Appunti di Statistica per l'azienda prof. Daniele De Martini

Stima per intervalli

U = ? (X₁, ... , X_n, θ) statistica pivot

_{X̄n - θ} / _{σ / √n} = _{In - θ} / _{σ / √n} = _{In - θ} / _(σ²/n)

X̄_n = ΣX_i/n

X̄_n - μ parametri incognito ~ N(0,1)

√(σ²/n)

P(Z_α/2 ≤ Z ≤ Z_1-α/2) = 1 - α

P(_{X̄n - μ} / √(σ²/n) ≤ Z_1-α/2) = 1 - α

P(-Z_1-α/2σ/√n ≤ μ ≤ X̄_n + Z_1-α/2σ/√n) = 1 - α

L = X̄_n - Z_1-α/2σ/√n

V = X̄_n + Z_1-α/2σ/√n

STIMA PER INTERVALLI

U = t(X₁, ..., X_n, θ)

STATISTICA PIVOT

^{X̄_n - θ}/_σ/√n = ^{X̄_n - θ}/_σ/√n = ^{X̄_n - θ}/_√σ²/n

X̄_n = ΣX_i/n

STIMATORE di μ

^{X̄_n - μ}/_√σ²/n ~ N(0,1)

P(Z_α/2 ≤ Z ≤ Z_1-α/2) = 1-α

PROBABILITA'

P(^{X̄_n - μ}/_√σ²/n ≤ Z_1-α/2) = 1-α

P(^{X̄_n - Z_1-α/2σ/_√n ≤ μ ≤ X̄_n + Z_1-α/2σ/_√n) = 1-α}

L = X̄_n - Z_{1-α/2σ/√n}

V = X̄_n + Z_{1-α/2σ/√n}

Teorema del limite centrale (tende a Gauss)

TLC:^{X_n - μ} / _√(σ²/n) = ^{X_n - μ} / _σ/√n → ^N(0,1)

Prima era

P(Z ≤ Z_1-α/2) = 1 - α

Ora

P(√n ^{X_n - μ} / σ ≤ t) ≈ P(Z ≤ t) = Φ(t)

• All'incirca

P(X_n - Z_1-α/2 ^σ / _√n ≤ μ ≤ X_n + Z_1-α/2 ^σ / _√n) ≈ 1 - α

• Parametro incognito
• Circa

I_dc con σ non noto TLC

σ² non noto

S_n² = ∑_i=1ⁿ (x_i - X̄_n)²/(n-1)

stimatore non distorto

con dati gaussiani F_x = N(μ, σ²)

allora (n-1)S_n²/σ² ~ X²_n-1

I_dc distribuzione e varianza non note

(X̄_n - M)/√(S_n²/n)

approssimato N(0,1)

P(X̄_n - Z_{1 - d2} S_n/√n ≤ M ≤ X̄_n + Z_{1 - d2} S_n/√n) ≈ 1 - α

n più elevato più è lontano dalla gaussiana

I_dc per una percentuale

P = P(X ≤ t_P)

X̄_n

stimatore = media campionaria puntuale

lo stimo con la frequenza campionaria

P_n = X̄_n/n

se le probabilità X_i=1ⁿ ~ Bin(n, p)

sono date da

σ² = np(1-p)

TLC

stimatore

(P_n - P)/√(P(1-P)/n) = √n (P_n - P)/√(P(1-P)) → N(0,1)

P\left(\overline{P}_n - Z_{1-\alpha/2} \frac{\sqrt{P(1-P)}}{\sqrt{n}} \leq P_n \leq \overline{P}_n + Z_{1-\alpha/2} \frac{\sqrt{P(1-P)}}{\sqrt{n}}\right) \approx N(0,1)

p non lo conosco quindi per trovare Idc devo stimare p

\sqrt{P(1-P)} \rightarrow \sqrt{P_n(1-P_n)} \quad \text{STIMO}

\sqrt{n} \cdot \frac{P_n - P}{\sqrt{P_n(1-P_n)}} \rightarrow N(0,1) \text{TENDE ALLA GAUSSIANA}

P\left(\overline{P}_n - Z_{1-\alpha/2} \frac{\sqrt{P_n(1-P_n)}}{\sqrt{n}} \leq P \leq \overline{P}_n + Z_{1-\alpha/2} \frac{\sqrt{P_n(1-P_n)}}{\sqrt{n}}\right) \approx 1-\alpha

Idc

L_n = \overline{P}_n - Z_{1-\alpha/2} \frac{\sqrt{P_n(1-P_n)}}{\sqrt{n}}

U_n = \overline{P}_n + Z_{1-\alpha/2} \frac{\sqrt{P_n(1-P_n)}}{\sqrt{n}}

t_k =

t_k = / √ (X_k² / k)

= (̄_n - ) / √ (_n² / n)

= √n . (̄_n - ) / . / √_n²

= √n . (̄_n - ) / . 1 / √ (_n² / ²)

= √n . (̄_n - ) / . 1 / √ ((n-1)_n / (n-1))

= √n . (̄_n - ) /