Appunti Statistica I

Discreto Esempio Carattere

area: amanumero II eti specificarcarattere stata III78 27 pensa _erratoaddensamentosoave a saa.us910 39 siesta 50311.13 50 16,6

Esempio Carattere Continuo: area ampiezza e altezza n specifica classe con iosioo.rs iaaspa.rs ampiezzso sosianoiosa aeratoe 165.170 addensamentososo.ao.roao.is se asaoa.s

LE RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE DELLE DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA DEI CARATTERI QUANTITATIVI

Carattere Quantitativo Discreto:

Grafico Frequenze Assolute: evota n 111819 10s 20 asla doi's

Grafico Frequenze Relative: ta uotox.rs Fr 0.061 sa18 0,055519 soo.o 20 Is 0,083 ao.O i la doi's

Grafico Frequenze Specifiche: Fg classi ampiezza fans crassvotoasas 3 123618.20 2525021.222324 22,52as12 12336is 27 4,333301328isado'adIs'ads dads'abo

Carattere Quantitativo Continuo: poiché le modalità sono ripartite in classi l'idea è quella di costruire un grafico areale dove la frequenza della classe è rappresentata dall'area di un rettangolo avente come

base l'ampiezza della classe e come altezza la densità di frequenzaFfa5 areaampiezzaaltezza eµ specificaclassecon iosioo.rs iaaspa.rsampiezzso sosianoiosiios.no se.si ssoso.aoaop.es2 as soa.s170.180µ aiire eoeÈsito lpoi 80

LE MEDIE

La distribuzione di frequenza è uno strumento per sintetizzare un carattere; un ulteriore sintesiavviene con il calcolo delle medie, si tratta di una sintesi massima perché voglio rappresentareun'intera distribuzione di un carattere attraverso un singolo valore, che può essere interpretatocome la "modalità" che rappresenta tutte le modalità.

Le medie più usate sono:

• MODA: calcolabile per ogni tipo di carattere
• MEDIANA: calcolabile per caratteri che siano almeno su scala ordinale
• MEDIA ARITMETICA: calcolabile solo per caratteri quantitativi

LA MODA

DEFINIZIONE

La modalità del carattere avente frequenza massima, sempre calcolabile perché ha

quantitativi (non calcolabile per i caratteri qualitativi su scala nominale)

In generale f: IXeEXHai XiiiEXiii f EXin EHMsi a

Bisogna fare una distinzione in base al fatto che N (numero delle osservazioni) sia pari o dispari

MEDIANA N DISPARI

ESEMPIO

X = altezza in cm

X1 = 175; X2 = 177; X3 = 180; X4 = 185; X5 = 170

ordinare i valori in ordine crescente (almeno non in ordine decrescente)

X(1) = valore più piccolo; X(2) = secondo valore più piccolo; X(i) è nella posizione i-esima

X 170(1) = X 172(2) = X 175(3) = X 180(4) = X 185(5)

Possiamo quindi dire che in questo esempio la mediana è X(3) = 175 cm

MEDIANA N PARI

Essendo il numero di osservazioni pari, abbiamo 2 valori che dividono a metà l'ordine dei valori, per cui abbiamo 2 posizioni centrali:

La mediana quindi risulta essere il valore intermedio tra i due:

ESEMPIO

X = altezza in cm

X1 = 175; X2 = 177; X3 = 180; X4 = 185; X5 = 170; X6 = 174

ORDINARE I VALORI

X 170(1) = X 172(2) = X 174(3) = X 175(4) = X

180(5)=X 185(6)= Xad 1Xsta kab KalidasNz174ME sia75 5cmSPEZZATA DI GRADUAZIONEDEFINIZIONEPartiamo da N valori ordinati, la spezzata di graduazione è la funzione empirica discretaX( funzione di ii),ESEMPIO XcodXiaiXisi l5,7.8XAI.XID.kz s5so.ssXli hki.isXHhkxcii Xiiipis FOCUS zEnio DaI niX.mxPs5 Pli i1 areaii i i itst.iti341 52 6FORMULAZIONE UNIFICATA DELLA MEDIANAME Xing sia oandoneparisiaouandoedispariBeneDIMOSTRAZIONE Èsindispari GiallastraserveNON FORMULA akksenericolnone.in2NPARI XIN Xq XlEIT.HN 1xHieqsN NERosNI jn e 2Hella 127 7121 p1coincioeconcatarmanperiamasianaporvitanacasonipariLa mediana è X( , dove c è la posizione centrale che divide N valori ordinati in. 2 gruppi di ugualec)numerosità.In alcuni casi potrei avere l’esigenza di dividere N valori ordinati in più di 2 gruppi:• QUARTILI: sono quei valori che dividono gli N valori ordinati in 4 gruppi di numerosità ugualeimPRIMO QUARTILE ——> Q(

——> divide in parti uguali i primi◦ 1)pos (N+1)/4(N/2) valori ordinati ——> (Q( )=1) asthma NA na NanaSECONDO QUARTILE ——> Q( ——>MEDIANA ——>◦ 2) 02pos(Q( )= pos( = (N+1)/2 4 12) med)——>TERZO QUARTILE Q( ——> divide in parti uguali i◦ 3) pos (N+1)/4secondi (N/2) valori ordinati ——> (Q( )= 3 x3)Qs.XsnxP0sIn generale: JetjfJxNjjconJ1.2.37Qj XfjxNj con• DECILI: sono quei valori che dividono gli N valori ordinati in 10 gruppi di numerosità uguale,all’incirca = N/10, esistono 9 deciliIn generale: POS Dj 5 s.io95,678,912,395,678,9con dj.XqxgconJNaja• CENTILI: sono quei valori che dividono gli N valori ordinati in 100 gruppi di numerosità uguale,all’incirca = N/100, esistono 99 centiliIn generale: POS JesiconNICONJ.si Xp 9999_i100ESEMPIO 1N=7 ——> (2,3,4,5,7,7,10)Calcolo dei quartiliIPostata.it 0a Xei3POSl0Das0z2x7I

MEXiai5a6Posto 7 soso.Xq.ita

ESEMPO 2:N=8 ——> (3,4,,7,9,9,11,15,21)

Calcolo dei quartili

Postata Na a25AoEjXaisina.a.si azsAisi2,25 XczDgaasPOSl0D8 9t2 114,5 9sina.sk 9ta5l9aslksiXcaDia xcaiasa

Posto cat oa5lXai zssta75lssssXca Xcoisoso.XG.a.skftp oas

CALCOLO DELLA MEDIANA PER I CARATTERI CONTINUI IN CLASSESEMPIO

X= altezza in cm ePosizionix t.reaenzarreaa.ve ampiezzaaltezza annate an adacom 51 sososo160.165 535 sa325165sto 80 36 80 sostesso as35 81 115115 sososo.no 130 nella skwwws'ÈCGstaDA a

Analizziamo la seconda classe 165-170; a =5; n =252 21) suddividiamo l’intervallo 165-170 in 2 sotto-intervalli, ognuno di ampiezzaA2 92N2) assegnamo ad ogni sotto-intervallo il suo valore centraleksai.i.linellaclasseabbiamoXcssisaroiiluouorecentnaedelpn.no cneqirdiardroidasosasos.seintervallosotto ixaa.agsisos2 sos.seXii sarà 165,2ascosaconcuaroncentraiedersecandointernauochenada165.2165,4165,3FuorX chevada 169sarà