Appunti dispositivi elettronici

1. Illustrare cosa si intende per solido cristallino, dare alcuni esempi di celle unitarie e stimare, a

partire dal passo reticolare la densità atomica del solido.

Il solido cristallino è un cristallo caratterizzato da disposizione ordinata di atomi invariante rispetto

a operazioni di traslazione e composto da celle elementari o unitarie che sono la minima unità

caratterizzante il cristallo con le stesse proprietà di quest’ultimo e che dà informazioni sugli assi di

simmetria del cristallo. Alcune celle unitarie sono la cella cubica, cubica a corpo centrato e cubica a

facce centrate (che hanno tutte assi cristallografici ortogonali).

Si definisce passo cristallino la distanza di cui traslare la cella per ricoprire la struttura ordinata.

Per trovare la densità atomica del solido: sapendo il passo reticolare possiamo trovare il volume di

una cella elementare e sapendo quanti atomici ci sono nella stessa trovo la densità.

NB: la cella cubica contiene un atomo, la cubica a corpo centrato ne contiene due e la cubica a facce

centrare ne contiene quattro.

Partendo dal passo reticolare 4,3 A calcoliamo il volume di una singola cella.

10 3 −29 3

(4,3 )

= ∗ 10 = 7,95 ∗ 10 3

1 28

3 ° = = 1.258 ∗ 10

ricaviamo il numero di celle in un m −29

7,95∗10

Sapendo che ogni cella contiene due atomi ricaviamo il numero di atomi

28 28

° = 1.258 ∗ 10 ∗ 2 = 2,516 ∗ 10

Il numero moli risulta : °

° = = 41774

Da cui la densità ° 3

à = 23 ∗ = 968/

3

1

2. Illustrare il modello atomico di Bohr, ricavando l’espressione del raggio medio delle orbite.

Utilizzare questo risultato per stimare il passo atomico del cristallo di Sodio.

Il modello atomico di Bohr prevede una descrizione simile al modello planetario in cui al centro

dell’orbita è situato il nucleo carico positivamente e sulle orbite circolari ruotano gli elettroni.

1

Questo modello secondo la teoria dell’elettromagnetismo classico non dovrebbe funzionare in

quanto l’elettrone ruotando dovrebbe irraggiare energia e quindi collassare sul nucleo mentre questo

non avviene. Introducendo i postulati della quantizzazione dell’energia si arrivò a dire che:

- Gli elettroni possono ruotare su orbite discrete e irraggiano energia solo quando passano da

un’orbita ad un’altra. mvr=n(h/2π)

- Il momento angolare è quantizzato ossia dove h è la costante di Planck,m massa

elettrone, v velocità elettrone e r il raggio dell’orbita. N prende il nome di numero quantico

principale.

Quindi se forniamo un pacchetto di energia all’elettrone, questo si eccita e salta su orbita ad energia

un’orbita cadendo su quest’orbita

più alta. Se invece è presente a energia più bassa irradia energia.

Raggio medio:

L’elettrone ruota in equilibrio tra forza centripeta e la forza di attrazione coulombiana.

2 2

=

{ 2

4

= ħ

2 2 2 2 2

ħ

= =

2 3

4

2 2 2

ħ

=

4

2

1

=

2 2

4 ħ 2 2

4 ħ

= 2

Se prendiamo l’atomo di idrogeno (z=1) si trova: 

2 -10

r=n R dove R prende il nome di raggio di bohr e vale 0.5 10 metri = 0.5 amstrong.

0 0 quindi l’ultimo elettrone

2 2 6 1

Il sodio ha 11 elettroni quindi ha configurazione elettronica 1s 2s 2p 3s

è nel terzo orbitale (n=3). Il cristallo di sodio ha una cella elementare cubica a corpo centrato.

Assumendo come passo il doppio del raggio atomico (distanza dell’elettrone più lontano) e che il

sodio sia un atomo idrogenoide (z=1) abbiamo che:

2

a = 2 n R = 2 R =9A

0 0

Abbiamo visto che l’elettrone può ruotare solo su orbite ben definite scandite da un numero

quantico n. A tale orbite compete un’energia che è uguale al lavoro necessario per portare un

elettrone che ruota su tale orbita all’infinito.

L’energia associata ad un generico elettrone è dato, secondo la teoria della fisica classica, da due

termini ossia energia cinetica e energia potenziale:

2

= +

1 2

=

2

2 2 2

2 e andando a sostituire nell’espressione dell’energia

= =

Sapendo che ossia

2

4 4

cinetica si ottiene: 2

1

= 

2 4

L’energia potenziale sarà: 2

= − 

4

L’energia potenziale è una primitiva della forza di coulumb.

Da cui: 2

1 1

= + =− =



2 4 2

Sostituendo a r l’espressione del raggio in funzione del numero quantico principale si ottiene:

2 2 2

( )

1 1 1 1

= + =− = − = − = −

  

2 2 2

2 4 2 4 2 4

0 0

Dove la quantità R prende il nome di Rydberg e vale:

y 2

1 = = 13.6



8

0

3. Illustrare l’apparente contraddizione tra la II legge della dinamica e la legge di Ohm.

Introdurre il modello a rilassamento per la velocità di deriva e la mobilità.

V=RI

F=Ma

La tensione tra due punti di un conduttore è proporzionale al campo elettrico presente tra essi e

quindi alla forza coulombiana. La corrente è definita come la quantità di carica che attraversa una

data superficie nell’unità di tempo quindi è proporzionale alla velocità delle cariche e non alla loro

accelerazione. Ogni elettrone del conduttore è accelerato da una forza costante dovuta al campo

elettrico che ne fa crescere linearmente la velocità. Questa non cresce indefinitamente in quanto

l’elettrone urta contro il reticolo e la sua velocità decrescente o si annulla. Quindi in media

3

l’elettrone ha una velocità costante e non c’è contraddizione. Il modello del movimento

dell’elettrone prende il nome di modello a rilassamento.

F=qE=ma

a=qE/m costante perché E è costante 

=

Quindi la velocità di deriva massima risulta − ∗

m* è la massa efficace dell’elettrone che dipende dal materiale (per il Si m*=0.26m), ed è data dal

rapporto tra forza e accelerazione che esso subisce all’interno del reticolo.

In questo modello semplificato si considera la velocità media come metà di quella massima

 

 

= = =

da cui si ricava che da cui .

2∗ 2∗

In realtà usando un modello più accurato che tenga conto del fatto che gli urti non avvengono a

 



= =

intervalli di tempo regolari si ha che e che .

∗ ∗

3 1/2 3 4 4

La mobilità è costante per E<10 V/cm è proporzionale a 1/E tra 10 V/cm e 10 V/cm sopra 10

V/cm è proporzionale a 1/E.



Questo perché dipende dalla somma tra velocità agitazione termica e velocità di deriva, ma la

4

velocità di deriva è molto inferiore a quella termica per campi al di sotto di E=10 V/cm raggiunto

questo valore la velocità di deriva è indipendente da E perché diventa paragonabile alla velocità di

nell’ordine di 7

agitazione termica 10 cm/s.

4. Discutere la conducibilità in un conduttore metallico e la sua dipendenza dalla

temperatura.

Nei metalli gli elettroni sono già disponibili per la conduzione in quanto sono già liberi di

partecipare alla conduzione. Quindi in un materiale metallico la concentrazione dei portatori liberi

dipende solamente dalla densità atomica in quanto ogni atomo mette a disposizione alcuni elettroni.

Quindi la densità di elettroni è circa uguale alla densità atomica. (verificare)

Aumentando la temperatura, la concentrazione non varia mentre varia la mobilità in quanto

aumentando l’agitazione termica aumenta la possibilità di un urto tra elettrone e reticolo. Essendo la

conducibilità proporzionale a q, n, mobilità ed essendo le prime due costanti la resistenza aumenta

con la temperatura.

5. Illustrare le proprietà dei semiconduttori del IV gruppo (reticolo, concentrazione

intrinseca, sua dipendenza dalla temperatura, la lacuna).

I semiconduttori sono quei materiali con proprietà intermedie tra isolanti e conduttori presentano,

cm.

-5 5

infatti, una resistività che varia tra 10 10

I semiconduttori sono microscopicamente simili a isolanti perché gli elettroni sono coinvolti nei

legami, ma la sola energia termica basta per rompere i legami e portare gli elettroni in conduzione

quindi simili al metallo.

Hanno tutti struttura cristallina ordinata e nel caso del silicio si ha cuna cella elementare cubica con

disposizione degli atomi a tetraedro. 4

La concentrazione intrinseca dipende dalla temperatura in modo esponenziale (più alta è la

temperatura più si generano portatori liberi) per il silicio è nell’ordine di 1.45 10 10 -3

cm dato che il

22 -3 12

silicio ha una densità atomica di 10 cm si ha quindi un portatore libero ogni 10 atomi mentre è

più alta per il germanio che ha energia legame minore (0.7ev).

La concentrazione intrinseca dipende dalla temperatura in modo esponenziale secondo la legge:

3

−

= dove C è una costante da determinare conoscendo ni a T(300K)

2 2

Quando un elettrone si porta in conduzione, si libera un posto che può essere occupato dagli

elettroni sottostanti che possono muoversi per andare a occuparlo per studiare questo fenomeno si

introduce la lacuna.

La lacuna è una quasi particella di carica positiva formatasi a seguito della mancanza di un elettrone

che è stato portato in conduzione studiando il moto delle lacune si può quindi ridurre di molto il

numero di particelle considerate dato che non si considera il moto di tutti gli elettroni che

tenderebbero a occupare lo spazio libero.

Della lacuna si può stimare la massa come rapporto tra la forza che agisce e l’accelerazione, la

mobilità, lo scattering si può considerare inoltre il moto di lacune come una corrente.

6. Stimare la conducibilità del Silicio/Germanio puro a temperatura ambiente (commentare

l’espressione, quantificare i termini)

La conducibilità per il silicio:

=q( =ni  

 2 2

n+ p) per il Si intrinseco n=p=ni q( + ) =1450cm /Vs = 480cm /Vs

n p n p n p

 -6 -1

Quindi =1,4810 (cm)

Si

Per il germanio:

 

2 2 13 -3

=3900cm /vs = 1900cm /vs ni=2.410 cm

n p

 -6 -1 -3 -1

Quindi =1,4810 (cm) =22 10 (cm)

Ge un’energia

Si nota che la conducibilità del germanio è maggiore perché il germanio ha di legame

minore e mobilità maggiore quindi sarebbe preferibile al Si ma questo ha un ossido con ottime

proprietà isolanti e meccaniche e semplice processo di crescita.

La conducibilità dipendendo da mobilità e concentrazione varia con la temperatura, infatti,

all’aumentare della temperatura si ha una diminuzione della mobilità dovuta all’agitazione termica

d’impatto,

che aumenta la possibilità ma la concentrazione intrinseca di portatori aumenta

esponenzialmente con la temperatura quindi questo effetto è prevalente causando un aumento di

conducibilità.

7. Introdurre il concetto di drogante, illustrare l’influenza dei droganti sulla conducibilità del

semiconduttore a partire dal modello ad orbitali di legame.

Il motivo per cui i semiconduttori sono così diffusi è dovuto al fatto che aggiungendo degli atomi

detti di drogante, è possibile controllare a piacere il numero di portatori liberi disponibili.

L’atomo di drogante deve essere inserito in posizione sostituzionale ovvero deve andare a occupare

una posizione dove si troverebbe un atomo di silicio se il materiale fosse intrinseco.

5

Bisogna drogare il materiale in modo da non snaturare il materiale stesso ma rendere disponibile un

numero significativamente alto di portatori liberi.

Per questo motivo la concentrazione di atomi droganti deve essere inferiore di 2-3 ordini di

grandezza rispetto a quella del drogato (nel silicio si droga, infatti, con concentrazione massima di

20

10 ) mentre la concentrazione di portatori liberi deve aumentare di almeno 3-4 ordini di grandezza.

14 18

Valori comuni di drogaggio per il silicio vanno da 10 a 10 quindi gli atomi droganti sono di

almeno quattro ordini di grandezza meno mentre i portatori liberi aumentano da quattro a otto ordini

di grandezza.

Gli elementi droganti che sono in grado di alterare le proprietà elettriche sono quelli dal 3 al 5

gruppo della tavola periodica (i più usati sono P(5°) B(3°) As(5°)).

Consideriamo droganti pentavalenti.

L’atomo di drogante va a inserirsi nel reticolo e forma quattro legami sp3 con gli atomi di Si

adiacenti.

Il 5° elettrone tende a rimanere nelle vicinanze del drogante ma non essendo legato al reticolo ha

una bassa energia di ionizzazione quindi è sufficiente l’energia termica per strapparlo. Si può quindi

assumere che la concentrazione di elettroni liberi si pari a quella di atomi droganti.

Il drogaggio di questo tipo:

-introduce un eccesso di cariche negative

-introduce cariche fisse positive (ioni)

-causa una diminuzione di concentrazione di lacune

Per drogaggio trivalente:

I tre elettroni esterni formano legami con il Si ma esiste un legame non formato a causa della

mancanza di un elettrone la lacuna quindi tende ad attrarre a se gli elettroni liberi circostanti.

-introduce un eccesso di cariche positiva

-introduce cariche fisse negative(ioni)

-causa una diminuzione di concentrazione di elettroni.

8. Stimare sulla base del modello di Bohr, l’energia di legame dell’elettrone del Fosforo,

quando immerso nel reticolo di Silicio.

elettroni sull’orbitale esterno quindi 4 sono utilizzati per formare legami mentre

Il fosforo ha cinque

l’ultimo è libero.

L’unico elettrone che non forma legami si trova a una distanza pari alla distanza data dalla formula

2

1

=

di bohr .

2 2

4 ħ

In questa formula si utilizza l’approssimazione dell’atomo idrogenoide (z=1, n=1) perché Il fosforo

ha 5 elettroni sull’orbitale esterno quindi 4 sono utilizzati per formare legami mentre l’ultimo è

libero. dell’elettrone più esterno perché ne subisce la

La nube elettronica sottostante reagisce ai movimenti

forza di repulsione di conseguenza il baricentro della nube elettronica si allontana dal nucleo si ha

quindi una divisione di cariche che genera un momento di dipolo.

Si dice che la nube è polarizzata e quindi è approssimabile con un dielettrico polare.

Infatti in un condensatore piano a facce parallele il campo elettrico E=/ inserendo un dielettrico

0

tra le armature si ha che questo si polarizza orientando i dipoli delle sue molecole (già polari) in

6

modo che la parte negativa dei dipoli sia orientata verso la faccia positiva del condensatore questo

ha l’effetto di indurre carica di segno opposto a quella presente sulle facce del condensatore e

 

ridurre la carica forzante = E.

induzione 0 

fine dell’inserimento del dielettrico risulta

Il campo alla E=/( ).

0 r  

Tra l’elettrone e il nucleo c’è la nube polarizzata che fa variare il valore di a circa 10-11 volte 0.

Si ottiene un raggio di circa 5A °.

Questo valore è circa uguale al passo atomico e ruota vicino agli atomi di Si del reticolo.

Possiamo valutare quindi l’energia di ionizzazione necessaria a portare l’elettrone in conduzione

Partendo dalle equazioni Si ottiene che l’energia è circa 100mev circa 10 volte meno quella che

serve per il Si. In pratica basta la sola energia termica per strapparli

dall’atomo.

Quindi questi sono i portatori maggioritari.

9. Illustrare la legge di azione di massa, i concetti di maggioritari e minoritari.

Dato un sistema all’equilibrio termodinamico (termico chimico meccanico) si hanno due fenomeni

in competizione la generazione di portatori liberi e la ricombinazione.

Il primo è funzione solo di T g=f1(T), mentre l’altro dipende anch’esso dalla temperatura ma anche

dalla concentrazione di portatori liberi.

R=n p f2(T)

G=f1(T) f1(T)



All’equilibrio G=R np = = f(T) quindi fissato T np=costante.

f2(T) 

10 -3 2

Nel Si intrinseco a 300K abbiamo n=p=ni=1,4510 cm np=ni

n=10

18 -3 18 -3

Drogaggio pentavalente Nd=10 cm cm

100

2 20 18 -3

p=ni /n 2 10 /10 cm

nota quindi che con questo drogaggio l’effetto

Si delle lacune è trascurabile.

p=10

18 -3 18 -3

Drogaggio trivalente Na=10 cm cm

100

2 20 18 -3

n=ni /p 2 10 /10 cm

nota quindi che con questo drogaggio l’effetto degli elettroni è trascurabile.

Si

10. Illustrare la dipendenza della mobilità