Appunti ed esercizi di chimica fisica 2

Radiazione di Corpo Nero

Onda che si propaga in una direzione, ed essa c'è campo elettrico

e anche magnetico

ha massimi e minimi

• radiazione visibile

420 nm ≤ λ ≤ 700 nm → lunghezza d'onda

430 THz ≤ ν ≤ 710 THz (10¹² Hz) → freq.

v = velocità costante (c ≠ 3·10⁸ m/s)

c = λ · ν

• ṽ = numero d'onda = ¹/_λ (cm^-1)

= ν/c

E = h · ν = hcṽ = h · c/λ

ν, ṽ ∝ E

λ ∝ 1/E

Interferenza

→ fenomeno tipico delle onde

Corpo nero

materiale con una cavità vuota che assorbe ed emette

qualsiasi radiazione

→ dal foro si preleva la radiazione e la si analizza

dE = ^p(ν)/_c dν

• → densità specifica di radiazione

Si ottiene questo grafico

Energia = integrale in dv

Area sotto la curva

aumentando T aumenta la e il max si sposta a frequenze più alte

() = A²

densità di energia non accettabile come reale perché

dalla fisica classica si avrebbero = infinito

CATASTROFE ULTRAVIOLETTA

Planck scrisse -> () = 8h³ / c³(e^h/kT - 1)

k = 1.38 * 10^-23 J/k

h = 6.626 * 10^-34 Js

ottenuta pensando di far interagire un'onda con la materia

tramite l'emissione di pacchetti di energia

(quanti)

Nella fisica classica c’è il concetto di traiettoria, nella fisica quantistica essa viene sostituita dalla probabilità.

es. orbitale -> ΔxΔp_x ≈ h

RIPASSO MATE

• Numeri complessi

i = √-1 (unità immaginaria)

i² = -1

z = x + iy

=> numero complesso

parte reale parte immaginaria

Complesso coniugato z̅ = x - iy

zz̅= (x+yi)(x-yi) = x² + y² = |z|²

modulo quadro di z

es.

z1 = 2+i3z2 = 1+i4

z1 + z2 = 3 - i

z2z1 + 3z2 = 2(z1+3) + 3(4-i(4)i =7 - i6

z1 = 2;

z - z2 = (2+3)(4-1i) = 2 - i2¹ - 8 - i3;

z - 3i = i5

es.

2:zi 1-i2 2+2-i4+i 4-3

4 i: 2 1-i2 5 5 5 5

Deve essere:

• distributivo → α(x₁ + x₂) = αx₁ + αx₂
• pseudodissibi. rispetto alla somma → β(α + β) = αx + βx
• associativo → α(βx) ≠ (αβ)x → prodotti diversi
• elemento neutro = 1

Esempio di spazio vettoriale

Esempio

(a b) (e f) = (αe αf) (c d) (γ h) = (c+β αh)

Matrice proposta

(-a -b) (-c -d)

α. (a b) = (αa αb) (c d) = (αc αd)

1. Spazio delle funzioni f(x) da ℝ in ℝ es. x² + e^x

28/09/22

BASE ORTONORMALI (vettori hanno norma 1 e sono tutti ortogonali tra loro)

• < | > = (delta)
• − derivata
• ∂ − derivata parziale

∀ ∈ può essere scritto come combinaz lineare

dei vettori che appartengono alla base

= λ₁₁ + λ₂₂ + ⋯ + λ = Σ₌₁ λ

1. < | > = < | λ₁₁ + ... + λ> = < | λ₁₁> + < | λ₂₂> + ...
2. = Σ₌₁ λ < | > = Σ₌₁ λ = λ

Attenzione: Tutti saranno 0 tranne quelli in cui =

< | > = λ (solo se la base è ortonormale)

< | > = λ^R (complesso coniugato)

∀ = λ₁₁ + λ₂₂

< | > = λ₁θ = <(₁)

<(₂)

coeff. costi ti seno ha modulo 1

fattore di fase che distingue le funzioni d'onda

P_{a ≤ x ≤ b} = ∫_a^b |Ψ|² dx

La funzione d'onda quindi mi dà la probabilità di trovare la particella.

∫_−∞^+∞ |Ψ|² dx = 1 → Normalizzazione

La funzione d'onda deve essere CONTINUA e DERIVABILE

deve avere un'area finita

quindi deve tendere rapidamente a 0, a ±∞

Se ∫_−∞^+∞ |Ψ(x,t)|² dx = C → funzione non normalizzata

norm.

per normalizzarla

(_˜ Ψ_˜ ^Ψ = √C_Ψ ÷ 1 _{∫Ψ^∫Ψdx} = 1/C

Nel piano

Ψ(x,y,t) → d∫ |Ψ(x,y,t)|² dx dy

∫ |Ψ|² dx dy → ∫ ∞ ∫ dx dy |Ψ|² = 1 → Normalizzazione

SOMMA

di due hamiltoniani o hermitiani

_A, _B → _A+_B

_A^†

_A² = <ψ| _A^†_A|ψ> = <_Aψ|_Aψ> = <_Aψ|_Aψ>

= <_Aψ|_Aψ>

Se è hermitiano

(A_†)_† è hermitiano

ma _A._B non è hermitiano

<ψ|[_A._B] ψ₃ >= <_Aψ|_Bψ₃> = <_Bψ|ψ>

inseriti se commuto il prodotto è hermitiano allora no

_Ā = <ψ|_A|ψ> ∈ℝ

(_A - _Ā) è hermitiano

(_Ā)² .. .

△_A² = <ψ| (_A - _Ā)(_A - _Ā)|ψ>

= <ψ|(_A-_Ā)(_Ā-_Ā)|ψ>

= 2(_A-_Ā)ψ|(_A-_Ā)|ψ>

prodotto scalare di un vettore con se stesso

norma quadra del vettore

Se la norma è nulla è praticamente nulla (probabil precisa)

⊭

(_A - _Ā)|ψ>=0 → _Aψ = _Āψ

equaz. ad autovalori

_Aψ = aψ

precisa per

Se  = Ĥ misurando l’energia ne trovo una sola e quella stessa

PARTICELLA LIBERA IN UNA DIMENSIONE

5/10/21

= ²/2m

= () → risolvere questa equaz.

= -ħ²/2m d²/d²

-ħ²/2m d²()/d² = ()

''() - 2m/ħ² () = 0

→ Equaz. diff.

p² + 2m/ħ² =: 0

p² = 2m/ħ² → p = ±i√(2m)/ħ = ±iκ

Soluzioni → () = C₁e^iκx + C₂e^-iκx

(combinaz. lineare delle due)

ℛ̂ ⁱ = -ℏ/ d/d ⁱ

Particella che si muove verso dx con =

ℛ̂ ^-i = -ℏ ^-i

Particella che si muove verso sx con = -

SOVRAPPOSIZIONE DI STATI

Dopo aver effettuato la misura però si ottiene uno stato ben preciso