Probabilità e Statistica - Introduzione al calcolo combinatorio ed esercizi svolti

Probabilità e statistica: Teoria & Esercizi

Introduzione

UNIMORE - Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia
Autore: Filippo Ribes
Gli appunti sono stati scritti sulla base delle lezioni svolte dalla Professoressa Giuliana D'Ercole e da fonti online.

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Probabilistica

Alcune probabilità coi dadi:

La probabilità di fare un 6 con un dado è la faccia e proporzionale ai casi possibili (in questo caso è pari a ¹/₆). Se lancio, invece, due dadi → la probabilità di fare un 6 e 6 è: ¹/₆ × ¹/₆ = ¹/₃₆ (la probabilità si moltiplica).

Se non volessi, invece, ottenere un 6 in due lanci, si avrà: ⁵/₆ × ⁵/₆ = ²⁵/₃₆

La probabilità di avere almeno un 6 in 2 lanci è: 1 - ⁵/₆ × ⁵/₆ = 1 - 0,48 = 0,52

La probabilità va da 0 a 1 (a 0 la probabilità non avverrà sicuramente, a 1, invece, avverrà sicuramente). Quando questo <0,5 → si ha un evento improbabile, mentre se >0,5 → si ha un evento probabile.

Campo Lanzi

Il doppio dado deve definire sia probabile (p>0,5) che esca un doppio 6 (quindi un 6 e un 6 assieme!). Ragioniamo la probabilità che non esca doppio 6 in un lancio è: ³⁶/₃₆ mentre quella che esca un doppio 6 in un lancio è: ¹/₃₆ = 0,028 che è decisamente molto inferiore rispetto a 0,5 → un solo lancio è insufficiente. Andiamo avanti: la probabilità che non esca un doppio 6 in 2 lanci è: ³⁵/₃₆ × ³⁵/₃₆ = 0,945 mentre quella che esca un doppio 6 in 2 lanci è: 1 - ³⁵/₃₆ × ³⁵/₃₆ = 1 - 0,945 = 0,055

La probabilità che non esca un doppio 6 in 3 lanci è: ³⁵/₃₆ × ³⁵/₃₆ × ³⁵/₃₆ = 0,91912 che quella di esca un doppio 6 in 3 lanci è: ³⁵/₃₆ 1 - ³⁵/₃₆ = 1 - 0,919 = 0,081

Notiamo che la probabilità sta aumentando all'aumentare dei lanci. Mi risulta che, perché sia probabile un doppio 6, occorrono almeno 25 lanci.

1 - ( ³⁵/₃₆ )²⁵= 1 - 0,494 = 0,506 > 0,5 ⇒ OK!

Jean e Jacque: Lanci di monete

Jean e Jacque fanno un gioco. Tirano tante volte una moneta e, se esce Testa Jean vince un punto, se esce Croce, lo vince Jacque. Se prima che arrivino a 2 punti vince chi. Entrambi dispongono in partenza di 32 franchi ciascuno. Ad un certo giorno interrompono il gioco prima che finisca. Come si devono spartire i 64 franchi che sono in ballo, sapendo che i lanci sono stati i seguenti?

• Testa Testa - Jean 2 vittorie.
• Croce : Jacque 1 vittoria.

Pensiamo di lutturare per comparare il gioco occorrono un massimo di: 2 lanci in tre casi diversi:

• Testa Testa : vince Jean {con un lancio in più superfluo}
• Testa Croce: vince Jean
• Croce e Croce: vince Jacque

Rassumendo:

• C C : Jacque
• C T : Jean
• T C : Jean
• T T : Jean

Jean ha 3 probabilità su 4 di vincere, mentre Jacque solo 1 su 4 e a Jean spettariano ³/₄ di 64 franchi e a Jacque ¹/₄ di 64.

Esperimento

Un esperimento è un processo che termina con un risultato preciso. Cioè un anticipio

Spazio di probabilità

È definito dalla seguente terna: (S, Ω, P)

• S: spazio campionario (insieme degli eventi possibili, può esser finito, come nel caso del dado o infinito come nel caso degli arrivi degli autobus compresa da un orario ben eletto).
• Ω: insieme degli eventi (classe di sottoinsiemi di S che soddisfa le seguenti proprietà:
  • se A ⊂ Ω ​​⇒ A^c ⊂ Ω
  • se A, B ⊂ Ω ​​⇒ A ∪ B ⊂ Ω
  • se A₁, ..., A_n ⊂ Ω ​​⇒ ⋃A_j A_j ⊂ Ω per j = 1, ..., L

Esempio:
Ω₂ = {∅, S}
Ω₂ = {T, T^c, S, ∅}, P(S) = 1

La probabilità si calcola solo su gli elementi che stanno dentro a Ω.

P: Probabilità

È una funzione del tipo P: Ω ➝ [0, 1] dotato delle seguenti caratteristiche: