Appunti Principi di Ingegneria chimica

Principi di Ingegneria Chimica

1. Statica dei Fluidi

La “statica dei fluidi” è una branca della meccanica dei fluidi che studia i fluidi in stato di quiete.

1.1. Pressione

La “pressione” è uno sforzo, ovvero una forza su unità di superfice (esistono altri tipi di sforzo). In

particolare, la pressione è definita come uno sforzo normale alla superfice.

[]

[]

→ = 2

[ ]

Immagiamo di avere una superfice immersa all’interno di

un fluido, inizialmente posta parallelamente al fondo del

recipiente che contiene il fluido, e successivamente ruotata

di un certo angolo. Per valutare se e come, la pressione,

cambi punto per punto lungo la superfice ci avvaliamo di

una “zeppa”, ovvero un solido dalla forma rappresentata in

figura:

immaginiamo la zeppa di dimensioni tali da poter

trascurare le superfici laterali rispetto al resto del solido.

Questa zeppa è il nostro “volume di controllo”. La

immaginiamo, inoltre, ferma. Per essere ferma, la zeppa, o

non è sottoposta a forze o le eventuali si bilanciano.

Prendiamo ora una sezione laterale della zeppa:

Chiamiamo la pressione che insiste sul lato della sezione,

la pressione che insiste sul cateto verticale e quella che insiste

sul cateto orizzontale.

In realtà, la pressione cambia punto per punto, quindi più che di

una singola pressione dobbiamo considerare una distribuzione.

Inoltre, dobbiamo tener conto anche del ruolo giocato dalla forza

peso.

Immaginiamo, ora, la sezione della zeppa così piccola da poter

assumere irrilevanti le variazioni di pressione punto per punto

lungo e la forza peso. () ()

cos = = cos

→

() ()

sin = = sin

→

Quanto detto vale a seguito di opportune considerazioni sulla similitudine dei triangoli.

Affinché il sistema sia fermo, quindi in equilibrio, come supposto in precedenza, deve verificarsi che:

()

cos = cos =

→ =

()

sin = sin

“In ogni punto la pressione è indipendente dall’orientazione della superfice” 1

Nel 1430, Leonardo Da Vinci effettuò un

esperimento sulla pressione costruendo una sorta

di cassettiera impermeabilizzata i cui cassetti erano

collegati, per rimanere chiusi, a delle masse

attraverso delle carrucole. Una volta riempita di

acqua la cassettiera, si accorse che il peso

necessario a mantenere chiuso il cassetto posto

più in basso era maggiore di quello necessario a

mantenere chiuso il cassetto in alto. Con questo

esperimento si accorse che la spinta dell’acqua

cambia linearmente con la distanza dal cassetto

superiore. Immaginiamo, ora, un volume di

controllo rappresentato dal

parallelepipedo in figura, caratterizzato

da spigoli macroscopici di lunghezza

riportata in figura e poniamo un sistema

di riferimento. Immaginiamo, inoltre, tale

volume di controllo fermo all’interno del

fluido. Per essere tale, è necessario o che

non sia soggetto ad alcuna forza, o che le

forza che agiscono su di esso si bilancino.

Su di esso agisce sicuramente la forza

peso, diretta lungo l’asse (negativo).

⃗ = ⃗

Per come l’abbiamo costruito, il volume del nostro volume di controllo risulta pari a:

∆ = ∆ ∙ ∆ ∙ ∆

Per conoscerne la massa dobbiamo, necessariamente, introdurre la “densità”.

⃗

= → = ∆⃗

,

Effettuando un bilancio di forza lungo l’asse abbiamo:

• = −∆

Dobbiamo, ora, considerare la forza dovuta alla pressione. = 0 → ( = 0),

Sulla faccia inferiore agisce una pressione calcolata al punto la quale, per essere

espressa in termini di forza necessita di essere moltiplicata per un’opportuna superfice:

• ( = 0)∆∆ = 0 + ∆:

Sulla faccia superiore agisce un’altra forza, agente in verso opposto e calcolata al punto

• ( = 0 + ∆)∆∆

,

Il bilancio delle forze lungo in definitiva, risulta:

−∆ + ( = 0)∆∆ − ( = 0 + ∆)∆∆ = 0 2

∆∆:

Dividendo per ∆

− + ( = 0) − ( = 0 + ∆) = 0

∆∆

−∆ + ( = 0) − ( = 0 + ∆) = 0

Portando al secondo membro e dividendo: ( + ∆) − ()

− = ∆ ∆ → 0

Il termine al secondo membro è un rapporto incrementale. Effettuandone il limite per si

ottiene una derivata rispetto alla variabile e quindi:

= −

∆

N.B.: La densità potrebbe cambiare all’interno dell’oggetto, quando riduco ad infinitesimo

= 0.

diventa la densità calcolata a

Essendo sia la densità che l’accelerazione di gravità quantità positive ed essendo l’asse diretto verso

l’alto, il fatto che la derivata della pressione rispetto sia negativa, implica che man mano che si sale

lungo verso il pelo libero, la pressione diminuisce.

Per vedere come varia la pressione devo risolvere un’equazione differenziale, in particolare una del

primo ordine che, per essere risolta, necessita di una condizione al contorno.

= − → = −

,

Assunte e costanti lungo possiamo integrare entrambi i membri.

∫ = − ∫

= − +

La condizione al contorno è data dalla pressione esercitata sul pelo libero , posto a distanza

0

dall’origine degli assi. = − + → = +

0 0

= − + +

0

= − ( − )

0

E se volessi una relazione che descriva come varia la pressione rispetto alla distanza dal pelo libero,

piuttosto che da un certo punto in profondità? Per fare ciò basta introdurre una nuova variabile.

Per definire una nuova variabile dobbiamo conoscere come questa varia rispetto alla precedente;

,

sicuramente, quando la nuova variabile definita come la distanza dal pelo libero, cresce,

= 0 = .

diminuisce e quando Da queste considerazioni si evince che:

= − +

,

Per come è definita abbiamo che la pressione aumenta linearmente con la variabile (e diminuisce

).

lineamente con la variabile 3

Prendiamo, ora, una superfice macroscopica di

∆∆,

dimensioni su cui agisce una distribuzione di

∆.

pressioni variabile lungo il lato

Per calcolare la forza agente su tale superfice quale

valore di prendiamo in considerazione?

∆

Procediamo col ridurre il lato lungo la

dimensione in direzione della quale la variabile

cambia fino a renderlo un segmentino tanto

piccolo che la pressione lungo di esso possa essere

considerata costante. Su di esso, dunque, agisce una

forza: = ∆

∆ ∆

= ∫ = ∫ () ∆

=0 =0

∆ 2

∆

= ∆ ∫ − ( − ) = ∆ [ ∆ − ( − ∆)]

0 0 2

=0 ∆

= ∆∆ [ − ( − )]

0 2 Vediamo come cambia la pressione,

.

invece, lungo la direzione

Per farlo iniziamo col considerare le

forze che agiscono lungo tale direzione:

di sicuro non la forza di gravità, ma

quella dovuta alla pressione:

( = 0) , ( = 0 + ∆)

La risultante delle forze agenti sulla superfice deve essere uguale a zero dal momento che la superfice

è ferma nel sistema di riferimento adottato, per cui:

= ( = 0, = ) ∆∆ − ( = 0 + ∆, = ) ∆∆ = 0

2 2 .

Da questa relazione si evince come la pressione cambi con la profondità ma non con e

1.1.2. Manometro di Torricelli

Sul mercurio, da un lato, insiste la pressione

∗

atmosferica, dall’altro, la pressione . Essendo un

fluido omogeneo, posso dire che alla stessa quota è

esercitata la stessa pressione e allora:

∗ (

− = − [ − + )]

∗

= +

4

1.1.3. Principio dei Vasi Comunicanti

In un certo istante la quota dei

peli liberi nella prima e nella

seconda colonna di liquido è

differente. Su entrambi, insiste

la pressione atmosferica ,

mentre sul fondo della due

colonne d’acqua insistono due

pressioni differenti dovute alle

differenti colonne d’acqua

sovrastanti.

La forza spingente da sinistra

sarà maggiore di quella da destra e il fluido si fermerà soltanto quando le due forze saranno uguali e

=

contrarie, ovvero quando e si sarà stabilito l’equilibrio idrostatico.

1 2

Quando il fluido non è omogeneo, ad esempio alla presenza di due fluidi completamente immiscibili,

quanto detto precedentemente non vale. Si instaurerà, nel sistema,

l’equilibrio idrostatico quando le

due forze spingenti, presenti sul

fondo delle due colonne di fluido,

saranno uguali e contrarie, ovvero:

+ = + +

0 1 0 2 2 3

+ = + +

0 1 0 2 2 3

)

( − =

1 2 2 3

1.1.4. Principio della Botte di Pascal

È possibile far esplodere una botte di legno con un piccolo quantitativo di

acqua, in che modo? Presa una botte ermeticamente sigillata, piena

d’acqua e collegata ad una cannuccia sottile di altezza molto elevata,

basta riempire la cannuccia, con la poca acqua necessaria, per esercitare

alla base della stessa una pressione tanto elevata da far esplodere la botte.

= +

0

1.1.5. Principio del Torchio Idraulico Applicando una certa pressione sul pelo libero della

colonna di diametro minore si ottiene una forza

2

.

moltiplicata nell’ordine di nella colonna di diametro

2 2

= → = =

2 2

4

4 5

1.1.6. Pressione su Superfici Inclinate × , ,

Immaginiamo una superfice di dimensioni inclinata rispetto all’orizzontale di un angolo

immersa in un fluido omogeneo sul quale insiste la pressione atmosferica e, di conseguenza,

sottoposta ad una forza dovuta alla pressione, perpendicolare alla superfice stessa. Facendo

opportune considerazioni sulla similitudine dei triangoli possiamo scomporre la suddetta forza in

.

due componenti lungo gli assi di riferimento e

= cos

→ =

= sin

= +

Ricordiamo che per ogni agisce una differente; allora prendiamo in considerazione un tanto

piccolo da rendere la pressione, agente lungo esso, uniforme.

sin =

()

= () = → = ∫ = ∫( + )

sin sin

=0 =0

= ( + )

sin 2

= → = ( + )

sin 2

Il termine tra parentesi altro non è che la pressione alla profondità media. È possibile, quindi,

riscrivere la precedente relazione come: =

= cos → =

= sin → =

6

1.1.7. Pressione in Cilindro (Cannone) = sin

Siccome, in sezione, la superfice interna del cannone risulta un

× :

rettangolo di dimensioni

= → =

Formula di Mariot: “la resistenza opposta dal cannone alla pressione

interna è funzione del solo spessore del materiale e di una proprietà

”.

intrinseca del materiale

= 2 → = 2

1.1.8. Semisfera La forza esercitata dalla pressione

agente sulla superfice interna di una

semisfera lungo una direzione

scelta come riportato in figura

risulta: 2

=

4

1.2. Pressione all’interno di un Gas

= − → = → = → = → = − = −

Trascurando le variazioni di temperatura:

=− → ln = −

Questa equazione differenziale, per essere risolta, necessita di una condizione al contorno come, ad

= 0 →

esempio: .

∫ ln = − ∫ → ln ( ) = −

= =0

(

= exp (− ) → = exp (− ) )

7

1.3. Principio di Archimede

Il “principio di Archimede” stabilisce che: “un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso

verso l’alto proporzionale alla massa del fluido spostato”.

,

Lungo l’asse rivolto come in figura, agisce una

forza dovuta all’accelerazione di gravità di modulo:

=

Definiamo le masse, rispettivamente, del solido e

del solido se fosse fatto interamente di fluido, e

a partire dalla densità dei medesimi, come:

= =

= −

Al secondo membro, il primo termine è la forza peso

relativa al solido, mentre il secondo termine

costituisce la forza di galleggiamento, proporzionale alla densità del fluido, all’accelerazione di

gravità e al volume che occupa il solido.

Per quanto riguarda la forza dovuta alla pressione, abbiamo:

= −

0

,

Per come abbiamo posto l’asse abbiamo che:

=

)

− = → − = → = −( − = −( ) = −

0 0 0

= − = − = ( − )

= ( − )

La risultante delle forze lungo risulta positiva se la densità del solido è maggiore di quella del fluido

e quindi il solido affonda, viceversa esso galleggia.

È importante notare, inoltre, che se il solido non ha acqua al di sotto, viene a mancare la componente

della pressione e, dunque, rimane ancorato al suolo. È questo il principio alla base del

funzionamento delle ventose. 8

2. Viscosità e Moto in Condotti Immaginiamo di avere una

fenditura sottile formata da due

lastre piane e parallele le cui

dimensioni sono molto maggiori

.

della distanza che le separa La

fenditura è perfettamente piena

di un fluido. .

Supponiamo che la lastra superiore venga traslata verso destra con una certa velocità La forza

necessaria a tirare la lastra a quella velocità è direttamente proporzionale alla superfice della lastra

.

e inversamente proporzionale a

()

∝ → ∝ → =

La costante di proporzionalità prende il nome di “viscosità” ed è una proprietà intrinseca del fluido

/

frapposto fra le lastre. Il rapporto prende il nome di

“campo di moto”.

La viscosità può essere un fattore caratterizzante per i

fluidi e, in particolare, si dice “fluido newtoniano” un

fluido la cui viscosità, a temperatura e pressioni costanti,

non dipende dalla velocità e dallo spessore dello strato di

fluido. Volendo diagrammare la caratteristica di un fluido

newtoniano su un diagramma sforzo contro campo di

.

moto otteniamo una retta con coefficiente angolare

A seguito di variazioni di temperatura o pressione la

viscosità può cambiare nei modi seguenti:

• Per i liquidi la viscosità diminuisce all’aumentare della temperatura.

()

= exp ( )

• Per i gas al di sopra di 10 bar la temperatura non influisce sulla viscosità.

•

Per i gas al di sotto di 10 bar aumenta all’aumentare della