Appunti di Meccanica Aerospaziale

Dipartimento di Scienze e Tecnologie Aerospaziali

Dispensa di Meccanica Aerospaziale con esercizi

(AA 2021-2022)

Autore:

Moscagiuri Pietro

Dispensa basata sul corso tenuto dal prof. Lorenzo Valdettaro

Moscagiuri Pietro Meccanica Aerospaziale

Indice

1 Cinematica del punto 4

1.1 Moto in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Cinematica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Il teorema di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Il teorema di Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 I vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 La condizione di rotolamento puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2 Rotolamento puro rispetto ad una guida mobile . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3 Biella - Manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.4 Sistema ipervincolato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.5 Vincolo di contatto con strisciamento su guida fissa . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.6 Piolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.7 Fili insetensibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Esercizi pt.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Dinamica 23

2.1 Le leggi di Newton o principi della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 (1) Sistemi di riferimento inerziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.2 (2) La legge fondamentale della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3 (3) Principio di azione e reazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 La prima equazione cardinale: la legge di moto del centro di massa . . . . . . . . 23

2.2.1 Formula distributiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.2 Proprietà di simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 La seconda equazione cardinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.1 Formula del trasporto (momenti) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.2 Le coppie di forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.3 Formula del trasporto (momenti q. di moto) . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.4 Dimostrazione seconda equazione cardinale della dinamica . . . . . . . . . 28

2.3.5 Calcolo di Γ per un corpo rigido 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

0

2.3.6 Alcuni momenti di inerzia notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.7 Formula di Huygens - Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.8 Recap nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.1 Attrito statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.2 Attrito dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.3 Vincoli perfetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.4 Diagramma di corpo libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.5 Fili inestendibili e di massa trascurabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5 Teorema dell’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5.1 Energia cinetica di un corpo rigido piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5.2 Teorema di Konig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1

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2.5.3 Potenza delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5.4 Potenza di una coppia di forze applicata ad un corpo rigido piano . . . . . 40

2.5.5 Teorema dell’energia cinetica in forma integrale . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5.6 Coppia costante applicata ad un corpo rigido piano . . . . . . . . . . . . . 43

2.5.7 Riduzione dei sistemi di forze applicate ad un corpo rigido . . . . . . . . . 44

2.6 Meccanica analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.6.1 I vincoli perfetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.6.2 Vincoli perfetti, bilateri, olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.6.3 Forze conservative e posizionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.6.4 Equazioni di Lagrange per sistemi olonomi con vincoli bilateri perfetti . . . 51

2.6.5 Momento cinetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.6.6 Equazione di Lagrange in I forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.6.7 La funzione di Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.6.8 Sistema con vincoli olonomi, bilateri, perfetti, forze conservative . . . . . . 59

2.6.9 Teorema di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.6.10 I Moti centrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.6.11 La velocità Areolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3 Problema dei due corpi 63

3.1 Forza gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2 Formula di Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3 Le leggi di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4 Fionda gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4 Moto tridimensionale del corpo rigido 74

4.1 Le coordinate nelle tre dimensioni e la matrice Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2 Atto di moto rototraslatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.3 Le formule di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.4 Composizione di rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.5 Gli angoli di Cardano o di Tait-Bryan (schema Z-Y-X) . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.5.1 Imbardata (yaw) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.5.2 Beccheggio (Pitch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.6 Rollio (roll) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.6.1 Composizione degli atti di moto rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.6.2 Teorema di Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.7 Velocità angolari mediante angoli di Cardano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.7.1 Moto di precessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.8 Velocità angolari tramite angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.9 Calcolo del momento delle quantità di moto per un corpo rigido 3D in rotazione . 91

4.9.1 Formula di Huygens-Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.9.2 Sistema di riferimento principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.9.3 Simmetria rispetto al piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.9.4 Simmetria rispetto ad un asse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.9.5 Simmetria materiale sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.9.6 Corpo rigido piano: disco omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

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4.9.7 RECAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.10 Energia cinetica di un corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.11 Equazioni di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.12 Rotazioni permanenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.12.1 Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.12.2 Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.12.3 Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.13 Studio della stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.14 Fenomeni giroscopici semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.15 Coni di Poinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5 Stabilità dall’equilibrio 112

5.1 Configurazioni di equilibrio di un sistema meccanico con vincoli ideali . . . . . . . 112

5.2 Stabilità secondo Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3 Sistema meccanico olonomo soggetto a vincoli perfetti e forze attive conservative . 113

6 Temi d’esame 114

6.1 15/02/2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.2 28/09/2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

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1 Cinematica del punto

Come anticipato la cinematica si propone lo studio del moto a prescindere dalle cause fisiche del

moto stesso. P è un punto qualunque del rigido e t indica il tempo. In realtà nella cinematica t

può essere un qualunque parametro atto ad individuare la posizione del generico punto P , ma, in

vista delle applicazioni alla dinamica, possiamo tranquillamente identificarlo con il tempo fisico.

Se la posizione di P cambia nel tempo, il suo moto si intende completamente assegnato quando

sia nota la seguente funzione vettoriale

−

(P 0) = P (t) = (x(t), y(t), z(t))

= x(t)i + y(t)j + z(t)k

x(t), y(t), z(t) prendono il nome di Equazioni definite di moto.

ˆ Si dice traiettoria del punto P la linea che il punto percorre durante il moto.

ˆ →

Si dice curva oraria del punto P la funzione t S(t), dove S è la lunghezza dell’arco di

traiettria in cui gli estremi sono un punto P = P (t ) prefissato e il punto P = P (t)

0 0

Figura 1: Rappresentazione della curva oraria

La curva oraria fornisce lo spazio percorso dal pun to P per giungere nella posizione corrente

a partire da P 0

Sappiamo già che il vettore velocità è dato dallo spostamento derivato sul tempo, dunque:

−

P (t + ∆t) P (t)

v (t, ∆t) =

m ∆t

Il valore v è detto velocità media nell’intervallo (t, ∆t). La velocità media fornisce la misura

m

della rapidità con la quale il punto P è passato da una posizione all’ altra ma non da alcuna

informazione sul moto negli istanti intermedi.

Dimimnuendo la dimensione degli intervalli si giunge alla definizione di velocità istantanea:

dP dx dy dz

v = = , ,

dt dt dt dt

= (

ẋ, ẏ, ż) = ẋi + ẏj + żk

v = ẋ v = ẏ v = ż

x y z

Pere definizione il vettore v(t) risulta tangente alla traiettoria

4

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La velocità è esprimibile anche mediante la curva oraria:

dP dP ds dP

· →

v = = = ṡ P (s(t))

dt ds dt ds

Poiché la posizione è ottenibile dalle coordinate, si può tranquillamente dire che dP = (dx, dy),

2 2 2 2

dunque si può approssimare per piccoli spostamenti: dP = ds = dx + dy . Se ṡ = costante,

sighifica che il moto è uniforme.

Il vettore accelerazione è esprimibile nel seguente modo:

dv

a(t) = dt

2

d P

= 2

dt

2 2 2

d x d y d z

= i + j + k

2 2 2

dt dt dt

= ẍi + ÿj + z̈k

Sfruttando la definizione di velocità data dalla curva oraria, si può ottenere anche l’accelerazione:

dv d dP d

a = = ṡ = τ̂ ṡ

dt dt ds dt

dτ̂ dτ̂ dτ̂ ds

·

= ṡ + τ̂ s̈ Poiché =

dt dt ds dt

dτ̂ 2

ṡ + τ̂ s̈

= ds

Dove τ̂ rappresenta un versore perpendicolare a n̂, ossia tangente alla traiettoria.

dτ̂ ⊥ τ̂ e dimostrarla come:

È possibile esprimere la seguente uguaglianza ds

d ·

(τ̂ τ̂ ) = 0

ds

d d

τ̂ τ̂ + τ̂ (τ̂ ) = 0

ds ds

dτ̂ dτ̂

· → ⊥

2τ̂ =0 τ̂

ds ds

A questo punto è possibile analizzare singolarmente le due componenti che definiscono l’accelera-

zione. Per farlo occorre introdurre il raggio di curvatura ρ

dτ̂ n̂

=

ds ρ

n̂ è il versore su cui passa r in figura, mentre τ̂ è prependicolare al cerchio nel punto sotto analisi.

L’obiettivo ora è quello di trovare la relazione dalla quale abbiammo definito il raggio di curvatura

e per farlo sfrutteremo il prodotto vettoriale. 5

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Figura 2: Rappresentazione del raggio di curvatura

Per prima cosa si va a definire dα:

|τ̂ × |τ̂ · |τ̂

(s + ds) τ̂ (s)| = (s + ds)| (s)|| sin dα|

| ' |dα|

= sin dα|

|dα|

Dove rappresenta l’incremento di angolo nella circonferenza alla quale appartiene la

curvatura.

Il secondo passo è definire il prodotto vettoriale tra i vettori tangenti alla traiettoria nell’istante

t e l’istante t + dt dτ̂ ×

|τ̂ ds] τ̂ (s)| incremento ottenuto dallo sviluppo di taylor

(s) +

ds

dτ̂

| ×

× τ̂ (s)ds|

τ̂ (s) τ̂ (s) +

ds

dτ̂

| × τ̂ (s)ds|

ds dτ̂

dτ̂ × | ||ds|

|τ̂ | |[τ̂ ds] τ̂ (s)| =

Poiché = 1, si ottiene (s) + ds ds dτ̂

Facendpo un uguaglianza tra la prima opereazione e la seconda: ds = dα si ottengono:

ds

ds

→

ds = ρdα = ρ

dα

Figura 3: Disegno di riferimento

6

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Si può scrivere nuovamente la definizione di accelerazione nel seguente modo:

2

ṡ n̂

a = s̈τ̂ + ρ

Dove il primo termine indica l’accelerazione tangente alla traiettoria mentre il secondo l’accelera-

zione normale a questa.

1.1 Moto in coordinate polari

Il moto può essere descritto anche in quest’altra maniera, in mdo tale da evidenziare e renderne

fruibili altre caratteristiche. iθ

−

(P 0) = (x, y) = x + iy = re

iθ

e = cos θ + i sin θ = (cos θ, sin θ) = r̂

−

(P 0) = (r cos θ + r sin θ)

iθ −

ie = i(cos θ + i sin θ) = sin θ + i cos θ = θ̂

Come è stato fatto per le coordinate cartesiane è possibile dare

una definizione alla velocità basandosi sulle derivate: Figura 4: Termini di defini-

d d d zione delle coordinate polari

iθ iθ iθ

−

v = (P 0) = (re ) = ṙe + r e

p dt dt dt

iθ iθ

= ṙe + rθ̇ie

= ṙr̂ + rθ̇ θ̂

Come è stato fatto per la velocità è possibile compiere lo stesso procedimento per quanto riguarda

l’accelerazione: dv

p iθ iθ iθ iθ 2 iθ

−

a = = r̈e + ṙiθ̇e + iṙ θ̇e + irθ̈e rθ̇ e

p dt iθ iθ iθ iθ

−

= r̈e + 2 θ̇ie + rθ̈ie rθ̇e

2 iθ iθ

−

= (r̈ rθ̇ )e + (2 ṙ θ̈ + rθ̈)ie

2

−

= ( r̈ rθ̇ )r̂ + ( 2

ṙ θ̈ + θ̈ )

θ̂

centripeta

radiale Coriolis tangenziale

Un moto rotatorio può dunque essere espresso come:

ṙ = r̈ = 0

2

−rθ̇

a = r̂ + rθ̈ θ̂

7

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1.2 Cinematica del corpo rigido

Si consideri un corpo rigido nel quale sono identificabili due punti distinti A e B costanti nel

tempo (∀A, B AB è costante).

Oltre a ciò, considerando un terzo punto C si imponga che l’angolo formato da questi tre

punti rimanga costante nel tempo.

A questo punto si può introdurre la formula del moto rototraslatorio

× −

v = v + ω (B A)

b a

Questa formula è dimostrabile nel seguente modo:

Dal momento che: −

B A = (AB cos θ, AB sin θ)

Facendo la derivata di questa espressione si ottiene:

−

V V = (−AB θ̇ sin θ, AB θ̇ cos θ)

b a ˙

Allo stesso modo si può definire la velocità radiale definita come ω = theta

k̂

Scrivendo × − × −

ω (B A) = ω̇ k̂ (AB cos θî + AB sin θĵ) = AB θ̇ cos θĵ AB θ̇ sin θî

Scrittura che equivale alla precedente, dunque:

− × − → × −

v v = ω (B A) v = v + ω (B A)

b a b a

Si tratta di una formula fondamentale per questo corso e da questa sono identificabili diverse

configurazioni di spostamento:

ˆ ∀

Moto puramente traslatorio: Si ha quando ω = 0 V = V A, B

b a

Ossia quando tutti i punti hanno la medesima velocità. Si dimostra sfruttando la formula

del moto roto-traslatorio e ponendo ω = 0

ˆ ∃c

Moto puramente rotatorio: Si manifesta quando : v = 0

c

Ossia quando avviene una rotazione del corpo rigido attorno ad un punto fisso c.

ˆ Moto roto-traslatorio: Consiste nella combinazione di questi due moti e generalmente e

corrisponde al rotolamento (con o senza strisciamento)

Ogni atto di moto rigido può essere scritto in infiniti modi come somma di un atto

di moto tralatorio ed un atto di moto rotatorio

Dalle proprietà appena mostrate derivano i seguenti problemi:

8

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1.2.1 Il teorema di Eulero

Il teorema di Eulero dice che ogni atto di moto rigido piano non traslatorio è rotatorio

0

Dimostrazione Supponiamo un atto di moto rigido caratterizzato dalla velocità v di un punto O

0

e dalla velocità angolare ω = 0 (per ipotesi).

∃c

Se : v = 0 allora l’atto di moto è rotatorio dunque la velocità di ogni punot P può essere

c

scritta come: × −

v =