Appunti esame statistica

Autore: Luigi D'Ambra - Statistica Descrittiva

Capitolo primo: La rilevazione statistica

Ogni ∑ ha un intervallo di i che va da 1 ad n. Oggi il termine statistica è riferito a due significati: un dato numerico o una tavola di dati numerici ottenuto mediante indagini ed elaborazioni; la scienza del collettivo, utilizzato ovunque siano quantificabili i fenomeni di massa.

Carattere: rappresentano gli aspetti delle unità statistiche oggetto di studio.

Modalità: i modi diversi di essere di un carattere con cui si possono presentare le unità di una popolazione. I caratteri si dicono:

• Quantitativi: le modalità sono espresse attraverso una grandezza misurabile o numerabile;
• Qualitativi: se le modalità sono espresse mediante espressioni verbali o attributi.

Sempre per quanto riguarda il carattere, distinguiamo:

• Carattere discreto: quello che ha per modalità i numeri reali 0,1,2,3, etc. (es. gli alunni di una scuola);
• Carattere continuo: quello che ha come modalità tutti i valori compresi in un intervallo (es. altezza, peso).

Le distribuzioni statistiche si distinguono in semplici (se consideriamo un solo carattere) e multiple (se consideriamo due o più caratteri).

Frequenza: il numero delle unità di un carattere che presentano le stesse modalità.

Intensità: è il numero di un carattere che esprime il suo ammontare o la sua misura o la sua grandezza.

Distinguiamo tre tipi di frequenze:

• Frequenza assoluta: il numero delle volte in cui la modalità è stata osservata;
• Frequenza relativa: è il rapporto tra la frequenza assoluta ed il totale delle frequenze;
• Frequenze cumulate: corrispondenti al valore di è la somma delle frequenze assolute, o relative, dalla prima modalità fino a comprendere quella di xi.

Distribuzione statistica: la classificazione delle unità statistiche secondo la modalità di uno o più caratteri e la conseguente tabellazione dei risultati dell’indagine oggetto di studio da luogo alle distribuzioni statistiche. Distinguiamo le distribuzioni statistiche in:

• Distribuzioni semplici: se è riferita ad un unico carattere;
• Distribuzioni in classi: quando i dati sono numerosi conviene procedere ad una suddivisione in classi del carattere cioè la popolazione viene suddivisa in classi distinte;
• Distribuzioni doppie: si hanno quando su ciascuna unità della popolazione si rilevano due caratteri X e Y.

Per le distribuzioni in classi calcoliamo:

• L’ampiezza della classe come la differenza tra il suo estremo superiore e il suo estremo inferiore: h_i= x_i – x_(i-1); oppure w= x_(max.) - x_(min.) / S;
• La densità di frequenza è il rapporto tra la frequenza e l’ampiezza di una classe: d_i= n_i / h_i;
• Il valore centrale di una classe è la semisomma dei suoi estremi: i= x_i + x_(i-1) / 2;
• Il numero minimo delle classi è dato da: S= 1 + 10/3 log n.

Capitolo secondo: Rapporti statistici

I rapporti statistici vengono elaborati per consentire il confronto tra i dati osservati. In questi rapporti utilizziamo:

• Indici a base fissa: il denominatore scelto è sempre uguale ad una stessa intensità base;
• Indici a base variabile: si confronta ciascun dato con quello precedente, assumendo quest'ultimo volta per volta come base di riferimento.

Numeri indici:

• Numeri indici semplici: rapporti che consentono il confronto tra le intensità di uno stesso fenomeno o più situazioni diverse o in tempi diversi o in luoghi diversi;
• Numeri indici complessi: rapporti che mettono in confronto le intensità di più fenomeni rispetto ad un tempo o luogo base.

Proprietà dei numeri indici semplici:

• Proprietà dell’identità: si pone che il numero indice relativo al periodo di base deve essere uguale ad 1 o ad una potenza di 10; x_i = x_j -> i_ij = x_j / x_i = 1;
• Proprietà della reversibilità delle basi: serve per passare da una serie di numeri indici a base fissa alla corrispondente serie di numeri indici a base mobile ed è sufficiente dividere ciascun numero indice a base fissa per il suo precedente;
• Proprietà transitiva: serve per passare da una serie di numeri indici a base mobile alla corrispondente serie di numeri indice a base fissa, aventi come base fissa il termine iniziale della serie;
• Proprietà della reversibilità dei fattori: l’indice di valore è uguale al prodotto dell’indice dei prezzi e di quello delle quantità, cioè si consideri un dato di valore v suddiviso nei suoi elementi costituenti: v = pq dove p= prezzo e q= quantità;
• Proprietà di commensurabilità: si verifica quando l’indice è indipendente dall’unità di misura delle quantità e non varia se cambia l’ordine di grandezza dell’unità di misura impiegata per esprimere la quantità di beni su cui si commisura il prezzo unitario;
• Proprietà di proporzionalità: un indice non deve annullarsi né tendere ad infinito o diventare indeterminato se si annulla un termine compreso nella formula.

Si possono costituire i seguenti indici dei prezzi:

• Formula di Laspeyre: I_p(L)= ∑p_(i1)q_(i0) / ∑p_(i0)q_(i0)
• Formula di Paasche: I_p(P)= ∑p_(i1)q_(i1) / ∑p_(i0)q_(i1)

In entrambe le formule i prezzi variano sia al numeratore che al denominatore e le quantità sono costanti, quindi entrambi gli indici sono espressi come rapporti tra medie aritmetiche ponderate dei prezzi degli n beni e/o servizi. Per risolvere il dualismo nella scelta dell’una o dell’altra formula si può procedere ad un’ulteriore sintesi: il criterio proposto da Fisher:

√ ( )I_p(F)= I_p L x I_p(P) √ ( )I_q(F)= (P)I_q L x I_q

Capitolo terzo: Rappresentazioni grafiche

Per rappresentare i fenomeni si utilizzano, come abbiamo già visto, le rappresentazioni tabellari, ora vedremo le rappresentazioni grafiche.

• Diagrammi circolari:
• Diagramma a canne d’organo:
• 3210
• Istogramma:
• Stereogramma:
• 543210 1 2 3 4
• ia ia ia iar r r ro o o oeg teg teg tegtCa Ca Ca Ca
• Box-plot:

Capitolo quarto: Le medie

Gli indici utilizzati sono principalmente 4:

• Indici di posizione (media, mediana, quartili e moda);
• Indici di variabilità;
• Indici di forma;
• Indici di curtosi.

Consideriamo ora gli indici di posizione. Generalmente definiamo la media come quel valore verso il quale convergono tutti i punti. La definizione proposta da Chisini afferma che: sia x₁, x₂, x₃, …, x_n la distribuzione per unità di un carattere quantitativo X, una sua media è una quantità che, se sostituita a ciascun termine della distribuzione, lascia inalterato il risultato delle operazioni f eseguite sui termini della distribuzione. In altre parole, se si considera la distribuzione come se fosse una funzione o la media presa n volte quante sono le osservazioni è la stessa cosa.

Abbiamo diverse tipologie di medie:

• La media aritmetica è la media semplice dei termini x₁, x₂, …, x_n e quella ponderata, delle k modalità x₁, x₂, …, x_k di pesi n₁, n₂, …, n_k sono rispettivamente: M= x₁ + x₂ + … + x_n / n

Proprietà della media aritmetica:

• Internalità: la media aritmetica di una serie di valori è sempre compresa tra il valore minimo e il valore massimo, ovvero x₁ ≤ M ≥ x_n;
• Omogeneità: moltiplicando con una costante c appartenente all’insieme dei numeri reali R i termini di una distribuzione anche la media risulta moltiplicata per la stessa costante c, ovvero (cx₁+cx₂+…+ cx_n)/n = cM;
• Associativa: secondo tale proprietà dividendo un collettivo di numerosità n in c sottogruppi a due a due disgiunti e di numerosità n.1, n.2, …, n.c, dove n=n.1 + n.2 + n.c, la media aritmetica ponderata è uguale alla media ponderata delle medie dei sottogruppi con pesi pari alla frequenza di ogni sottogruppo;
• La somma algebrica degli scarti dei termini della distribuzione della media aritmetica è uguale a zero, ovvero ∑(x_i – M)=0;
• La somma dei quadrati degli scarti dei termini della distribuzione dalla media aritmetica è un minimo rispetto alla somma dei quadrati degli scarti dei termini da un qualsiasi altro valore, ovvero ∑ (x_i − M)² = min;
• Consistenza: la media aritmetica è la più usata delle medie;
• La media armonica è il rapporto tra il numero di valori considerati e la somma tra i reciproci dei valori numerici, ovvero: n/(1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/x_n);

Proprietà della media armonica:

• Internalità, tale proprietà è valida a patto che i termini della distribuzione siano tutti positivi o tutti negativi;
• Omogeneità, n/(∑ cx_i) = cM;
• La somma dei quadrati degli scarti dei reciproci dei valori x_i dall’inverso della media armonica è un minimo rispetto alla somma dei quadrati degli scarti dei medesimi valori inversi x_i dall’inverso di un qualsiasi altro valore c ≠ Ma, ovvero: ∑ (1/x_i − 1/Ma)² < ∑ (1/x_i − 1/c)²;

La media geometrica è la radice n-esima del prodotto dei valori considerati, ovvero: √_n(x₁ x₂ … x_k)

Proprietà della media geometrica:

• È nulla la somma degli scarti dei logaritmi dei valori x_i > 0 dal logaritmo della media geometrica, ovvero ∑(log x_i – log Mg) = 0;
• La somma dei quadrati degli scarti tra i logaritmi dei valori x_i ed il logaritmo della media geometrica è un minimo, ovvero ∑ (log x_i – log Mg)² < ∑ (log x_i – log c)²;
• Omogeneità, moltiplicando i termini x_i per uno stesso numero c appartenente all’insieme dei numeri reali R anche la media geometrica risulta moltiplicata per quel valore c;
• Il reciproco della media geometrica è uguale alla media geometrica dei reciproci dei valori x_i, cioè Mg^-1(1/x₁, 1/x₂, …, 1/x_k);
• La media geometrica di una serie di rapporti X/Y è uguale al rapporto tra le medie geometriche del numeratore X e del denominatore Y, cioè Mg(X/Y) = Mg(X)/Mg(Y);
• La media geometrica è invariante per una trasformazione di potenza;
• Monotona, se la distribuzione per unità B è più grande della distribuzione A allora: Mg(A) < Mg(B);
• Associativa;
• Consistente;
• Internalità, ma non dipende da quella traslativa;

La media quadratica di ordine h, con h appartenente all’insieme dei numeri reali R di una distribuzione per unità (x₁, x₂, …, x_n), è definita dalla seguente espressione: √_h(∑ x_i^h/n).

Le medie troncate si utilizzano quando la media risente troppo dei valori anomali (troppo alti o troppo bassi rispetto al resto della sequenza dei valori) e dunque si considerano solo i valori centrali. Ad esempio, consideriamo i valori 2,15,17,20,40, considerando i valori anomali (2 e 40) la media risulterebbe 18,8 mentre se consideriamo solo i valori centrali (15,17 e 20) essa risulta 17,3 e dunque più attendibile.

Il calcolo della media varia a seconda della distribuzione di cui ci troviamo:

• Serie di dati: ∑ x_i/n;
• Tabella di distribuzione semplice: ∑ n_ix_i/n;
• Distribuzione in classi: ∑ n_ix_i/n.

Mediana

È quell’osservazione reale o teorica che separa il 50% che ha intensità inferiore dal 50% che ha...