Appunti Principi di Ingegneria chimica

P P P P

1 − −

0 0

( ) ( )

= → =

2

P P P P

− −

0 0 1

= + → = +

1

2 2

Dall’equazione di Newton per il moto in condotti sappiamo che all’asse di simmetria abbiamo il

valore massimo e, di conseguenza, la derivata della velocità in quel punto sarà uguale a zero:

= − , = → = 0

∀ ≠ 0 → = ±∞

1

Quindi deve necessariamente essere uguale a zero per far assumere valore finito allo sforzo .

P P

>

In questo modo lo sforzo assume un valore lineare. In particolare, siccome lo sforzo viene

0

positivo, ovvero è il fluido a spingere il solido nella direzione del moto e viceversa.

Definito il delta di pressione dinamica come

P

∆P =P − , possiamo ottenere il profilo di velocità:

0

∆P ∆P

− =− → =

2 2

2

∆P

= +

2

4

= → = 0

2 2

∆P ∆P ∆P

2 2

0= + → = − (1 − ) → = −

2

2

4 4 4

Otteniamo un profilo di velocità parabolico che coincide con uno sforzo lineare. Siccome non

, .

dipende da neanche lo sforzo dipende da

4.4. Bilancio di Quantità di Moto – Forma ad Anello

2 2

∆

()

= (− ) (1 − )

2

4

2

∆

= (− )

4

Per calcolare la portata abbiamo bisogno di conoscere la velocità puntuale. Dividiamo, allora, la

∆,

sezione del condotto in infinite sezioni ad anello, di spessore di modo che la velocità attraverso

di esse sia approssimativamente costante. Successivamente sommiamo i singoli contributi

differenziali: () ()

∆ = ∙ 2∆

∆,

Minore sarà il maggiore srà l’accuratezza del nostro calcolo.

2 4

∆P 1 ∆P

2 2

()

= ∫ 2 = 2 → = (− ) = (− )

2 4 2 8

0 22

4.4.2. Legge di Hagen-Poiseuille

“In regime di moto laminare, se raddoppio il raggio, la portata diventa 16 volte tanto”

16

=

4.5. Fluido Newtoniano su Piano Inclinato

Consideriamo un piano liscio, inclinato di un angolo rispetto alla verticale. Trascuriamo, inoltre,

gli effetti di bordo, ovvero consideriamo solo il moto lungo il piano lontano dai bordi. Definiamo la

direzione del moto, parallela al piano, e la direzione lungo cui varia la velocità.

Lo sforzo che il liquido esercita sull’aria è uguale a quello che esercita il gas sul liquido. Ciò vuol dire

= 0,

che a cioè sul pelo libero, lo sforzo

viscoso è una funzione continua:

| |

=

− +

0 0

Inoltre, siccome la viscosità del gas è molto

minore della viscosità del fluido abbiamo:

|

≪ → = 0

−

0

Dunque è vero anche:

|

= 0

+

0

Quindi, in generale:

= 0

Lo sforzo di taglio, sul pelo libero, è nullo e, di conseguenza, la velocità è massima.

Effettuiamo, adesso, un bilancio di materia considerando un elemento differenziale nella direzione

, ∆,

di lunghezza per verificare se la velocità cambia:

| |

− = 0 → 0 = ∙ ∙ ∆ − ∙ ∙ ∆

=0 =

| |

=

=0 =

Bilancio di quantità di moto:

2 2

()∆| ()∆|

0 = − + ∆| − ∆| + | − | + ∆

=0 = =0 =0 +∆

2 2

| |

=

=0 =

La pressione calcolata all’imbocco e all’uscita del condotto è sempre la stessa dal momento che il

fluido è esposto all’atmosfera. Quindi il bilancio diventa:

| − | + ∆ = 0

+∆

Procediamo col dividere tutta l’equazione per il volume del sistema:

| |

−

+∆ =

∆

∆

Effettuando il limite per che tende a zero dell’equazione di bilancio otteniamo, a primo membro,

una derivata: 23

= = cos

= cos ∙ +

1

Al pelo libero: = 0 → = 0

1

Lo sforzo ha un profilo lineare, di conseguenza, la velocità avrà un profilo parabolico. Possiamo

verificarlo sostituendo al termine relativo all sforzo, l’equazione di Newton per il moto in condotti:

2

cos

− = cos → = − +

2

2

2 2

cos

2

= − ∙ (1 − )

2

2

Per calcolare la portata si procede come segue:

() ()

∆ = ∙ ∆ ∙

2 3

2

()

= ∫ ∙ ∙ = ∙ ∙ ∫ (1 − ) = ∙ ∙ ( − ) = =

2 2

3 3

=0 0 3

= cos ∙

In geometria rettangolare: 2

= = = 1.5 ∙

3

In geometria cilindrica:

= = 2 ∙

24

4.6. Fluido in Rotazione fra Superfici Cilindriche Concentriche = ()

A parità di abbiamo la stessa velocità. Il bilancio di

quantità di moto risulta:

0 = 2| − 2|

+∆

2∆:

Dividiamo per il volume di controllo

| − |

+∆

0= ∆

∆

Effettuando il limite per che tende a zero,

otteniamo una derivata: 1 (

0=− )

Siccome è sicuramente diverso da zero nel nostro sistema, possiamo sicuramente dire che:

1

( (

0=− ) → ) = 0

1

= → =

1

1 1 1

= − → − = → =− → = − ln() +

2

Sostituendo con le condizioni al contorno e mettendo a sistema otteniamo:

1 )

0=− ln( +

1 2 )

ln(

1 2 2 2 1

{ → = − ln ( ) → = − = −

2 1 2

1 2 2

) 1

= − ln( + ln ( ) ln ( )

2 2 2

1 1

ln ( )

2 2

1

= → = −

2 2

ln ( ) ln ( )

1 1

4.7. Regimi di Moto e Profilo di Velocità In regime di moto turbolento, il profilo di velocità si

“allarga”. In particolare, a parità di , il profilo di

. >

velocità si allarga al crescere di Per si

ha un “profilo a pistone”, per cui la velocità media è

circa uguale alla velocità massima; di conseguenza, il

profilo di velocità risulta piatto. 1

7

5

2100 ≤ ≤ 10 → = (1 − )

( )

,

All’aumentare di il rapporto parte da 2 e diminuisce fino ad essere pari a 1.

25

5. Solidi Investiti da Corrente Fluida – Sfera Il fluido che investe la sfera “vede” un cerchio.

Ovvero, la proiezione del solido sul piano

normale alla direzione della velocità, nel caso

della sfera, è un cerchio.

In questi casi si parla di “coefficiente di

resistenza” o CD (coefficient of drug).

= 1 2

2

[] → = =

1

2

2

Moto laminare su sfera: 24

= 2

24

(√

≤ 6000 → = + 0.54)

[0.1; (

∈ 0.2] → = 3 )

26

5.1. Sfera Solida in Caduta Libera >

Immaginiamo un sfera solida di densità in

caduta libera in direzione verso il centro della

< 0.1.

terra e in regime di moto tale da avere

Le forze agenti sulla sfera sono:

• Forza peso: =

• Spinta di Archimede:

= −

• Forza di Drug: = 3

Effettuando un bilancio di forze, dal secondo principio della dinamica, otteniamo:

= ( − ) − 3

La “velocità terminale” si ha quando il corpo in caduta libera smette di accelerare e, di conseguenza,

la velocità diventa costante: ( − )

= 0 → =

3

Il bi