Appunti di Statistica I

Appunti di statistica I

Indice

• Capitolo 1 – Introduzione
• Capitolo 2 – Partizioni della statistica
• Capitolo 3 – Statistica descrittiva
• Capitolo 4 – Rapporti statistici
• Capitolo 5 – Statistica descrittiva univariata
• Capitolo 6 – Interpolazione
• Capitolo 7 – Statistica descrittiva bivariata

Capitolo 1 – Introduzione

Statistica: insieme di dati relativi ad uno o più fenomeni. Il termine indica anche la disciplina che predispone (studia) i metodi per l’esame dei fenomeni della natura (i fenomeni devono presentarsi in forma diversa).

Si ritiene che vocabolo statistica abbia radice della parola “Stato”. Intorno al 1600, in Germania, si descrivevano alcuni aspetti degli stati durante le lezioni tenute dal professore di diritto pubblico Ermanno Conring, mediante la descrizione dei fenomeni in forma sempre più quantitativa mediante l’uso di tabelle.

L’inglese John Graunt, attraverso i bollettini di mortalità e di natalità, è riuscito a mettere in evidenza con semplici elaborazioni alcune regolarità di notevole interesse demografico e sociale (novità: raggruppamenti in classi omogenee).

Un notevole impulso allo sviluppo della statistica è stato introdotto grazie al calcolo delle probabilità, introdotto in Francia da B. Pascal, che ha avuto il merito di introdurre le distribuzioni di probabilità utili a rappresentare fenomeni reali.

Un’ulteriore ondata di sviluppo è stata raggiunta con l’introduzione della rilevazione campionaria. Infine, l’inglese K. Pearson ha sviluppato molti metodi dell’inferenza statistica, ovvero dei metodi statistici per la generalizzazione di informazioni ricavate da piccoli gruppi. Le operazioni di statistica servono per valutare i fatti, tanto che la finalità delle ricerche è l’ampliamento delle conoscenze fine a sé stesso.

Capitolo 2 – Partizioni della statistica

Popolazione: insieme di unità statistiche (entità) che si intende esaminare.

Campione statistico: sottogruppo di unità statistiche della popolazione sulle quali è svolta l’analisi.

Statistica descrittiva: si occupa di descrivere con opportuni metodi (procedure) le caratteristiche più salienti dei fenomeni oggetto di indagine rilevabili sulle singole unità statistiche. Queste descrizioni sono processi di sintesi effettuati sui dati ricavabili dalle unità statistiche a disposizione.

Statistica induttiva (o inferenza statistica): predispone i metodi che permettono di estendere le sintesi campionarie a tutte le popolazioni di interesse. Questa tipologia di statistica serve a determinare la numerosità del campione, a scegliere le unità della popolazione che devono far parte del campione, a valutare il grado di attendibilità delle estensioni delle sintesi ecc. Questa parte della statistica impiega concetti legati al calcolo delle probabilità.

Capitolo 3 – Statistica descrittiva

La “descrizione” passa attraverso due fasi:

• Formazione dei dati statistici: raccolta di dati di fatto reali riguardanti i fenomeni da esaminare.
• Trattamento statistico-matematico dei dati: i dati vengono sintetizzati in grandezze che colgono gli aspetti più importanti dei fenomeni.

Per raccogliere i dati di fatto bisogna innanzitutto individuare la popolazione di interesse, ovvero le unità statistiche che la compongono. Dalle unità statistiche bisogna formare (ricavare) i dati statistici. {dato ≠ caso}

La formazione dei dati statistici passa attraverso quattro fasi:

I. Formazione dei casi statistici

• Dopo aver precisato la popolazione di interesse bisogna determinare i fenomeni (le caratteristiche, i caratteri) da rilevare. Da ora in poi i fenomeni verranno denominati caratteri.
• Dopo aver individuato i caratteri da considerare bisogna poi prevedere modalità con le quali gli stessi si possono presentare.
• La sostituzione di unità reali con caratteri e modalità prescelte permette di aggregare le unità aventi le stesse modalità.
• Nell’individuare la lista di modalità di un carattere bisogna fare in modo che le modalità siano tra loro incompatibili e che la lista sia esaustiva.
• I caratteri si dividono in due categorie:
  • Quantitativi: numeri che indicano il risultato di una misurazione con uno strumento o il risultato di un conteggio. Sono di due tipi:
    • Discreti: caratterizzati dal fatto che le modalità assumono un numero finito di valori (di solito un conteggio).
    • Continui: i valori assumibili sono ipoteticamente tutti quelli compresi in un intervallo.
  • Qualitativi: indicano categorie, attributi, ecc. e sono espressi in genere da vocaboli, da espressioni verbali ecc.
• Vi è poi la costruzione di scale di misurazioni dei caratteri con le quali si fissa la lista delle modalità di un carattere e si indicano i criteri di appartenenza alle stesse.

Tipo di carattere scala relazioni:

• Qualitativo nominale =, ≠
• Ordinale >, <
• Quantitativo di intervalli -
• Di rapporti /

Nominale: possibile affermare se due unità statistiche posseggono o meno la stessa modalità.
Ordinale: fra le modalità si può instaurare la relazione di maggiore o minore.
Di intervalli: posso eseguire e interpretare la differenza (operazione algebrica).
Di rapporti: posso eseguire ed interpretare il rapporto algebrico.

II. Rilevazione dei casi statistici

Rilevazione e annotazione, per ciascuna unità statistica, la modalità presente per ciascun carattere considerato. La rilevazione può riguardare l’osservazione di fatti esistenti. Vengono impiegati prospetti e questionari che forniscono matrici di dati (ovvero un insieme ordinato di tutte le informazioni raccolte).

III. Spoglio dei casi rilevati

I casi statistici rilevati e riportati nella matrice dei dati non sono idonei per dare una visione d’insieme dell’importanza delle singole modalità di un carattere o delle coppie di modalità di due caratteri o delle triplette di modalità.

Bisogna riunire i casi simili attraverso lo spoglio dei casi rilevati. In questa operazione si formano le frequenze assolute (spiegate successivamente).

IV. Preparazioni di dati e tabelle statistiche

È essenziale che la tabella abbia una intestazione e che indichi la popolazione di riferimento e il carattere esaminato. Dal prospetto dello spoglio congiunto di due caratteri si ricava una tabella a doppia entrata.

Distribuzione di frequenza: successione delle modalità di un carattere e delle corrispettive frequenze riscontrate in una popolazione. Assume diverse forme se si parla di caratteri qualitativi e quantitativi:

• Mutabile statistica se si riferisce a un carattere qualitativo.
• Variabile statistica se si riferisce a un carattere quantitativo; se il carattere quantitativo è continuo i dati, se numerosi, vengono raggruppati in classi. Le classi diventano così le modalità del carattere.

Ampiezza (di una classe di un carattere continuo) = –
Ampiezza (di una classe di un carattere quantitativo discreto) = – + 1

Bisogna tener presente che nel predisporre le classi se si aumenta l’ampiezza si perdono informazioni e viceversa.

Distribuzioni di quantità: può essere utile ripartire tra le modalità di un carattere non la frequenza totale ma una quantità totale.

Serie storiche: successione dell’ammontare di un fenomeno quantitativo in corrispondenza alle modalità del tempo.

Serie territoriali: successione di un fenomeno quantitativo in corrispondenza di divisioni territoriali.

La statistica si occupa di confrontare i dati raccolti.

• Statistica univariata: descrizione degli aspetti più importanti di un solo carattere.
• Statistica multivariata: analisi contemporanea di più caratteri, al fine di mettere in evidenza eventuali relazioni esistenti tra gli stessi.
• Confronto tra grandezze omogenee: variazione sistematica di una sola circostanza.
• Confronto tra grandezze eterogenee: le intensità o frequenze di fenomeni diversi sono confrontabili se sono riconducibili ad un unico genere oppure sono nel rapporto di genere a specie e purché nessun’altra circostanza vari sistematicamente.

Capitolo 4 – I rapporti statistici

Sono un quoziente di due dati di cui almeno di natura statistica. Ovvero quanta parte del numeratore spetta idealmente a ciascuna unità della grandezza del denominatore del rapporto.

• Rapporti di composizione (sono compresi tra 0 e 1).
• Rapporti di densità (). Con questi rapporti si elimina l'influenza esercitata dal denominatore sulla grandezza al numeratore, e quindi si rendono confrontabili dati che rimarrebbero eterogenei.
• Rapporti di derivazione,. Il valore ottenuto indica quanta parte del numeratore spetta ad una unità del denominatore. Si ritiene che la popolazione di un certo territorio sia la causa da cui derivano molti fenomeni. Si hanno così rapporti di derivazione che hanno al denominatore il numero di abitanti.
• Rapporti di coesistenza: rapporto di due dati statistici coesistenti per i quali si ritiene debba mantenersi una certa proporzione che varia da caso a caso.
• Numeri indici (solo per serie storiche e territoriali), , ..., , .... Presupposto: il fenomeno quantitativo assume valori rispettivamente in0 1 , , ..., , ..., corrispondenza dei tempi 0 1.
  • Variazione assoluta di da a, con si intende la differenza –.
  • Variazione relativa di da a, con si intende il rapporto = – 1. Numeri indici: =. spesso vengono moltiplicati per 100 e si ottengono i numeri indici percentuali. Sono numeri puri. Variazioni percentuali: ⋅ 100 = ⋅ 100 – 100. .
  • Numeri indici a base fissa =.0 0 servono per valutare le variazioni rispetto ad un anno (anno base) che rimane fisso.
  • Numeri indici a base mobile =.-1 -1 Servono per valutare le variazioni relative di un anno rispetto all’anno precedente.
  • Relazioni tra numeri indici a base fissa e base mobile – 1 1 2 = = ⋅ ⋅ ...⋅ ⋅.0 0 0 0 – 2 – 17

Capitolo 5 – Statistica descrittiva univariata

Le frequenze

Frequenza assoluta: numero di unità statistiche che possiedono una certa modalità (forniscono l’informazione della rilevanza di tale modalità nella popolazione) = + + + ... + = ∑ =1 La somma delle frequenze è uguale al numero complessivo delle unità osservate. Tale somma è denominata ampiezza della popolazione.

Frequenza relativa: rapporto tra la frequenza assoluta di una modalità e la sua frequenza totale = - Dà informazioni sull’importanza relativa delle diverse modalità del carattere. È un rapporto di composizione. Spesso le frequenze relative si moltiplicano per 100 ottenendo le frequenze relative percentuali = ⋅ 100 ∑ = 100=10 ≤ ≤ 100

Proprietà:

• La frequenza relativa è un numero compreso tra 0 e 1 =, = 1, ..., DIMOSTRAZIONE: ≥ 0 → > 0 → ≥ 0 ≤ N → ≤ 1 0 ≤ ≤ 1
• La somma delle frequenze relative associate alle k modalità esaustive e incompatibili del carattere A è pari a 1 ∑ = 1=1 DIMOSTRAZIONE: + + ... + + ... + 1 2 1 2 ∑ = + + ... + + ... + = = =1 =1

Frequenza cumulata assoluta: somma di tutte le frequenze assolute associate alle modalità di che presentano modalità inferiore o uguale ad (al più ad) = ∑ , = ∑ = 1=1 =

Frequenza cumulata relativa: frequenza cumulata assoluta rapportata alla numerosità della popolazione e indica la frazione (quota, proporzione) di unità statistiche nella popolazione che presentano modalità inferiore o uguale ad (al più ad) = = ∑ , = ∑ = 1 =1 =1

Frequenza retrocumulata assoluta: somma di tutte le frequenze assolute associate alle modalità di superiori o uguali (nell’ordinamento crescente) alla modalità = ∑ , = = 1=1

Frequenza retrocumulata relativa: si ottiene dividendo la frequenza retrocumulata assoluta per la numerosità totale della popolazione. La frequenza retrocumulata relativa associata alla modalità di (carattere con scala almeno ordinale) indica la frazione (quota, proporzione) di unità statistiche nella popolazione che presentano modalità superiore o uguale ad (almeno uguale ad) 1 = ∑ , = = = =1 =

Le frequenze cumulate e retrocumulate si possono calcolare anche per caratteri quantitativi che sono caratterizzati da scale di misurazione più alte nella gerarchia.

Se il carattere quantitativo ha le modalità in classi ci vuole cautela nell’interpretazione:

• Per le frequenze cumulate si fa riferimento all’estremo superiore della classe di modalità.
• Per le frequenze retrocumulate si fa riferimento all’estremo inferiore della classe di modalità.

Frequenza specifica presupposto: dati raggruppati in classi = È un rapporto di densità indicante la frequenza che spetta:

• Ad una modalità della classe, nel caso di caratteri discreti = – + 1 +1 1
• Ad un intervallo unitario della classe in caso di caratteri continui = – +1 1

Misura l’andamento delle frequenze ed è utile per valutare come varia l’addensamento al variare delle classi. Per confrontare l’addensamento di due classi di distribuzione non è possibile impiegare le frequenze assolute delle due classi perché il loro valore dipende anche dall’ampiezza delle classi che può essere differente. Le frequenze specifiche, invece, sono confrontabili perché sono frequenze che fanno riferimento ad una modalità o ad un intervallo unitario.

Rappresentazioni grafiche di distribuzioni di frequenze di caratteri quantitativi

Limitiamo l’attenzione alle sole frequenze assolute e relative, distinguendo i caratteri discreti da quelli continui.

• Caratteri discreti
  • La rappresentazione grafica delle frequenze assolute della distribuzione di frequenza {(, = 1,2, ..., )}; si ottiene riportando in ascissa i valori ed in corrispondenza di essi si tracciano delle ordinate con lunghezza proporzionale alle frequenze assolute.
  • Il grafico delle frequenze relative, invece, si ottiene ponendo in ordinata le frequenze () relative.
  • Nel caso di dati raggruppati in classi, la rappresentazione grafica delle frequenze assolute avviene ponendo in corrispondenza di ciascuna modalità di una stessa classe delle ordinate con lunghezza proporzionale alle frequenze specifiche.