Appunti esame statistica

Misurare la concentrazione di un fenomeno

Oltre a poter misurare la variabilità di un fenomeno, possiamo misurare anche la sua concentrazione, ovvero definiamo concentrazione di n quantità x1, x2, ..., xn il modo con cui l'intensità totale T si distribuisce fra le unità stesse.

Consideriamo:

• Concentrazione nulla = equidistribuzione;
• Concentrazione nulla = variabilità nulla;
• Concentrazione massima = variabilità massima.

Per la concentrazione utilizziamo tre diversi indici: indice di Gini, indice di Amato e metodo dei trapezi.

L'indice di Gini, utilizzato soprattutto nelle distribuzioni semplici, ci indica il rapporto di concentrazione R che è pari a: 2∑(pi - qi) R = 1 - ∑qi R = oppure alla formula alternativa .n-1∑pi

Il valore R sarà compreso tra 0 e 1, se sarà uguale a 0 ci sarà equidistribuzione, se invece sarà uguale a 1 ci sarà massima concentrazione.

L'indice di Amato, poniamo sul grafico cartesiano le qi

e le pi formando così una curva. La lunghezza di tale curva sarà pari a L. L'indice quindi sarà pari a: √(l - 2L) = √2 - 2.

Metodo dei trapezi, ci serve a calcolare l'area di concentrazione R che sarà pari a: (RA = 1 - ∑(pi - pi-1)(qi + qi-1)).

Che relazione c'è tra questi indici? Indice di Amato ≤ metodo dei trapezi ≥ indice di Gini.

Indice di eterogeneità di Gini: viene utilizzato per misurare la mutabilità, ovvero l'attitudine di un carattere qualitativo ad assumere differenti modalità. Esso è pari a: 2. Se IE è uguale a 0, allora ci sarà omogeneità; se IE è uguale a 1, allora la fici sarà massima eterogeneità.

Si può anche normalizzare l'indice IE, ed esso sarà uguale a: IEk = IEmax k-1.

CAPITOLO SESTO: Indici di forma

Il primo modo per studiare la forma di un

fenomeno è confrontare media, mediana e moda. Parliamo di simmetria se: media=mediana=moda; di asimmetria positiva se: moda < mediana < media; di asimmetria negativa se: media < mediana < moda. Possiamo però utilizzare anche degli indici: - ModaM=γ indice del Pearson: - σ μ 3 3∑(xi-x) β=indice di Fisher-Pearson: - ma per la serie di dati - μ 3=3σ n¿ ¿3 3∑( xi-x) ∑( xi-x)n n per la distribuzione semplice; per la μ 3=¿ μ 3=¿distribuzione in classi. Importante è anche la curtosi: è un allontanamento dalla normalità distributiva, rispetto alla quale si verifica un maggiore appiattimento (distribuzione platicurtica) o un maggiore allungamento (distribuzione leptocurtica). Leptocurtosi Mesocurtosi Platicurtosi CAPITOLO SETTIMO: Interpolazione statistica Analizzando i dati di un carattere quantitativo, è possibile utilizzare delle tecniche.

Per descrivere e semplificare attraverso funzioni matematiche l'informazione contenuta nei dati statistici. Per colmare alcune lacune presenti nei dati ottenuti si possono inserire uno o più dati tra gli altri già noti: tale procedura si chiama interpolazione. Si vuole sostituire alla successione dei valori osservati una successione più completa di dati, in parte o del tutto teorici, in grado di fornire informazioni sull'andamento dei fenomeni che si vuole studiare. Molto importante è fare una distinzione tra interpolazione e regressione (entrambi i modelli servono a cercare di studiare la relazione che intercorre tra due variabili): interpolazione (in rosso), cerca di individuare la funzione matematica che meglio descrive il fenomeno, fotografa matematicamente il problema esattamente come è nella realtà, ma è difficile trovare tale funzione; regressione (in giallo), si basa sulla funzione della retta e cerca di individuare

La retta che taglia al meglio possibile la nube di punti, è sempre possibile individuare tale retta ma potrebbe non essere ben rappresentata dalla teoria (lasca nel fotografare la realtà).

Esempio:

X: 3,5,2,6,1

Y: 1,4,3,6,2

Modello di regressione lineare semplice: serve a studiare l'eventuale relazione di dipendenza lineare (legame gerarchico, una influenza l'altra e viceversa) di una variabile Y detta dipendente rispetto a una variabile X detta indipendente.

Nello studio della retta di regressione è importante utilizzare il metodo dei minimi quadrati: esso assicura che la somma di tutti i residui sia positivi che negativi sia minima, perciò la retta taglia al meglio possibile la nube di punti. Altra proprietà della retta di regressione è che la somma degli scarti semplici è sempre zero.

L'equazione della retta è:

^yi=a+ bxi

Diamo un nome alle nostre incognite:

^ valore teorico della variabile dipendente y;

 yi=?

intercetta;a=¿ coefficiente angolare della retta.b=¿Vediamo ora come calcolare i valori a e b:;a=¿ y−b x ( ) )CODEV X , Y ∑( xi−x)( yi− yσxy= =b= . ( ) 2 2DEV X σ x ∑( xi−x)La CODEV(X,Y) (codevianza di x e y) è la variabilità di due fenomeni. Può assumeresegno positivo (quindi c’è concordanza e i due fenomeni variano nella stessadirezione), negativo (quindi c’è discordanza) o uguale a zero (i due fenomeni sonoindipendenti o il legame c’è ma non è di tipo lineare).CAPITOLO OTTAVO: Modelli teorici per le distribuzioni univariateSi definisce modello teorico una funzione matematica che adatta meglio i datiosservati. Possiamo distinguere:distribuzione uniforme discreta > è la più semplice distribuzione di interessegenerale è quella in cui si assegna lo stesso grado di fiducia a tutte le possibilirealizzazioni di X. Prendiamo

per semplicità una variabile casuale che può assumere con uguale probabilità i primi n interi positivi. Otteniamo la funzione; in principio simile alla distribuzione continua normale (o di Gauss) ma doppia per quanto riguarda la simmetria rispetto al valore centrale e l'estensione a grandissimi scarti, ma che meglio si presta a descrivere moltissimi casi di interesse è quella in cui i gradi di fiducia vanno come . Tale distribuzione può anche essere standardizzata (parliamo di normale standardizzata): 2 - zX - μ 1=Z poniamo (variabile standardizzata) e otteniamo così ( )= 2f z eσ √ 2 π. CAPITOLO NONO: Relazioni statistiche Parliamo di connessione tra due fenomeni associati quando al variare delle modalità del carattere statistico X le modalità del carattere Y variano. Si dice dunque che esiste indipendenza in media della variabile Y dalla variabile X se le medie parziali sono tutte uguali tra

loro al variare delleyimodalità xi della X, ossia se:.y 1= y 2=…= yr

Se vi è indipendenza statistica allora vi è anche indipendenza in media; ma sec’è indipendenza in media non è detto che ci sia indipendenza statistica.

Scomposizione della devianza di regressione:

                                                                                                    &

più grandi quanto più lefrequenze osservate si discostano da quelle teoriche e assume valore massimo,2 ( ) ( )ovvero: .=n [min −1 ]χ r ; c−1 2La formula per il calcolo del sarà:χ2nij2 e per normalizzare tale indice utilizziamo la formula=n [∑ ]χ ∑ ¿ .n. j2χ2 =φ .2χ maxCoefficiente di cograduazione di Sperman: si utilizza nelle graduatorie,serve per vedere se c’è concordanza o meno tra i giudizi espressi. Esso è datoda: 26 ∑ dirs=1− .2 −1)n( nQuesto indice è compreso tra -1 (massima discordanza tra le due graduatorie)e 1 (c’è indipendenza o mancanza assoluta di cograduazione).^ ^ ^( )(yi− yi yi− yi)( yi− yi)STATISTICAINFERENZIALECAPITOLO PRIMO: Elementi di calcolo delle probabilitàAbbiamo quattro diverse definizioni di probabilità:la prima definizione, classica, definisce la probabilità di un evento A è data dal

Il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi di quel risultato e il numero totale dei risultati, ovvero: numero di casi favorevoli = P(A); numero di casi ugualmente possibili.

La seconda definizione, frequentista, prende le mosse dal fatto che la frequenza relativa di ciascun risultato tende a stabilizzarsi intorno ad un valore costante al crescere del numero delle prove (postulato empirico del caso); da qui trae origine la definizione frequentista proposta da Mises (1934), secondo la quale la probabilità è uguale al "limite" cui tende il rapporto tra il numero k delle volte che un risultato si è presentato ed il numero n delle prove indipendenti effettuate nelle stesse condizioni, quando n tende ad infinito, ovvero: k/n = lim P(A) dove si assume l'esistenza del limite; n → ∞.

La terza definizione, assiomatica, dovuta a Kolmogorov (1933) è basata sulla teoria delle funzioni matematiche e teoria degli insiemi e si impernia su...

Un insieme di principi formali chiamati assiomi;

L'ultima definizione proposta, quella soggettivista, fa coincidere la probabilità del fenomeno con le aspettative che ha il soggetto circa il verificarsi dell'evento.

Proprietà delle probabilità:

( )P E &