Appunti di Elettrotecnica I

Corso di laurea in ingegneria elettronica

Elettrotecnica

Prof. Vincenzo Tucci

Proprietà della materia: la carica elettrica

La carica elettrica è una caratteristica intrinseca delle particelle fondamentali (atomi) che costituiscono la materia. La carica si presenta sotto due specie:

• Carica positiva (+) associata ai protoni;
• Carica negativa (-) associata agli elettroni.

L'unità di misura della carica è il Coulomb (C). - q = - 1,6 × 10^-19 C. La più piccola quantità di carica è quella dell’elettrone:

La carica obbedisce a una legge di conservazione: la carica non può essere né generata, né distrutta, ma solo trasferita. La carica totale all’interno di una superficie chiusa rimane costante.

Proprietà dei materiali dell'elettrotecnica

La materia si distingue in 3 tipologie:

• Conduttori: sostanze nelle quali le cariche elettriche (elettroni e protoni) possono muoversi liberamente sotto l'azione di forze che agiscono su di esse (es.: metalli, soluzioni acquose).
• Semiconduttori: classe di materiali intermedia tra i conduttori e gli isolanti per le loro proprietà di condurre elettricità (es.: silicio, germanio). Le particelle hanno una limitata possibilità di movimento. Vengono spesso assimilati o a conduttori o a isolanti agendo dall’esterno, per questo sono molto usati.
• Isolanti (o dielettrici): materiali nei quali gli elettroni non sono liberi di spostarsi su distanze macroscopiche, ma sono vincolati agli atomi (es.: vetro, plastica, gomma, legno).

La proprietà che descrive la capacità della materia di essere sede di moto di cariche (fenomeno della conduzione) si chiama conducibilità elettrica. Il suo reciproco si chiama resistività.

σ conducibilità elettrica: propensione del materiale ad essere attraversato da una carica;

ρ resistività elettrica: opposizione del materiale al passaggio di cariche.

In molti sistemi fisici, per semplificare lo studio si fa riferimento a comportamenti ideali. Nello studio dei circuiti elettrici si considerano:

• Conduttori perfetti σ → ∞
• Isolanti perfetti ρ → ∞

Nello studio di un circuito elettrico siamo interessati a determinare due grandezze principali: corrente elettrica e tensione elettrica. Per descrivere il moto delle cariche si utilizza una grandezza chiamata corrente elettrica. Per descrivere il lavoro fatto per trasportare le cariche da una posizione ad un’altra si utilizza una grandezza chiamata tensione elettrica.

Corrente elettrica

Si definisce intensità di corrente elettrica, o semplicemente corrente, la quantità di carica “netta” Δq che attraversa la superficie orientata S nell’unità di tempo Δt:

La carica Δq può essere positiva o negativa.

Nei conduttori che costituiscono i circuiti la corrente è dovuta al solo moto degli elettroni. Il segno meno fuori parentesi è dovuto al fatto che la superficie è attraversata dalle cariche in senso contrario alla normale prescelta. Il segno meno all’interno della parentesi è dovuto alla carica negativa degli elettroni.

Se, in generale, ci sono cariche positive che si muovono in verso concorde alla normale a S e cariche negative che si muovono in verso discorde (ad esempio in una soluzione elettrolitica), la carica netta che si deve considerare ai fini della valutazione della corrente risulta essere la somma delle due specie di cariche.

Corrente e moto di cariche

In un conduttore un moto di cariche negative da destra a sinistra equivale ad uno di cariche positive da sinistra a destra. Anche se i portatori di carica sono gli elettroni caricati negativamente è comodo considerare la corrente dovuta ad un moto di cariche positive.

Nel Sistema Internazionale [SI] l’intensità di corrente si misura in Ampère [A]. Quando il moto delle cariche varia nel tempo, notiamo che c’è un forte legame tra l’intensità di corrente e la carica. Infatti, la funzione dell’intensità rispetto al tempo non è altro che la derivata prima della carica rispetto al tempo:

La carica che ha attraversato una superficie fino all’istante di tempo sarà data da:

Per valutare la corrente abbiamo bisogno di un riferimento, dato dal verso della normale della superficie. Il verso della normale alla superficie viene rappresentato con una freccia sovrapposta al conduttore.

Bisogna specificare il verso della corrente, non basta dirne il valore. Per verso non si intende quello di un vettore, infatti l’intensità di corrente è una grandezza scalare (cambia solo il segno).

i = - i_AB BA

Nello studio dei circuiti i conduttori vengono considerati filiformi: ci si può, cioè, disinteressare della reale sezione del conduttore.

Lavoro e tensione elettrica

Per muovere una carica elettrica q da un punto ad un altro di un conduttore è necessario effettuare un lavoro. In generale, il lavoro dipende dal percorso γ. In generale mi conviene conoscere il lavoro per ogni singola carica. A questo scopo viene introdotta una nuova grandezza che è la tensione.

Si definisce tensione elettrica v tra un punto iniziale (A) e un punto finale (B) lungo la linea orientata γ il rapporto tra il lavoro L fatto per spostare la carica q tra A e B e la carica stessa:

Nel Sistema Internazionale [SI] la tensione si misura in Volt [V].

Campo elettrico

Il rapporto tra la forza F agente sulla carica q e la carica stessa è un vettore che prende il nome di campo elettrico. Nel Sistema Internazionale il campo elettrico si misura in Volt/metro.

Il campo elettrico specifica quali sono le forze che agiscono in una specifica regione, svincolate dalla quantità di carica presente in essa. Il campo elettrico è conservativo. Considerati due percorsi (γ e γ’), se il lavoro è indipendente dal percorso, ma dipende solo dai punti A e B.

Quando il valore della tensione non dipende dalla linea orientata, ma solo dai punti A e B, essa si può esprimere come differenza tra il valore di una funzione, detta potenziale elettrico, in A e quello in B:

Dove Φ indica il potenziale elettrico (prima in A, poi in B). La funzione integranda è un differenziale esatto (il segno – è una convenzione):

Il campo elettrico si può quindi scrivere come il gradiente del potenziale elettrico invertito di segno. Ossia la derivata parziale del potenziale rispetto alla dimensione (ossia rispetto alla lunghezza):

Da tutto ciò possiamo dunque dedurre che la tensione elettrica dipende soltanto da A e B e non dall’intero percorso. Se la tensione tra due punti coincide con la differenza di potenziale: la variazione del potenziale su un percorso chiuso è sempre nulla.

Per esprimere senza ambiguità il valore di una tensione occorre indicare il punto di inizio e quello di fine della linea lungo la quale si calcola l’integrale. Bisogna fissare un riferimento per la misura della tensione.

Il riferimento per la misura della tensione viene rappresentato attraverso:

• Una freccia: la punta della freccia indica il punto di origine della curva.
• Segni + e -: il + indica il punto di origine della curva.

La tensione è una grandezza scalare: non ha un verso, ma ha un segno che dipende dal riferimento adottato.

Componenti

I circuiti elettrici sono formati da vari componenti. Un componente è un sistema, sede di fenomeni elettromagnetici, caratterizzato da:

• Una superficie limite che lo racchiude (l’involucro protettivo);
• N terminali o morsetti che consentono il collegamento con altri componenti.

Classificazione dei componenti:

Hanno forme e strutture diverse. Nel caso il numero di morsetti siano N si parla di N-poli, nel caso di componenti a due morsetti si parla di bipoli.

Bipoli

Al componente reale (batteria, resistore, ecc.) viene associato un “bipolo idealizzato”. Il bipolo idealizzato gode di due proprietà:

• La corrente entrante in un morsetto è sempre uguale a quella uscente dall'altro morsetto;
• La tensione fra i due morsetti è sempre esprimibile come differenza tra i potenziali dei due morsetti.

Esistono due convenzioni per la rappresentazione, specificare la convenzione utilizzata permette di trascurare il disegno di ulteriori specifiche.

• Convenzione dell'utilizzatore;
• Convenzione del generatore.

I circuiti

Un circuito elettrico è una interconnessione di componenti. Le interconnessioni sono realizzate con materiale conduttore perfetto; inoltre, si suppone che i conduttori siano quasi filiformi. Anche l’interconnessione tra soli due bipoli, come una batteria e una lampadina, è un circuito.

I componenti sono collegati in modo che possa esistere almeno un percorso chiuso all’interno del quale si possa stabilire un flusso di cariche (la corrente). Al circuito “fisico” si fa corrispondere una rappresentazione grafica, detta schema. Ad ogni componente corrisponde un simbolo. I conduttori di collegamento sono rappresentati da segmenti o archi.

Strumenti di misura

Gli strumenti per la misura della corrente e della tensione sono componenti “ideali” caratterizzati da:

• Due morsetti distinti (rosso e nero) a cui si collegano le due sonde di misura;
• Un sistema di visualizzazione della misura.

(Anche uno strumento di misura può quindi essere considerato un bipolo) L’amperometro. Lo strumento per la misura della corrente è l’amperometro. Il simbolo dell’amperometro è:

Il terminale con il + indica la sonda rossa. L’amperometro viene connesso “tagliando” il conduttore nella sezione in cui si intende effettuare la misura. Il risultato visualizzato sarà un numero positivo se effettivamente la corrente risulta entrante nel morsetto rosso, negativo in caso contrario.

Il voltmetro. Lo strumento per la misura della tensione è il voltmetro. Il simbolo del voltmetro è:

Il voltmetro viene connesso tra i due punti tra i quali si intende misurare la tensione. Il risultato visualizzato sarà un numero positivo se effettivamente la sonda rossa è sul punto verso il quale punta la freccia del riferimento della tensione, negativo in caso contrario.

Il voltmetro al bipolo è collegato in parallelo (quando la tensione è la stessa per i due bipoli), mentre l’amperometro è in serie (perché la corrente che interessa i due bipoli è la stessa).

Analisi di un circuito

Per analizzare un circuito dobbiamo considerare:

• Come sono stati collegati i componenti (topologia);
• Quali sono i componenti che costituiscono il circuito.

Le informazioni sulla topologia del circuito e sulle caratteristiche dei componenti vengono condensate in un sistema di equazioni (il modello matematico del circuito) che consente di calcolare le correnti e le tensioni di interesse.

Per passare a questo modello c’è bisogno di una rappresentazione grafica del circuito. Dobbiamo inoltre specificare come vogliamo identificare corrente e tensione (in questo caso è stata usata la convenzione dell’utilizzatore).

Modello circuitale

Il modello circuitale è formato da:

• LKC Leggi di Kirchhoff per le correnti;
• LKT Leggi di Kirchhoff per le tensioni;
• Relazioni caratteristiche (legami tra tensioni e correnti dei componenti).

Terminologia:

• Nodo: giunzione tra due o più terminali dei componenti. Due o più nodi uniti da un conduttore di collegamento possono essere assimilati ad un unico nodo.
• Pseudonodi: i nodi in cui confluiscono solo due bipoli sono considerati pseudonodi, perché la corrente entrante sarà sicuramente uguale a quella uscente.
• Maglia: percorso chiuso, che si svolge sui lati (i bipoli) del circuito, avente inizio e termine nello stesso nodo ed in cui due e solo due lati “incidono” in ciascun nodo. Un percorso chiuso non costituisce necessariamente una maglia.

La legge di Kirchhoff per le correnti - LKC (applicata ai nodi)

In ogni nodo la somma algebrica delle correnti è uguale a zero in ogni istante. Fissato ad arbitrio il riferimento per la corrente su ogni bipolo, si considerano con il segno + le correnti entranti nel (uscenti dal) nodo e con il segno – quelle uscenti (entranti).

In altre parole: la somma delle correnti entranti nel nodo è, in ogni istante, uguale alla somma delle correnti uscenti. (Ovviamente la somma delle intensità di corrente confluenti in un nodo non possono essere tutte positive, l’equazione è solo una legge.)

i₁ + i₂ + i₃ = i₄

Possiamo quindi riscrivere le due equazioni come: i₄ = i₁ + i₂ + i₃.

Il nodo può essere considerato anche come una superficie. In questo caso la somma delle correnti che entrano ed escono dalla superficie è uguale a 0. La LKC può quindi essere formulata anche per superfici che comprendono più nodi: tali superfici non devono però mai tagliare la superficie limite (l’involucro) dei bipoli.

Questa caratteristica non è altro che un ampliamento della legge di Kirchhoff per i nodi, sfruttato per semplificare i calcoli. La LKC è una conseguenza della legge di conservazione della carica. La carica totale all’interno di una superficie chiusa è costante. La somma delle correnti entranti in Σ deve in ogni istante essere uguale a quella delle correnti uscenti.

i₁ + i₂ = i₃

Legge di Kirchhoff per le tensioni – LKT (applicata alle maglie)

Per ogni maglia la somma algebrica delle tensioni è, in ogni istante, uguale a zero. Fissato un verso di percorrenza della maglia (ed il riferimento per la tensione su ogni bipolo), si considera con il segno + la tensione che si incontra concordemente con il verso di percorrenza e con il segno - quella che si incontra in verso opposto.

In altre parole, consideriamo le tensioni su ogni singolo bipolo e si confronta il verso con il verso di percorrenza della maglia. La tensione può essere espressa come differenza di potenziale. Analizziamo un bipolo alla volta:

V₄ = Φ₂ - Φ₅, V₅ = Φ₃ - Φ₄

Allora la legge in questo caso possiamo scriverla come:

Φ₂ - Φ₅ - Φ₂ + Φ₃ - Φ₄ + Φ₅ + Φ₄ - Φ₃ = 0

Tutti i termini si annullano, abbiamo quindi un’identità: 0 = 0. Ciò vuol dire che per qualsiasi valore di Φ l’equazione è verificata. Questo dimostra che il campo elettrico è conservativo e, di conseguenza, il suo lavoro è nullo.

Le LKC e LKT non dipendono dalla struttura interna dei componenti, ma solo dal modo in cui essi sono collegati (topologia del circuito). Si tratta di equazioni lineari, algebriche e a coefficienti costanti. È necessario verificare quali sono le equazioni davvero utili e quali sono le loro caratteristiche.

Riteniamo “equazioni utili” le equazioni linearmente indipendenti. Un’equazione di un sistema si dice indipendente quando non contiene informazioni già contenute in altre equazioni del sistema. Per assicurarmi che tale proprietà sia verificata esiste una condizione sufficiente: un sistema è linearmente indipendente se ogni equazione del sistema contiene un’incognita in esclusiva.

In generale:

• Legge di Kirchhoff per le correnti: se ne possono scrivere almeno tante quanti sono i nodi.
• Legge di Kirchhoff per le tensioni: se ne possono scrivere tante quante sono le maglie. Ma non sono tutte indipendenti.

Analizziamo nel particolare. Nel grafico riportato a lato compaiono alcuni simboli grafici:

• R indica una resistenza;
• E indica un generatore di tensione;
• J indica un generatore di corrente.

Correnti e tensioni sono rappresentate con le lettere maiuscole per indicare che restano costanti. Queste tre equazioni non sono un sistema linearmente indipendente perché quella del nodo 3 dipende dalle prime due. La LKC al nodo 3 coincide con la somma cambiata di segno (combinazione lineare) delle LKC ai nodi 1 e 2. Essa è una equazione dipendente in quanto non fornisce alcuna informazione aggiuntiva. Il sistema di equazioni si dice linearmente dipendente.