Appunti Ottimizzazione Combinatoria 2 prof. Sassano

OTTIMIZZAZIONE COMBINATORIA

2

Il corso verterà sullo studio dei SISTEMI DI INDIPENDENZA e dei metodi per risolverli.

• sono speciali problemi di O.C. che hanno;
• principali tecniche comuni;
• formulazioni con strutture standard;
• euristiche con struttura simile (greedy).

Per la risoluzione di problemi legati a questi sistemi verifico usate le soluzioni α-approssimate che sono soluzioni ott ammissibili per le problematiche ma non ottime e costituiscono permuto un deliver band se le problematica è di max (mm). Esse si trovano nel modo seguente: a partire dal problema di

PL01, si solve il S.O. rilassamento lineare e lo si vinsiav. Cioè si ott. del

rel. ?c. costruisce un lower/upper band per lo soluzioni originante;

1. PLO1
2. z*= min cTx
3. x ∈ S: U_1{0,1}^m

• vettori di m componenti che posso essere 0,1.

possiamo costruire Z vettori con m components 0,1. Pertanto, |S| hai un numero finito di elementi

• formulazione (PL01) → z = min cTx
• P: fT x ≤ b; xe I
• x: x ∈ {0,1}^m

• rel. lin. (PL) min cTx
• Ax ≥ b; x ∈ I
• x ∈ R

• OM ⊆ x ≤

tale formulazioni si sostituisca alla reg. ammissibile di un insieme di diseguazioni che costituiscono un poliedro, ie quale contene de suo iniermo totti ii punti di S

• con la relaunsamento ilim. eliminano vincoli di binarietá e li si sosthisio con vincoli che limitanao te X ad assumere valóri galuppi tra 0 e 1 (=valori frazianari)

Toliendo ie vincolo di binarieia significfa aupliana lo region ammissibile dei problemeia originario. Pei ilta, un probleme di kka venire aupliato in reg, auum, formisco uusia siolzione che e un upper/lower bond ad quella ottima.

Per capike se le solizione trovata cosi ie fed. lim. sia buonie e massoma

conlormato ii rapporti tra il sol. approssimato e siol ser ottima conu certo valore di α:

• Xe S : ^{C^TX*}/_C^TX° ≤ α | α ≥ 1

Ovv, uuente, lauto minero P α e tauto . miglior ele approximate. Ie truvi nella maggior parte delle volte le. solzione x* mau la si coceca permuto ie sie zutubie dei quale sa sol. ix sibsa buxua.

OTTIMIZZAZIONE COMBINATORIA

2

Il corso verterà sullo studio dei SISTEMI DI INDIPENDENZA e dei metodi per risolverli.

• sono speciali problemi di O.C. che hanno:
• principali tecniche comuni;
• formulazioni con strutture standard;
• euristiche con struttura simile (greedy)

Per la risoluzione di problemi legati a questi sistemi vengono usate le soluzioni α-APPROSSIMATE che sono soluzioni ammissibili per la problematica (upper) ma non ottime e costituiscono comunque un lower bound se il problema è di max.

Esse si trovano nel modo seguente: a partire dal problema di _PLO1, si risolve il suo rilassamento lineare e lo si individua, così si ott.

Nel lim. costruisce un lower/upper bound per la sua soluzione originale:

• (PLO1) z = min cˣ
• _{x ∈ , ⊆ {0,1}}^m

vettori di m componenti che possono essere 0,1. Possiamo costruire un vettori con m equipost ^0,1. Pertanto, è un numero finito di elementi.

Togliendo le vincoli di binarietà significa ampliamo la regione ammissibile del problema ^originale. Pertanto, un problema al max viene ampliata la reg. dei lim. fornisce una soluzione che è un upper/lower bound di quella ottima.

Per capire se la soluzione trovata con il rel. lim. sia buona è necessario equifomizzare il rapporto max/pop. note ^{e sull'est. approssimata e dell'ottima con un certo valore d:}

_f ∈ : cˣ / c^⨯ ≤ α con α ≥ 1

Qui. corrente, tanto minore è α e tanto migliore è l'approssimazione. Tuttavia, nella maggior parte delle volte la soluzione x* non la si conosce pertanto si deve stabilire di quella sua sol. x sia buona.

Le teorie della PL e della dualità forniscono un solido quadro per la risoluzione di algoritmi approssimati. Nel corso verranno studiati i seguenti alg. approssimati:

• approssimazione primale-duale. Lo applichiamo a "set covering", "model cover" ;
• algoritmi greedy.

FLUSSO DI UN GRAFO ORIENTATO

• caso di un singolo bene:
  • dato:
    • un grafo orientato G( , );
    • vettore capacità;
    • vettore domanda.

Chiameremo FLUSSO di (G, c, d) il vettore.

Tale che < 0 < X_uv ≤ C_uv < vincolo capacità

In un grafo deve valere il PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DEL FLUSSO

∑ u:∈ N _t (u) X_vu - ∑ u∈ N _t (u) X_uv = d_u ∀ u ∈ N

Insieme di nodi che hanno archi>

Insieme di nodi che hanno archi > uscendi da u

• caso di p beni diversi:
  • dati: un grafo orientato G(N,A);
  • un unico vettore capacità;