Appunti di Statistica per l'azienda prof. Daniele De Martini

Stima per intervalli

U=π(X₁, …, Xₙ)

Statistica pivot

Iₙ - θ / (σ/√n) = Iₙ - θ / √(Nσ²/n)

X̄ₙ = ΣXᵢₙ

Stima=Funzione di M

X̄ₙ - μ / (σ/√n) ∼ N(0,1)

P(Zₐ/₂ ≤ Z ≤ Z₁-ₐ/₂) = 1 - α

P(X̄ₙ - μ / √(Nσ²/n) ≤ Z₁-ₐ/₂) = 1 - α

P(-Z₁-ₐ/₂ * (σ/√n) ≤ μ ≤ X̄ₙ + Z₁-ₐ/₂ * (σ/√n)) = 1 - α

L = X̄ₙ - Z₁-ₐ/₂ * (σ/√n)

V = X̄ₙ + Z₁-ₐ/₂ * (σ/√n)

Teorema del Limite Centrale (Tende a Gauss)

TLC

_X̄n - μ / √σ²/n ≈ N(0,1)

Prima era:

P(Z ≤ z_1-α/2) = 1 - α/2

Ora:

P(√n (X̄_n - μ) / σ ≤ t) ≈ P(Z ≤ t) = Φ(t)

P(X̄_n - Z_1-α/2 (σ/√n) ≤ μ ≤ X̄_n + Z_1-α/2 (σ/√n)) ≈ 1-α

Chiamiamo i percentili

Idc "e" per la media

P(_{X̄n - tn-1;1-α/2 ^{S2n / N} ≤ M ≤ X̄n + tn-1;1-α/2 ^{S2n / N}) = 1-α}

• L_n = X̄_n - t_n-1;1-α/2 ^S_n / N
• U_n = X̄_n + t_n-1;1-α/2 ^S_n / N

Idc per la varianza

P(^α/2χ²_n-1 ≤ (n-1)S²_n / σ² ≤ ^(1-α/2)χ²_n-1) = 1-α

P(C_{n-1; α/2} ≤ (n-1)S²_n / σ² ≤ C_{n-1; 1-α/2}) = 1-α

P(1 / C_{n-1; 1-α/2} ≤ σ² / (n-1)S²_n ≤ 1 / C_{n-1; α/2}) = 1-α

P((n-1)S²_n / C_{n-1; 1-α/2} ≤ σ² ≤ (n-1)S²_n / C_{n-1; α/2}) = 1-α

• L_n = (n-1)S²_n / C_{n-1; 1-α/2}
• U_n = (n-1)S²_n / C_{n-1; α/2}

Indicatore di STABILITÀ p-value

p-value = 2P(T_n* > |T_n,obl|)

p-value del test Z (bilaterale µ) p-value = 2P(T_n* > |T_n,obl|) = 2(1 - Φ_gz|T_n,obl|)

P-value del test unilaterale

H₀: µ = µ₀ vs H₁: M > µ₀

T_n = N(0, 1)

P-value = (1 - Φ_gz|T_n,obl|)

Potenza del test unilaterale

Π(d, n, µ) = Φ(√n * (M_v - M₀) / σ - z_1-α)

Test Gaussanità

I_n = n * Σ (F_i - F̂_i)²

H₀: T ~ χ²

• K - 1 se ho μ e σ
• K - 2 se stimo un parametro
• K - 3 se stimo entrambi i parametri

Regione rifiuto

R = (χ_k-r;1-α²; +∞)

Ψ_α(X₀) = {

• 0 if T_n ≤ C_k-r;1-α
• 1 if T_n > C_k-r;1-α

P-Value = (1 - χ²_k-r | T_nα)

Carte di Controllo CC x la dev Standard

σ_[S] = σ √1 - c₄²(n)

σ Specificato

A = (c₄(n) ⋅ σ₀ - 3σ₀ √1 - c₄²(n), c₄(n) ⋅ σ₀ + 3σ₀ √1 - c₄²(n))

UCL = c₄(n) ⋅ σ₀ + 3 σ₀ √1 - c₄²(n)

CL = c₄(n) ⋅ σ₀

LCL = c₄(n) ⋅ σ₀ - 3 σ₀ √1 - c₄²(n)

σ Non Specificato

A = (S - 3 S / c₄(n) √1 - c₄²(n), S + 3 S / c₄(n) √1 - c₄²(n))

UCL = S + 3 S / c₄(n) √1 - c₄²(n)

CL = S

LCL = S - 3 S / c₄(n) √1 - c₄²(n)

Carta di Controllo CCA per Attributi

_{t1 t2 t3 t4} ... _tm

_{X12 X13 X14 X1m}

_{X21 X22 X23 X2m}

... ... ... ...

_{Xn1 Xn2 Xn3 Xnm}

_Pni = ∑x_i^an

_Pni = ∑_Pni/m*m

P₀ = ∑_Pni/m*m

σ = _P0 = √^P₀(1-_P0)_n

P₀ Specificato

• UCL = _P0 + 3 √^P₀(1-_P0)_n
• CL = _P0
• LCL = _P0 - 3 √^P₀(1-_P0)_n

P₀ Non Specificato

• UCL = ^P + 3 √^P(1-^P)ⁿ
• CL = ^P
• LCL = ^P - 3 √^P(1-^P)ⁿ