Appunti di Econometria

Regressione Lineare Bivariata

Il quesito di conoscenza empirica: le possibili politiche di intervento

Alcuni concetti di inferenza statistica.

UN PROBLEMA DI POLITICHE DELL’ISTRUZIONE

Relazioni tra la dimensione delle classi di istruzione secondaria e rendimento scolastico

Quesito di Politica: Quale è l’effetto sull’efficacia dell’istruzione conseguente ad una riduzione della dimensione della classe di 10

studenti per classe, mantenendo costante il numero dei docenti ?

Come valutare questa efficacia ? Quale variabile utilizzare in una valutazione statistica ?

 Crescita personale dello studente

 Benessere futuro da adulto e/o reddito lungo il ciclo vitale

 Performance su test standardizzati

Cosa possiamo dire sulla relazione tra “Dimensione della Classe (class size)/Punteggi di Test(test score) ?

Il Data Set sul Sistema Scolastico della California

Tutti I Distretti Scolastici di Scuola Elementare della California (n = 420)

Variabili:  th

Punteggi Standardizzati ai test di 5 elementare (Test di Performance Scolastica: Stanford-9: combina risultati di

Matematica e di Lettura), Media del Distretto, TestScore

 Rapporto – nell’intero Distretto - Studenti-Docenti (Student-teacher ratio, STR) = numero di studenti nel distretto diviso

per il numero degli insegnanti (full-time equivalent).

Come possiamo avere dei risultati quantitativi sul quesito se la dimensione delle classi (misurata dallo STR) determina la qualità

dell’istruzione, misurata dai punteggi standardizzati nei test ? Possiamo:

1. Paragonare i punteggi medi tra distretti con basso STR e quelli con alto STR: “STIMA”

Sottoporre a test l’ipotesi che la media dei punteggi è influenzata dalle dimensioni medie delle classi: “TEST DELLE IPOTESI” 4-1

Richiami di Teoria dell’Inferenza Statistica

Popolazione (Universo)

 Nel nostro caso: tutti i Distretti Scolastici degli USA

 Tutti i possibili valori di STR Tutti I possibili valori dei punteggi (test scores) Tutte le

possibili associazione tra i due

 Pensiamo alle POPOLAZIONI come entità infinitamente grandi. Per fare delle inferenze su di esse raccogliamo un numero

finito di osservazioni su di esse: i CAMPIONI. Variabili Casuali (Random variables) Y, X

 Dimensione numerica incerta risultante da una causa aleatoria

 Nel nostro caso: il valore numerico dei punteggi dei test scolastici nei vari Distretti (test scores), il rapporto studenti/docenti

(STR), quando scegliamo un anno ed un distretto da campionare.

 Tutte le variabili di una popolazione sono distribuite secondo una variabile casuale: su queste si cerca di fare inferenza

statistica, sulla base di un numero limitato di osservazioni campionarie.

 Una variabile casuale è definita da un certo numero di parametri: MEDIA, VARIANZA, e altro.

Parametri di una Popolazione Y

Media = Valore Atteso

= E(Y)



= Y

= Media di Y lungo una serie molto lunga di rilevazioni su Y

 2

Varianza = E(Y – )

Y

 2

= Y

= Misura della dispersione della distribuzione intorno alla media

variance 

Deviazione Standard = = Y 4-2

Parametri delle Relazioni tra Popolazioni

(Variabili Casuali X e X)

La covarianza tra kle variabili casuali X e Z è:

  

cov(X,Z) = E[(X – )(Z – )] =

X Z XZ

 La covarianza è una misura di associazione lineare tra X e Z

 cov(X,Z) > (<) 0: indica una relazione lineare positiva (negativa) tra X e Z

 Se X e Z hanno distribuzioni indipendenti, abbiamo che cov(X,Z) = 0 (ma non è vero il contrario !!).

Il coefficiente di correlazione è definito in termini di covarianza:



cov( X , Z )  XZ

corr(X,Z) = = r

  XZ

var( X ) var( Z ) X Z

  

–1 corr(X,Z) 1

 corr(X,Z) = 1 indica una perfetta associazione lineare positiva

 corr(X,Z) = –1 indica una perfetta associazione lineare negativa

 corr(X,Z) = 0 indica assenza di associazione lineare 4-3

La correlazione tra Test Score e STR è negativa: 4-4

La Correlazione indica un’associazione lineare 4-5

L’Approccio Econometrico

Il Quesito di Policy della dimensione della classe (class size)/Punteggio del Test (test score):

 Qual è l’effetto sul punteggio di test di di ridurre la dimensione della classe (STR) di uno studente per classe?



Test score

 Il parametro di interesse: 

STR

 Questa è la pendenza della retta di regressione che collega test score (punteggio) e STR (dimensione della classe)

 

(Test Score) = + STR

0 1

Potrebbe essere utile tracciare una linea attaverso il diagramma scatter tra Test Score e. STR. Ma come? 4-6

Notazione e Terminologia

La retta di regressione della popolazione:  

E(Test Score) = + STR

0 1

 = pendenza – o coefficiente angolare - della retta di regressione della popolazione

1 

Test score

= 

STR

= variazione di punteggio a seguito dell’aumento di uno studente per classe, STR



 Vorremmo conoscere .

1 

 Dobbiamo usare i dati per stimare .

1

 

Come possiamo stimare e dai dati?

0 1 

Ci concentreremo sui Minimi Quadrati Ordinari (MQO. In Inglese “Ordinary Least Squares” o “OLS”) come stimatori di e

0

 , che derivano da:

1 n

   2

min [

Y ( b b X )]

b ,

b i 0 1 i

0 1 

i 1

Gli stimatori OLS sono i b e b che minimizzano la seguente espressione:

0 1

n

   2

min [

Y ( b b X )]

b ,

b i 0 1 i

0 1 

i 1 4-7

 Lo stimatore OLS minimizza la differenza dei quadrati della differenza (errore) tra i dati campionari (le Y ) ed i valori che

i

giacciono sulla retta di regressione campionaria.

 Questo problema di minimizzazione si risolve con l’Analisi Matematica.

 

 Da questa procedura si ricavano gli stimatori OLS di e .

0 1 4-8

Perché usare gli OLS ? Perché sono BLUE? ˆ

 

 Lo stimatore OLS ha alcune proprietà molto utili: sotto certe condizioni è UNBIASED (corretto, cioé E( ) = ), e ha una

1

1



distribuzione campionaria più raccolta intorno alla media, ha cioè varianza più bassa di altri stimatori di . E’ quindi: BEST.

1

Infine stima delle relazioni LINEARI ed è esso stesso lineare. 4-9

Applicando ai dati Test Score – Class Size in California

ˆ



Pendenza Stimata = = – 2.28

1

ˆ



Intercetta Stimata = = 698.9

0

·

TestScore

Regression: = 698.9 – 2.28STR

Interpretazione del Coefficiente Angolare (Pendenza) 4-10

·

TestScore = 698.9 – 2.28STR

 Se aumentiamo le classi dei Distretti della California di uno studente per classe, I punteggi di test si abbassano di 2.28 punti.



Test score

 Cioé , = –2.28



STR

Valori Previsti e Residui: 4-11

Quello dell’Antilope, è uno dei distretti della CA, per il quale STR = 19.33 e Test Score = 657.8

ˆ

Y

Valore previsto: = 698.9 – 2.2819.33 = 654.8

Antelope ˆ

u

Residuo: = 657.8 – 654.8 = 3.0La retta di regressione campionaria, stimata con i MQO,

Antelope

cerca di ottenere le caratteristiche di quella della popolazione usando il campione a disposizione. ˆ



Un diverso campione avrebbe prodotto una stima della retta di regressione diverso con un diverso e una diversa intercetta.

1

Ciò che ci interessa qui è: ˆ



quantificare l’incertezza campionaria associata alla stima del e dell’intercetta;

 1

ˆ

 

usare la stima MQO per effettuare dei test, come ad esempio che = 0 e che quindi non vi sia nessuna influenza della

1

 1

variabile indipendente (STR, nel nostro caso) sulla variabile dipendente (TestScore).

Procediamo con:

1. La struttura probabilistica della retta di regressione lineare

2. Test delle Ipotesi

3. Il ruolo della Omoschedasticità 4-12

1. Struttura Probabilistica

Popolazione

Nel nostro caso: tutti i distretti scolastici della California (molto più numerosi di 420)

Le variabili casuali di interesse: Y, X

Nel nostro caso: Test Score, STR

Distribuzione congiunta di (Y,X)

Qui ipotizziamo che esista una relazione LINEARE nella popolazione che collega X e Y:questa è la “retta di regressione lineare delle

popolazione”:  

Y = + X + u , i = 1,…, n

i 0 1 i i

X è la variabile indipendente, o esplicativa, o regressore

 Y è la variabile dipendente

  = intercetta

 0

 = coefficiente angolare

 1

u = “termine di errore”

 i

Nel termine di errore si raccolgono le variabili esplicative omesse e l’errore di misurazione (quando accade) sulla Y.

 4-13

Ex.: La retta di regressione ed il termine di errore 4-14

Gli assunti dei MQO

1. La distribuzione condizionata degli errori, u, data la X, ha media zero, cioé E(u|X = x) = 0.

2. Gli errori hanno varianza costante, sono cioé omoschedastici.

3. Le due variabili (X ,Y ), i =1,…,n, sono indipendentemente (estrazione casuale del campione, nei dati sezionali, ed assenza di

i i

autocorrelazione nelle serie storiche) ed identicamente distribuite.

Discutiamo questi assunti nell’ordine. 4-15

Assunto #1: E(u|X = x) = 0.

Per ogni X, la media di u è zero 4-16

Dai tre assunti sopra deriva che:

ˆ

 , lo stimatore MQO del coefficiente angolare della retta di regressione della popolazione ha una distribuzione campionaria.

1 ˆ



 Quale è la sua media, E( )?

1 ˆ ˆ

 

 Quale è la sua varianz