Appunti dispositivi elettronici

C

totale di elettroni sarà simile a quella della colonna isoterma di gas con la sola differenza che nel

caso di gas le energie si riferivano allo zero del fondo della colonna.

(− )

−

=

Sarà quindi:

Per le lacune stesso discorso: devo vedere quanti sono i livelli mancanti di elettroni e la probabilità

data dalla coda. ( −)

−

=

Si avrà risultato analogo:

(Se avessimo fatto il conto con Boltzmann avremmo trovato nelle due espressioni al posto di

rispettivamente e ) (22min Fermi 2)

Dimostriamo questo risultato:

abbiamo una densità di stati nella banda di conduzione a partire da Ec che variano con una funzione

con picchi e valli g(E-Ec) (in quanto i livelli partono da Ec).

compresi tra l’energia E e E+dE.

Facendo g(E-Ec)dE trovo il numero di livelli

Moltiplicando il numero di livelli energetici disponibili per la probabilità che il livello sia occupato

troviamo il numero di elettroni.

Gli elettroni tra E e E+dE è: )

( −

)

= ()( − =

(− )

+1

Quindi il numero totale di elettroni in banda di conduzione:

+∞ )

( −

=∫

(− )

+1

48

Al primo ordine mettiamo infinito mentre in realtà bisognerebbe mettere il limite energetico

superiore.

Supponiamo anche stavolta che il livello di fermi sia lontano dal bordo della banda di conduzione di

almeno KT.

Quindi:

− ≫ (quindi tutti gli altri livelli superiori a Ec saranno ancora più distanti dal livello di

Fermi.

Quindi prevale l’esponenziale a denominatore e avremo:

+∞ +∞

)

( − (− )

 −

)

∫ = ∫ ( −

(− )

X=E-Ec +∞ +∞

(+ ) ( ) ()

− −

− − −

=∫ () = ∫ ()

0 0

L’integrale è un numero quindi il risultato sarà: ( )

−

−

=

Il numero di elettroni per unità di volume in banda di conduzione lo possiamo scrivere ancora alla

Boltzmann ma facendo riferire le energie al livello di Fermi.

Tutti gli elettroni per unità di volume sono in numero uguali agli elettroni che ci sarebbero in un

sistema equivalente che ha N livelli per unità di volume a energia Ec (concentrati quindi sul bordo

C

della banda di conduzione) a cui competono una probabilità di occupazione alla fermi

(approssimata con l’esponenziale). Quindi è come se N livelli per unità di volume fossero

c

concentrati a bordo banda e fossero occupati con una probabilità data dalla fermi.

N prende il nome di densità equivalente di stati per unità di volume.

C

Calcoliamo ora quanti livelli ci aspettiamo in banda di conduzione:

il numero di livelli dipende dal numero di atomi (in particolare scala con il numero di atomi).

Quindi è necessario parlare di numero di livelli per unità di volume. Prendendo un cubo di lato 4 A

calcoliamo prima di tutto la densità di atomi per unità di volume:

3 −8 3 3 −24 3

(4) (4 )

= = ∗ 10 = 64 ∗ 10

In un cubo c’è un solo atomo intero (cella cubica semplice). Quindi la densità di atomi per unità di

volume è: −1 22 −3 22 −3

= 1.6 ∗ 10 ≈ 2 ∗ 10

Quindi la densità è dell’ordine 10 22 -3

cm .

Nel caso del silicio abbiamo 4 elettroni disponibili nella banda di valenza per ogni atomo

4N in banda di conduzione è 4*10^22 …

(2N stati elettroni). Quindi il numero totale di stati fisici

[43 min fermi 2]. 49 22

Ci chiediamo se Nc è maggiore o minore di 4*10 (stati fisici nel sistema nella banda di

conduzione). È minore in quanto per mantenere uguale il numero di elettroni ho:

)

( = ∫ ()()

Dato che la probabilità di ciascun livello è minore man mano che cresco in energia e mi allontano

da Ec ho che i vari livelli sono pesati da un numero (probabilità) minore. Quindi Nc, in quanto

viene moltiplicato per una probabilità di occupazione maggiore di tutti gli altri stati e dovendo dare

22

lo stesso risultato deve essere più piccolo di 4*10 .

Per le lacune in bande di valenza si ha un risultato analogo:

1

)(1 )

= ( − − ()) = ( − ( )

∫ ∫

−

−∞ −∞ −

1+

si ha che l’esponenziale al denominatore

− ≫

Ponendoci nella fascia di energie tali che

prevale quindi si ha: −

)

≅∫ ( −

−∞

= −

Facendo la sostituzione: si ha:

0 0

+ − −

−

= ∫ () = ∫ ()

−∞ −∞

Il termine integrale anche in questo caso è un numero che indichiamo con e chiamiamo densità

di stati equivalenti di banda di valenza . −

−

=

Le lacune presenti in banda di valenza che si distribuiscono con funzione alla fermi su 4*10^22 stati

per centimetro cubo.

Il numero di lacune totali è equivalente al numero di lacune che ci sarebbero se tutti gli stati fossero

concentrati sul bordo della banda di valenza con una concentrazione Nv a cui compete la probabilità

di occupazione data dall’esponenziale. Come prima Nv minore di 4*10^22 che sono gli stati fisici

le due bande e corrispondono all’integrale della

per unità di volume (sono in ugual numero per

curva con picchi e valli della densità di stati).

Calcoliamo ora la posizione del livello di Fermi: 50

come prima cosa calcoliamo la sua posizione in un semiconduttore intrinseco. Ce lo aspettiamo

circa a metà nel gap tra le due bande. Il numero di elettroni in banda di conduzione e il numero di

lacune in banda di valenza sia n . Ma abbiamo appena visto che la densità di elettroni in banda di

i

conduzione è esprimibile come il Nc livelli per unità di volume concentrati sul fondo della banda di

conduzione moltiplicata per la probabilità alla fermi. Idem per lacune nella banda di valenza.

Abbiamo quindi: −

−

= =

−

−

= =

Tutti questi parametri sono noti ad eccezione dell’energia di fermi. Quindi uguagliando le due

espressioni troviamo: + −2

()

=

+

= − ln ( )

Ricavo: 2 2

Quindi a parte la piccola variazione data dal secondo termine che è circa nulla in quanto i membri

dentro il logaritmo sono dello stesso ordine di grandezza, quindi in rapporto danno circa 1 abbiamo

che il livello di fermi è nel punto medio tra le due bande.

>

Se abbiamo che il livello di Fermi si sposta più in basso rispetto alla metà ossia si avvicina

alla banda di valenza. Questo perché deve compensare il diverso numero di stati equivalenti. Dato

che elettroni e lacune per definizione sono in ugual numero in semiconduttore intrinseco il livello di

Fermi si sposta verso la banda di valenza perché ha meno stati equivalenti e quindi viene

compensato con una maggiore probabilità di occupazione (riducendo quella degli elettroni).

Se trascuriamo la correzione data dal secondo termine e sapendo che il gap energetico tra le due

bande è circa 1.1eV abbiamo che il livello di Fermi sarà 550meV sopra la sommità della banda di

valenza e 550meV sotto il fondo della banda di conduzione.

Prendiamo ora un semiconduttore drogato e valutiamo il livello di fermi:

se aggiungiamo elettroni il livello di Fermi sale in quanto la probabilità di occupazione dei livelli in

banda di conduzione sarà maggiore. Con ragionamento analogo ci aspettiamo che il livello di Fermi

scenda con un drogaggio di accettori. 18 −3

= 10

Prendiamo un semiconduttore drogato p .

Quindi le lacune sono circa pari al numero di droganti a temperatura ambiente. Come prima le

lacune sono in numero pari alla densità di stati presenti in banda di valenza concentrati sulla

sommità di tale banda moltiplicati per la probabilità data dalla Fermi. In formule abbiamo:

−

−

= =

Anche in questo caso l’incognita è il livello di fermi:

= − ( ) = + ( )

51 19 −3

= 1.83 ∗ 10

Quindi è al di sopra della banda di valenza. Prendendo si ha che il livello di

Fermi è al di sopra di 75meV della sommità della banda di valenza (molto più in basso rispetto al

caso di silicio intrinseco come ci aspettavamo).

In questo caso bisogna fare attenzione perché, nonostante siamo a energie pari a 3KT,

l’approssimazione della fermi può cominciare a vacillare. Questo dipende dal drogaggio: nel caso di

21

applicazioni laser dove il drogaggio arriva a 10 e il livello di Fermi entra nella banda di

conduzione in un caso e in quella di valenza nell’altro. (Sopra 19

drogaggi 10 meglio la Fermi).

Dalle relazioni appena usate possiamo ricavare l’espressione di :

chiamiamo il livello di Fermi di un semiconduttore intrinseco. Abbiamo visto prima che:

+

=