Appunti di Elettrotecnica I

R AB

C’è un’equivalenza tra le caratteristiche dei generatori reali di corrente e

tensione. I due circuiti cono equivalenti se: R = R .

J E

Se vogliamo sapere come si comporta il generatore all’interno di un circuito

basta inserire un bipolo tra i morsetti A e B. Se, ad esempio, inseriamo un

resistore la corrente può circolare perché abbiamo un percorso chiuso.

Anche in questo caso possiamo analizzare il circuito sia da un punto di vista

analitico che grafico.

Graficamente troviamo il punto di intersezione tra le due rette che

rappresenterà il punto di lavoro del generatore reale di tensione che

corrisponde al punto di lavoro del circuito.

Questo approccio

può essere molto utile quando ci troviamo di fronte a bipoli non lineari.

Un esempio potrebbe essere un diodo: è formato da due morsetti che si

anodo catodo.

chiamano e

Un diodo è formato da blocchetti di silicio che

portano rispettivamente ad avere eccedenza di

cariche positive e negative. Se c’è una differenza

di potenziale positiva rispetto questo riferimento,

lo spostamento di cariche è facilitato e ci troviamo

diodo direttamente polarizzato;

di fronte ad un se

invece è negativa, il flusso è ostacolato e ci

polarizzazione inversa.

troviamo di fronte ad una

Dunque un diodo può trasformarsi sia in un

conduttore che in un isolante.

Diodo: bipolo non lineare, non simmetrico, tempo invariante, controllato in

tensione ed in corrente.

Diodo ideale: bipolo non lineare, non simmetrico, tempo invariante, controllato

in tensione ed in corrente.

Per valutare la caratteristica di un diodo è necessario conoscere il verso della

tensione perché ha un comportamento non simmetrico.

Un diodo può essere associato ad un interruttore se la tensione è abbastanza

piccolo da comportarsi quasi come un corto circuito, oppure il valore della

corrente è abbastanza piccolo da comportarsi quasi come un circuito aperto.

Arrivati a questo punto è giusto specificare che quando ci troviamo ad

analizzare circuiti in cui sono presenti bipoli non lineari, la soluzione più

semplice è quella per via grafica, perché procedendo per via analitica

sicuramente ci saranno delle equazioni non lineari.

Voglio conoscere il punto di lavoro:

- imaginando che R = 0, allora il generatore sarebbe direttmente collegato

al diodo e la caratteristica sarebbe quella di un generatore ideale di

tensione. (abbiamo una soluzione)

- Se però la tensione, nel caso appena descritto, fosse negativa, non ci

sarebbero intersezioni e quindi nessun punto di lavoro (situazione che

non si verifica quando abbiamo due o più bipoli lineari).

- Se R è diverso da 0, possono esserci più soluzioni e quindi più punti di

lavoro. È il caso di un generatore reale di tensione.

Esempio di risoluzione di un circuito:

Un circuito costituito da generatori indipendenti (di tensione o corrente) e

resistori lineari è lineare. Pertanto, può essere risolto adoperando il principio di

sovrapposizione degli effetti. Analizzo la corrente generata da E e

quella generata da J separatamente. Per

farlo, analizzo il circuito prima come se al

posto di J ci fosse un circuito aperto, poi

come se al posto del generatore di

tensione ci fosse un corto circuito.

Attraverso il partitore di corrente posso calcolare le varie correnti generate da

E.

Attraverso il partitore di corrente posso calcolare le correnti generate da J che

interessano i vari bipoli del circuito.

Teoremi dei generatori equivalenti

Consideriamo il circuito N composto da una parte N , contenente generatori

L

indipendenti e resistori lineari e da una parte N in generale non lineare.

N

Il circuito comunque complesso N , visto dai morsetti A-B, può essere

L

rappresentato come un bipolo: ci proponiamo di calcolarne la caratteristica i-v.

Noi vogliamo sapere come si comporta la parte lineare dove ci sono bipoli che

hanno una caratteristica normale.

Analizzo da due punti di vista il circuito: prima inserisco un generatore ideale di

corrente che chiamo I e gli assegno un valore ignorando i generatori interni,

test poi lascio agire solo i generatori

interni.

Data la linearità del circuito è

consentito usare la

sovrapposizione degli effetti.

Nel primo circuito agisce il solo

generatore «esterno» I, mentre

quelli «interni» sono spenti (diventano corto circuiti e circuiti aperti). Nel

secondo circuito agiscono solo i generatori «interni», mentre quello esterno è

spento (coincide con un circuito aperto).

Nel primo circuito il bipolo N' è costituito da soli resistori lineari,

L

corto circuiti e circuiti aperti; si avrà pertanto:

Per il secondo circuito, quando la corrente I

è nulla (generatore

esterno spento), ai morsetti A-B si misura una tensione dovuta ai generatori

interni (tensione a vuoto):

L’espressione: V = R I + E

eq 0

rappresenta la caratteristica equivalente vista i morsetti A-B del bipolo

generalizzato NL; essa coincide con quella di un generatore reale di f.e.m.

(detto generatore di Thèvenin).

Teorema del generatore equivalente di f.e.m. o di Thèvenin:

Un qualunque circuito, composto da generatori indipendenti e resistori lineari,

visto da una coppia di morsetti A-B risulta equivalente ad un bipolo generatore

reale di f.e.m.;

il generatore ideale eroga una tensione pari a quella misurata a vuoto ai

morsetti A-B e la resistenza equivalente è uguale a quella misurata fra A e B

quando siano stati spenti i generatori interni.

Teorema del generatore equivalente di corrente o di Norton:

Un qualunque circuito, composto da generatori indipendenti e resistori lineari,

visto da una coppia di morsetti A-B risulta equivalente ad un generatore reale

di corrente; il generatore

ideale eroga una corrente

pari a quella misurata in

corto circuito fra i morsetti

A-B e la resistenza

equivalente è uguale a

quella misurata fra A e B

quando siano stati spenti i

generatori interni.

Questo risultato si ottiene utilizzando la caratterizzazione in tensione di N .

L

D'altra parte, se R è diversa da zero, il generatore equivalente di Norton si

eq

può ottenere da quello di Thèvenin considerando l'equivalenza fra generatori

reali di tensione e corrente.

I grafi

I grafi sono strutture astratte costituite dall’insieme di

nodi e di lati, collegati tra di loro con lo stesso criterio

utilizzato nel circuito.

Definizione:

Un grafo G(N,L) è l'insieme dei nodi N (1,2, ..., n), dei lati L (1,2, ..., b) e la

relazione (di incidenza) che ad ogni lato associa la coppia di nodi in cui incide.

La relazione di incidenza può essere data per via grafica o per via matematica

(matrice di incidenza).

matrice di incidenza

La A descrive come i lati sono collegati tra i vari nodi.

i

Rappresenta una forma alternativa di esprimere la LKC a tutti i nodi del circuito.

Proprietà della matrice di incidenza:

- La somme degli elementi per colonna è zero: ogni lato entra ed esce da

un nodo.

- La matrice di incidenza A non è a rango massimo: le equazioni che

i

descrivono le LKC non sono tutte indipendenti.

matrice di incidenza ridotta

- Si introduce la eliminando la riga

corrispondente al nodo

n-esimo.

La LKC ai nodi indipendenti si può pertanto esprimere in forma compatta come:

� �

� =

Una qualsiasi parte G (N ,L ) del grafo con

k k k

N <=N, L <=L si chiama sottografo di

k k

G(N,L). Un grafo si dice connesso se ogni

nodo è collegato a qualsiasi altro

nodo attraverso uno o più lati.

Una maglia di G è un sottografo connesso in cui in ogni nodo incidono due e

solo due lati.

Un albero di G è un suo sottografo

connesso costituito da tutti i nodi di G e

che non contiene maglie. Un coalbero di G è il sottografo

complementare ad un dato albero;

esso è costituito da tutti i lati del

grafo non appartenenti all'albero. Per

ogni albero A esiste un solo coalbero

CA corrispondente.

Proprietà fondamentale dell'albero: un albero di un grafo orientato avente

 n n-1 lati.

nodi è costituito da

Proprietà fondamentale del coalbero: un coalbero di un grafo orientato

 b b-(n-1) lati.

avente n nodi e lati è costituito da

Una maglia ottenuta aggiungendo all'albero un qualsiasi lato del coalbero

 una maglia fondamentale.

ed eliminando gli eventuali lati appesi forma

Ogni lato di coalbero appartiene e definisce una ed una sola maglia

fondamentale.

Un grafo orientato (circuito) contiene b-(n-1) maglie fondamentali (MF).

Poiché una maglia fondamentale contiene un lato in esclusiva, quello

le LKT scritte per tali maglie costituiscono un

appartenente al coalbero,

sistema linearmente indipendente.

Gli anelli di un circuito costituiscono un sistema di maglie fondamentali.



Potenza ed energia

Nel circuito elettrico il generatore compie un lavoro sulle cariche facendo

variare la loro energia potenziale.

Per tener conto degli scambi energetici tra bipoli si considera una grandezza

detta potenza elettrica.

La potenza rappresenta il lavoro (l’energia) scambiato

nell’unità di tempo:

Nel Sistema Internazionale la potenza si misura in Watt. Sono anche adoperati,

in relazione alle applicazioni, multipli e sottomultipli.

La potenza consente di distinguere la velocità (il tasso) con cui l’energia viene

trasformata da forma elettrica in altra forma.

La potenza consente di valutare gli scambi energetici che avvengono fra i vari

componenti di un circuito.

Si definisce potenza elettrica assorbita dal bipolo il

prodotto: assorbita

L’attributo si riferisce al fatto che essa è valutata misurando tensione

e corrente con la convenzione dell’utilizzatore.

Si definisce potenza elettrica generata dal bipolo il

prodotto: generata

L'attributo si riferisce al fatto che essa è valutata misurando tensione

e corrente con la convenzione del generatore.

è immediato verificare che per ogni bipolo:

Energia assorbita e generata

Si definisce:

energia elettrica assorbita dal

 bipolo:

energia elettrica generata dal

 bipolo:

Risulta che:

L'unità di misura dell’energia è il Joule.

Un'unità adoperata nella misura dell'energia nella distribuzione dell'energia

1kWh = 3600kJ

elettrica è il kilowattora:

Bipoli passivi e attivi

Si definisce:

- bipolo attivo un bipolo che non è passivo.

l'energia assorb