Appunti di Statistica I

IV. PREPARAZIONI DI DATI E TABELLE STATISTICHE

- È essenziale che la tabella abbia una intestazione e che indichi la popolazione di riferimento e il

carattere esaminato.

- Dal prospetto dello spoglio congiunto di due caratteri si ricava una tabella a doppia entrata

DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA: successione delle modalità di un carattere e delle corrispettive frequenze

riscontrate in una popolazione. Assume diverse forme se si parla di caratteri qualitativi e quantitativi:

- MUTABILE STATISTICA se si riferisce a un carattere qualitativo

{( , = 1, . . . , }

);

- VARIABILE STATISTICA se si riferisce a un carattere quantitativo

{( , = 1, . . . , }

);

se il carattere quantitativo è continuo i dati, se numerosi, vengono raggruppati in classi. Le classi

diventano così le modalità del carattere.

AMPIEZZA (di una classe di un carattere continuo)

= −

AMPIEZZA (di una classe di un carattere quantitativo discreto)

= − + 1

Bisogna tener presente che nel predisporre le classi se si aumenta l’ampiezza si perdono informazioni e

viceversa.

DISTRIBUZIONI DI QUANTITÀ: può essere utile ripartire tra le modalità di un carattere non la frequenza

totale ma una quantità totale.

SERIE STORICHE: successione dell’ammontare di un fenomeno quantitativo in corrispondenza alle modalità

del tempo.

SERIE TERRITORIALI: successione di un fenomeno quantitativo in corrispondenza di divisioni territoriali.

La statistica si occupa di confrontare i dati raccolti.

- STATISTICA UNIVARIATA: descrizione degli aspetti più importanti di un solo carattere.

- STATISTICA MULTIVARIATA: analisi contemporanea di più caratteri, al fine di mettere in evidenza

eventuali relazioni esistenti tra gli stessi.

- Confronto tra GRANDEZZE OMOGENEE: variazione sistematica di una sola circostanza.

- Confronto tra GRANDEZZE ETEROGENEE: le intensità o frequenze di fenomeni diversi sono

confrontabili se sono riconducibili ad un unico genere oppure sono nel rapporto di genere a

specie e purché nessun’altra circostanza vari sistematicamente.

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Capitolo 4 – i rapporti statistici

Sono un quoziente di due dati di cui almeno di natura statistica. Ovvero quanta parte del numeratore

spetta idealmente a ciascuna unità della grandezza del denominatore del rapporto.

I. Rapporti di composizione (sono compresi tra 0 e 1)

II. Rapporti di densità

( )

Con questi rapporti si elimina l'influenza esercitata dal denominatore sulla grandezza al

numeratore, e quindi si rendono confrontabili dati che rimarrebbero eterogenei.

III. Rapporti di derivazione

,

Il valore ottenuto indica quanta parte del numeratore spetta ad una unità del denominatore. Si

ritiene che la popolazione di un certo territorio sia la causa da cui derivano molti fenomeni. Si

hanno così rapporti di derivazione che hanno al denominatore il numero di abitanti.

IV. Rapporti di coesistenza

Rapporto di due dati statistici coesistenti per i quali si ritiene debba mantenersi una certa

proporzione che varia da caso a caso.

V. Numeri indici (solo per serie storiche e territoriali)

, , . . . , , . . . ,

Presupposto: il fenomeno quantitativo assume valori rispettivamente in

0 1

, , . . . , , . . . ,

corrispondenza dei tempi 0 1

<

- VARIAZIONE ASSOLUTA di da a , con si intende la differenza

−

<

- VARIAZIONE RELATIVA di da a , con si intende il rapporto

−

= = −1

.

NUMERI INDICI:

=

.

spesso vengono moltiplicati per 100 e si ottengono i numeri indici percentuali. Sono numeri puri.

Variazioni percentuali: ∙ 100 = ∙ 100 − 100

. .

- NUMERI INDICI A BASE FISSA

=

.0

0

servono per valutare le variazioni rispetto ad un anno (anno base) che rimane fisso.

- NUMERI INDICI A BASE MOBILE

=

.−1

−1

Servono per valutare le variazioni relative di un anno rispetto all’anno precedente.

- RELAZIONI TRA NUMERI INDICI A BASE FISSA E BASE MOBILE

−1

1 2

= = ∙ ∙. . .∙ ∙

.0

0 0 0 −2 −1

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Capitolo 5 – statistica descrittiva univariata

Le frequenze

FREQUENZA ASSOLUTA: numero di unità statistiche che possiedono una certa modalità (forniscono

l’informazione della rilevanza di tale modalità nella popolazione)

= + + +. . . + = ∑

1 2

=1

La somma delle frequenze è uguale al numero complessivo delle unità osservate. Tale somma è

denominata ampiezza della popolazione.

FREQUENZA RELATIVA: rapporto tra la frequenza assoluta di una modalità e la sua frequenza totale

=

- Dà informazioni sull’importanza relativa delle diverse modalità del carattere.

- È un rapporto di composizione.

- Spesso le frequenze relative si moltiplicano per 100 ottenendo le frequenze relative percentuali

= ∙ 100

∑ = 100

=1

0 ≤ ≤ 100

- Proprietà:

o La frequenza relativa è un numero compreso tra 0 e 1

= , = 1, . . . ,

DIMOSTRAZIONE:

≥ 0 → > 0 → ≥ 0

≤ N → ≤ 1

0 ≤ ≤ 1

o La somma delle frequenze relative associate alle k modalità esaustive e incompatibili del

carattere A è pari a 1

∑ = 1

=1

DIMOSTRAZIONE:

+ +. . . + +. . . +

1 2

1 2

∑ = + +. . . + +. . . + = = =1

=1

FREQUENZA CUMULATA ASSOLUTA: somma di tutte le frequenze assolute associate alle modalità di

che presentano modalità inferiore o uguale ad (al più ad )

= ∑ , = ∑ = =

1 1

=1 =1

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FREQUENZA CUMULATA RELATIVA: frequenza cumulata assoluta rapportata alla numerosità della

popolazione e indica la frazione (quota, proporzione) di unità statistiche nella popolazione che presentano

modalità inferiore o uguale ad (al più ad )

= = ∑ , = ∑ = 1 =

1 1

=1 =1

FREQUENZA RETROCUMULATA ASSOLUTA: somma di tutte le frequenze assolute associate alle modalità

di superiori o uguali (nell’ordinamento crescente) alla modalità

= ∑ , = =

1

=1

FREQUENZA RETROCUMULATA RELATIVA: si ottiene dividendo la frequenza retrocumulata assoluta per la

numerosità totale della popolazione. La frequenza retrocumulata relativa associata alla modalità di

(carattere con scala almeno ordinale) indica la frazione (quota, proporzione) di unità statistiche nella

popolazione che presentano modalità superiore o uguale ad (almeno uguale ad )

1

= ∑ , = = = =1

=

Le frequenze cumulate e retrocumulate si possono calcolare anche per caratteri quantitativi che sono

caratterizzati da scale di misurazione più alte nella gerarchia.

Se il carattere quantitativo ha le modalità in classi ci vuole cautela nell’interpretazione:

- Per le frequenze cumulate si fa riferimento all’estremo superiore della classe di modalità

- Per le frequenze retrocumulate si fa riferimento all’estremo inferiore della classe di modalità

FREQUENZA SPECIFICA

presupposto: dati raggruppati in classi

=

È un rapporto di densità indicante la frequenza che spetta:

- Ad una modalità della classe, nel caso di caratteri discreti

= − + 1

+1 1

- Ad un intervallo unitario della classe in caso di caratteri continui

= −

+1 1

Misura l’andamento delle frequenze ed è utile per valutare come varia l’addensamento al variare delle

classi. Per confrontare l’addensamento di due classi di distribuzione non è possibile impiegare le frequenze

assolute delle due classi perché il loro valore dipende anche dall’ampiezza delle classi che può essere

differente. Le frequenze specifiche, invece, sono confrontabili perché sono frequenze che fanno riferimento

ad una modalità o ad un intervallo unitario. 9

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE DI DISTRIBUZIONI DI FREQUENZE DI CARATTERI QUANTITATIVI

Limitiamo l’attenzione alle sole frequenze assolute e relative, distinguendo i caratteri discreti da quelli

continui.

- CARATTERI DISCRETI

o La rappresentazione grafica delle frequenze assolute della distribuzione di frequenza

{( , = 1,2, . . . , }

); si ottiene riportando in ascissa i valori ed in corrispondenza di

essi si tracciano delle