Appunti Meccanica applicata

Cinematica

Coordinate locali

dove = t ∧ n

Velocità

v = v t̂

Accelerazione

â = ^dv⁄_dt t̂ + v ^dt̂⁄_dt

Considero il raggio di curvatura della traiettoria:

Devo nuovamente t̂:

^dt̂⁄_dt = lim_Δt→0 Δt̂⁄^Δt = lim_Δt→0 Δϑ n̂⁄^Δt = ω n̂

La velocità ha direzione e verso lungo la tangente.

La derivata del vettore è un vettore ortogonale al vettore di partenza e vale ω in modulo, quando la derivata del vettore è la velocità angolare.

v = lim_Δt→0 Δs/Δt = lim_Δt→0 ℓ Δ/Δt = ℓ ̇ ẑ sostituendo da prima

a = dv/dt = ℓ ḋ/dt ẑ + v² ℓ ̂

acc. tan. acc. norm. (centripeta)

= ℓ ̈ẑ + ℓ ̇² ̂

oppure sostituendo ̇ = v/ℓ

= ℓ ̈ẑ + v²/ℓ ̂

Manovella

Acciocco che gira intorno al punto B al quale è collegato una cerniera o telaio

OSS: _^ω = _^ω' + _^ω∧Q ⇒_^ω = _^ω'

L'accelerazione angolare è uguale sia nel mobile che nel fisso.

Teorema di Galileo (moti relativi)

_^Q̈P = _^Q̈P' + _^Ö⃗

_^Ö⃗ = _^Q̈P' + _^Ö⃗

⇓

Se _^Q⃗P = cost allora _^Ö⃗ = 0,_^Ö⃗ = 0 ⇒ _−^Ö⃗ = _^Ö⃗

Teorema di Coriolis

ÖP = ÖP' + 2ω∧Q́P'

Ö⃗ = Q̆P' + _^Ö + _^Ö⃗∧Q

Legge di composizione delle velocità angolari

Considero un corpo rigido solidale a P :

COPPIA ROTOIDALE PORTANTE

Formata da un perno (blu) e una boccola (nero).

Poiché si abbia ancora da essere un cavo gioco.

Il punto di contatto grava il peso del corpo che viene equilibrato, in condizioni di fermo dalla reazione uncinante R, F = R e si lavora alla stessa verticale.

Facendo ruotare il perno all’interno della boccola, con attrito, il punto di contatto si sposta in avanti rispetto alla rotazione, quindi R si sposta verso destra. La reazione uncinante, in questo caso, è rivolta verso il centro del sistema. Proporzionata alla forza F.

Per mantenere il contatto del parno nella boccola, è necessario applicare una coppia → esiste una coppia di forze che contrasta la coppia che si sta imponendo.

La coppia di forze di reazione è data da R per la distanza del nuovo punto di applicazione di R (punto di contatto) e il centro del sistema.

R è tangente al CERCHIO DI ATTRITO, il cui raggio è

ρ = r sin φ

concetto ideale tangente alla forza tangente e normale (= R)

quando la coppia che si oppone alla coppia motrice imposta è RE

La risultante delle forze applicate al disco dalla pasticca sarà

N = ∫_ri^r_e⍴ dA = ∫_⍬1^⍬₂k' / r rdrd⍬

n scludendo N = k'(r_e-r_i)(⍬₂-⍬₁)

tale risultante dovrà essere uguale alla forza F applicata sulla pasticca

=> F = N = k'(r_e-r_i)(⍬₂-⍬₁)

Il momento frenante è dato dalle forze d'attrito:

M_f = ∫_ri^r_e ⍴ df ∫_⍬1^⍬₂ dT_r = ∫∫_A f⍴ rdA

=> M_f=∫_ri^r_ef∫_⍬1^⍬₂ k'/r rdrd⍬ =∫_⍬1^⍬₂⍴∫_ri^r_ek'rdrd⍬

M_f = f k'(⍬₂-⍬₁)^{r₂²-r₁²} / ₂

=> M_f = f k'(r₂-r₁)(⍬₂-⍬₁) ^r₂+r₁ / ₂

M_f = f F^r₂+r₁ / ₂

Lavoro

dL = F·ds = F_xdx + F_ydy + F_zdz

Forme Differenziali

Ψ₁dx₁ + Ψ₂dx₂ + ... + Ψ_ndx_m

Def: Esatta se ∃ f(x₁,x₂,...,x_n): df = Ψ₁dx₁ + ... + Ψ_ndx_m

Teorema: Condizione necessaria e sufficiente affinché la f.d. sia esatta

Ψ_i = ∂f/∂x_i ∀i;

∂Ψ_j/∂x_i = ∂Ψ_i/∂x_j

Se ho una curva γ = (x₁(t), ..., x_m(t)) e l'integrale della forma su γ è definito come

∫_t1^t2 (Ψ₁dx₁/dt + ... + Ψ_ndx_m/dt ) dt

Se f.d. è esatta allora

∫_t1^t2 ∑Ψ_nẋ_ndt = ∫_t1^t2 ∑∂f/∂x_nẋ_ndt = ∫_t1^t2 d/dt f dt = f(t₂) - f(t₁)

non dipende dal cammino!

Teorema: C.N. affinché il lavoro elementare sia una f.d. esatta è che la forza F sia posizionale, cioè

F = F(p)

in generaleF = F(p,q,t)

PARTE 2

ω costante

• ω̂_x = ω cosα
• ω̂_y = ω sinα
• ω̂_z = 0

Mim = -_dkα/_dt [I_x ω̂_x î + I_y ω̂_y ĵ + I_z ω̂_z k̂]

= -[I_x ω_x î + I_y ω_y ĵ + I_z ω_z k̂]

nulla

ω_r ×

1. 0
2. 0
3. 1

1. ω cosα
2. ω sinα
3. 0

1. 0
2. -ω sinα
3. ω cosα

Mim = (I_x - I_y) ω² sinα cosα k̂ = Fℓ

CASO 2

Il rotore è collegato all’albero tramite un cuscinetto.

Mim = -[I_x ω_{x d} î/_dt + I_y ω_{y d} ĵ/_dt + I_z ω_{z d} k̂/_dt]

proietto Ω sulla terna mobile

• Ωx = Ω cosα
• Ωy = Ω sinα
• Ωz = 0

ω_x = ε cosα + ω, ω_y = ε sinα, ω_z = 0

Guida a ritorno rapido

Si applicano le vel. e moti relativi

V_B = ω_AB ⋅ AB

V_Ba = V_By + V_Bt

ω_AB ⋮ ? ⋮ ?

⊥ AB ⋮ ⊥ CB ⋮ ⊥ CB

V_Da = V_Dr + V_Dt

ω₂ = V_BE / BC

---

ω₂

V_Dt = V₃

β

a_Dα

a_D = a_Dm = ω₂²CD ⋮⋮ CD

a_Dt = ω₂CD ⋮⋮ CD

a_Da = a_Dr + a_Dt

---

a_Dam + a_Dat = a_Dr + a_Dt

ω₂²CD ⋮ ω_iCD ⋮ ? ⋮ ?

⋮ CD ⋮⊥₃ ⋮ ⊥ π

cos(θ) è 0 per θ = ...