.rss i a.
• La frequenza cumulata dell'ultima modalità, coincide con la frequenza totale C_s rieni a.

Relativa F_j

Definizione

Si tratta del rapporto tra la frequenza cumulata assoluta e la frequenza totale.

Esempio

• Casi speciali L.fr
• Frequenza cumulata relativa della prima modalità F_sibDFsen s
• Frequenza cumulata relativa dell'ultima modalità an.

La frequenza retrocumulata assoluta R_j

Definizione

Si tratta della somma delle frequenze assolute da b in poi, ossia è il numero di unità statistichej aventi modalità maggiori o uguali a b_j R_j ni.name 1ns.

Casi speciali

• Frequenza retrocumulata assoluta in corrispondenza della prima modalità R_s.Enr.rs
• Frequenza retrocumulata assoluta in corrispondenza dell'ultima modalità.

Relativa

Definizione

Si tratta del rapporto tra la frequenza retrocumulata assoluta e la frequenza totale.

Esempio

Eroina Resta 52 A 552 0,9857 Ramses8 Feo5 a560 3.

La frequenza specifica/densità di frequenza f_s

Definizione

Si determina solo per quei caratteri che sono raggruppati in classi, per cui si tratta del rapporto tra la frequenza assoluta della classe e l'ampiezza della classe; si tratta quindi di un rapporto di densità che indica la frequenza spettante alla singola modalità appartenente alla classe (carattere discreto), o all'intervallo unitario della classe (carattere continuo), è quindi importante considerare la frequenza specifica quando si vogliono confrontare le frequenze di classi aventi ampiezze diverse.

Esempio carattere discreto

Esempio carattere continuo

Le rappresentazioni grafiche delle distribuzioni di frequenza dei caratteri quantitativi

Carattere quantitativo discreto

Grafico frequenze assolute

Evota n 111819 10s 20 asla doi's.

Grafico frequenze relative

Ta uotox.rs Fr 0.061sa18 0,05.