Appunti di Econometria

Errore standard della regressione

Lo R di regressione misura la frazione di varianza di Y che viene spiegata dalla X; non ha una unità di misura e varia tra zero (nofit) and uno (fit perfetto)

L'errore standard della regressione misura l'errore del fit - la dimensione dell'errore - nelle unità di Y.

Si scriva Y come somma del valore previsto dagli OLS prediction + il residuo OLS:

Y = Ŷ + u

Lo R rappresenta la frazione della varianza campionaria di Y "spiegata" dalla regressione, cioè da:

R² = ESS / TSS

dove:

ESS = ∑(Y - Ŷ)²

SSR = ∑u²

TSS = ESS + SSR

Lo R:

• R² = 0 significa ESS = 0, cioè (SSR = TSS), quindi X non spiega nulla della variazione di Y
• R² = 1 significa ESS = TSS (SSR = 0), quindi Y = Ŷ e quindi X spiega tutta la variazione di Y
• 0 ≤ R² ≤ 1

Per la regressione con un unico

regressore (il nostro caso qui), R è il quadrato del coefficiente di correlazione tra X e Y

Lo Standard Error of the Regression (SER)

L’errore standard della regressione è quasi uguale all’errore standard dei residui campionari OLS:

SER = √∑ (u_i -                                                                                                     &

L'omissione di Z dia luogo ad una distorsione da variabile omessa. Nel caso dell'esempio del test score:

1. L'abilità nella lingua Inglese (mancante in studenti non di madre lingua) molto plausibilmente determina i punteggi nei test standardizzati. In tal senso, Z è una determinante di Y.
2. Le comunità di immigrati negli USA tendono ad essere meno ricchi delle comunità residenti e quindi hanno minor disponibilità per l'istruzione e quindi vanno in distretti scolastici più "a buon mercato", in cui STR è più alto: Z è quindicorrelato con.

Quindi è biased (distorto)

• Quale è la direzione della distorsione ?
• Occore usare il buon senso.
• Se questo viene a mancare... c'è una formula

Omitted variable bias formula: + .1 σXu1 / X

Se un fattore omesso Z è, allo stesso tempo:

1. un determinante di Y

(cioè è finito inconsapevolmente in u); e(2) correlato con X, ≤allora 0 e quindi lo stimatore OLS è biased.Xu 1La formula sopra rende precisamente l'idea che i distretti con pochi studenti ESL (English as Second Language): (1) fanno meglio coitest standardizzati: 4-35(2) hanno classi più piccole (e budget scolastici più alti), di modo che, ignorando il fattore ESL si causa un overstating (unrafforzamento artificiale) del peso nella regressione della dimensione della classe, STR.Cosa si può fare ? Se possibile, usare la variabile PctEL, di modo che la variabile rilevante non è più omessa.La Regressione Multipla Relativa alla PopolazioneSi consideri il caso di due regressori: β β βY = β0 + β1X1 + β2X2 + u , i = 1,…,ni 0 1 1i 2 2i iX1 , X2 sono le due variabili indipendenti (regressori) yi , Xi1 , Xi2 denotano la i-esima osservazione su Y, X1, e X2. β0 = la intercetta sconosciuta della

popolazione

• 0β = l'effetto su Y di una variaz. in X, tenendo fermo X
• 1β = l'effetto su Y di una variaz. in X, tenendo fermo X
• 2β = "termine di errore" (dove si annidano la variabili omesse)

Interpretazione dei coefficienti della regressione multipla, sempre relativa alla popolazione

Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + u, i = 1,...,ni

Si consideri di variare X per un ammontare tenendo costante X:

Retta di regressione prima della variazione:

E(Y) = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂

Retta di regressione dopo la variazione:

E(Y) + E(Y) = β₀ + (β₁ + Δβ₁)X₁ + β₂X₂

ΔX

Prima: E(Y) = β₀ + (β₁ + Δβ₁)X₁ + β₂X₂

ΔX

Dopo: E(Y) + E(Y) = β₀ + (β₁ + Δβ₁)X₁ + β₂X₂

ΔX

Differenza: E(Y) = ΔY/ΔX

Cioè, ΔYβ₁ = ΔY/ΔX, tenendo X costante

ΔX₁

also, ΔYβ₂ = ΔY/ΔX, tenendo X costante

ΔX₂

Quanto all'intercetta della regressione:

β₀ = valore previsto della variabile dipendente Y

quando X = X = 0.0 1 2 4-37

Lo Stimatore OLS nella Regressione Multipla

Con due regressori, gli stimatori OLS si ottengono minimizzando la seguente espressione:

n    2min [Y ( b b X b X )]b ,b ,b i 0 1 1i 2 2 i0 1 2 i 1

Gli stimatori OLS – b , b , b - minimizzano la differenza al quadrato tra i valori effettivi Y e I valori previsti dalla retta di0 1 2 iregressione.

Questo problema di minimizzazione è risolto usando l’analisi matematica.

  

Il risultato è lo stimatore OLS di , e .0 1 2

Esempio: I dati dei punteggi scolastici dei distretti della California

Regressione dei TestScore contro STR:

TestScore = 698.9 – 2.28STR

Ora si includa la variabile sulla percentuale degli studenti che studiano l’Inglese come seconda lingua nei 420 distretti scolastici(PctEL):

TestScore = 696.0 – 1.10STR – 0.65PctEL

Cosa succede al coefficiente di STR? 4-38

Perché ? (Nota: corr(STR, PctEL) =

0.19) 4-39Le Assunzioni dei MQO nel Modello di Regressione Multipla

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βkXk + u , i = 1,…,ni

1. La distribuzione condizionale delle u, date le X’, ha media zero, cioè, E(u|X1,…, Xk) = 0.

2. (X1,…,Xk,Y), i =1,…,n, sono i.i.d.

3. X1,…, Xk, and u hanno varianza finita.

4. Non vi è multicollinearità perfetta (ma anche quella più bassa disturba molto).

Assunto #1: la media condizionale di u, date le X incluse nel modello è pari a zero.

• L’interpretazione è analoga al modello di regressione con un unica X.
• Se una variabile omessa: (1) appartiene all’equazione (ed è quindi in u) e (2) è correlata con un regressore incluso X, il valore atteso dell’errore non è più uguale a zero.
• L’assenza di questa condizione, conduce ad un bias da variabile omessa.
• La soluzione – se possibile –

è quella di includere la variabile omessa nella regressione.

Assunto #2: (X ,…,X ,Y ), i =1,…,n, sono i.i.d.1i ki i

Questo assunto è soddisfatto I dati sono stati raccolti in modo casuale o se l’esperimento è stato formulato in modo correttocon dati rappresentativi della popolazione.

Assunto #3: hanno varianza finita

Questo è un assunto sempre soddisfatto da dati generate da fenomeni delle scienze sociali

Assunto #4: Non vi è perfetta multicollinearità

La multicollinearità perfetta si ha quando uno dei regressori è una funzione lineare perfetta degli altri regressori.

L’esempio perfetto si ha quando si introduce accidentalmente la stessa variabile nella regressione, ma anche in molti altri casinelle scienze sociali. 4-40

Un esempio classico di multicollinearità perfetta si ha con un uso incauto delle variabili dummy. Vediamo sotto.