Appunti statistica 1

STATISTICA

1

CARATTERI

• le caratteristiche (nome, età, sesso,...)
• osservate sugli individui

MODALITÀ

• es: carattere sesso
• M
• F

UNITÀ STATISTICA

• ogni elemento su cui si osservano e lavorano: es. tabella con 5 persone
• unità statistica = 5

POPOLAZIONE

• insieme di tutte le unità statistiche

QUALITATIVI

• (modalità non numeriche)
• NOMINALI CONNESSI
• caratteri in cui le due modalità possono solo dirsi sinon… o …
• ORDINATI
• (c'è un ordinamento tra le modalità)
• l'ordinamento si può stabilire

QUANTITATIVI

• (modalità numeriche)
• DISCRETI
• (l'insieme delle modalità che possono assumere può essere messo in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme dei numeri interi)
• ad ogni modalità corrisp. un solo numero
• CONTINUI
• (in corrispondenza con un sottoinsieme dei numeri reali)
• TRASFERIBILI (es. ricchezza)
• NON TRASFERIBILI (es. peso)

DISTRIBUZIONE UNITARIA

• (assoc. carattere)

DISTRIBUZIONE UNITARIA MULTIPLA

• (p.d.i carattere)

SU SCALA DI RAPPORTI

• (altezza)
• c'è uno 0 assoluto naturale non arbitrario

SU SCALA DI INTERVALLI

• (temper.)
• c'è uno 0 assoluto naturale non arbitrario

x = temp in °C

y = temp in °F

y = αx + β

x

x + c

αx + β

α(x + c) + β

x + c

x

≠

α(x + c) + β

αx + β

Quando non c'è 0 naturale non ha senso fare i rapporti

Distribuzione e rappresentazione

Frequenza assoluta

• numero di unità statistiche che assumono una determinata modalità (es. fare il conteggio)

n_j

• indice che indica la modalità

n₁ = 65 n₂ = 35

EA e EC sono modalità → X_j MODALITÀ

X_j

n_j

x₁

x₂

n₁

n₂

N = Σ_j=1^k n_j

CON FREQUENZA ASSOLUTA

_nj frequenza assoluta | area indici frequenza

_hj densità=[n_j / a_j] (altezza)

Se unissimo le ultime due classi:

• a_j = ampiezza degli estremi considerati
• n_j = frequenza assoluta | area indici frequenza
• h_j = densità = Fm - Fm-1

  Om

  ⇒ Om = dm

  ⇒ Me = Im + 0,5·Fm-1·Om / Fm-Fm-1

  5) \(\overline{y} = \alpha\overline{x} + \beta\)

  \(\overline{y}\) la media aritmetica di un carattere

  \(y\), ottenuto attraverso una trasformazione

  lineare \(\overline{y} = \alpha x + \beta\) di un carattere \(X\)

  di medio \(\overline{X} = ...\) uguale a...

  Dim.

  \(\frac{1}{N\)} \(\left(\sum_{i=1}^{N}\right)\) = \(\frac{1}{N\)} \(\left(\sum_{i=1}^{N}\right)\) (\(\alpha x_i + \beta\)) = \(\frac{1}{N\)} \(\left(\sum_{i=1}^{N}\right)\) \(\alpha x_i\) + \(\frac{1}{N\)} \(\left(\sum_{i=1}^{N}\right)\) \(\beta\)) =

  = \(\alpha\frac{1}{N\)} \(\left(\sum_{i=1}^{N}\right)\) \(x_i\) + \(\beta\frac{1}{N\)} \(\left(\sum_{i=1}^{N}\right)\) 1

  queste proprietà vale solo per trasformazioni lineari

  es. \(y = x^2\) \(y = e^x\)

  \(\sqrt{y}\sqrt{x}\) \(y + e^x\) (non vale)

  _ _ 0 _ _ 0 _ _ 0 _ _ 0 _ _

  Una caratteristica della media è quella di essere molto

  sensible ai valori estremi

  es. 18 20 25 27 300 -> media altissima -> mediana = 25 (non risente dei

  valori anomali)

  -> mediana viene detta

  misura robusta (robustezza)

  Cosa succede con un cambio di unità di misura?

  X = altezza in m

  Y = altezza in cm

  Y = 100 X (β=0)

  \( \bar{Y} = 100 \bar{X} \)

  \( \bar{y} = 100 \bar{x} \)

  6ᵧ = 100 6ₓ

  In generale: CVᵧ = 6ᵧ / \(\bar{y}\) = \(\alpha\) 6ₓ / \(\alpha\)\(\bar{x}\) = CVₓ

  COEFFICIENTE DI VARIAZIONE

  \(CV_{y} = \frac{6_{y}}{\bar{y}} = \frac{100 6_{x}}{100 \bar{x}} = CV_{x}\)

  (per caratteri, quantità espresse in scala o da rapporti)

  STANDARDIZZAZIONE

  \(Y = \frac{X - \bar{X}}{6_{x}}\) - un particolare tipo di trasformazione lineare

  \( = \frac{1}{6_{x}}\) X \( = \frac{X}{6_{x}}\)

  \( \bar{Y} = \alpha x + \beta \frac{1}{6_{x}} X = \frac{X}{6_{x}} = 0 \)

  \( 6 \bar{y} = α² 6_{x²} + \frac{1}{6_{x}}^ 6\)

  = 1

  Distribuzione Frequenze Congiunte

  vedere i caratteri in relazione tra loro

  • qualitativi
  • quantitativi

  distribuzione di frequenze assoluta congiunta

  frequenza assoluta marginale di X

  frequenza assoluta marginale di Y

  tabelle doppie frequenze assolute

  distribuzione di frequenze assolute congiunte di due cose

  frequenze assolute congiunte che indicano quante unità statistiche presentano la stessa modalità per il carattere X e la j-esima modalità per il carattere Y

  INDIPENDENZA/DIPENDENZA

  es. voti esami

  • X: 22 25 26 28
  • M: 2 3 4 1 = 10
  • F: 4 6 8 2 = 20

  chi è il più bravo?

  • =
  • 22 25 26 28
  • M: 2 3 4 1 = 10
  • F: 4 6 8 2 = 20
  • 6 9 12 3 30

  chi è il più bravo?

  • =

  ma perché?

  Devo vedere frequenze relative condizionate

  • (dist. di freq. rel. cond. di Y supp. X)
  • 22 25 26 28
  • M: 0,2 0,3 0,4 0,1
  • F: 0,2 0,3 0,4 0,1
  • 0,2 0,3 0,4 0,1

  le freq. rel. som =

  • INDIPENDENZA
  • la distribuzione di Y non dipende da X

  indipendenza di Y ed X

  Questo è un caso di indipendenza perfetta

  • le freq. rel. coincidono con le marginali

  Altro es.

  • 22 25 26 28
  • M: 2 1 1 6 = 10
  • F: 5 2 2 1 = 10
  • 20
  • “OGGI” DIPENDENZA
  • ma ci serve un indice a che ci dice se siamo vicini a indp. o dip.

  Nel nostro caso (3)

  _nij

  25 26

  M 5 5

  F 5 5

  10:10

  25 26

  M 5 5

  F 5 5

  → (0-5)²

        5 = 5

  χ² = 20 (somma dei 5 dentro la tabella)

  Φ² = 1

  V = 1

  Considerando le medie condizionate

  22 25 26 28

  M 2 3 4 1 10

  F 2 3 4 1 10

  Y̅^M=F

  Y̅_X = Y̅^M=F

  Non c’è indipendenza

  Y̅_X=1 = 25,1

  Y̅_X+F=1 = 25,1

  → INDIPENDENZA IN MEDIA (medie condizionate sono uguali)