Appunti di applicazioni avanzate di fisica tecnica

Name: Appunti di applicazioni avanzate di fisica tecnica
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Author: manuela20.4

Revisionato il 01/07/2026

di manuela20.4

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Esame Applicazioni avanzate di fisica tecnica

Facoltà Ingegneria i

Dal corso del Prof. Chiavazzo Eliodoro

Università Politecnico di Torino

A.A. 2021-2022

99 pagine

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Estratto del documento

TERMOMECCANICA DEI CONTINUI

NOTAZIONI TENSORIALI

GRANDEZZE SCALARI (tensore ordine 0)

a ∈ _ℝ

GRANDEZZE VETTORIALI (tensore ordine 1)

a_i = ξ_i ∈ {χ₁ ξ₁ ζ₁ ξ_m}A_d

dove D è la dimensione nello spazio fisico

(componenti cartesiano con gli indici)1 indizi → tensore 1^o ordine)

GRANDEZZE TENSORIALI

A = _{^{[ A₁₁ A₁₂ ... A_1D ]} ^{[ A₂₁ ... ]}}∈ _ℝ^D×D

A_ij = ∑_ij = {∑_lm = {χ_ij = ∑_k}}2 indizi → tensore ordine 2

Prodotto interno

a_i b_i ∈ _ℝ

a ⋅ b = ∑_i=1^D a_i b_i = ∑_j=1^D a_j b_j ∈ _ℝ

Con il prodotto interno si ha una riduzione degli indici (dell'ordine)

A_{⋅ b} = ∑_j=1^D A_ij b_j ∈ _ℝ^D

A ⋅ b = {_{^{A₁₁ b₁ + A₁₂ b₂ + ... + A_1D b_D} ^{A₂₁ b₁ + ...} ^{+ ...} ^{+ A_DD b_D}}}∈ _ℝ^D

A_{⋅ B}

A ⋅ B = ∑_i=1^D ∑_j=1^D A_ij B_ij ∈ _ℝ

A₁₁ B₁₁ + A₁₂ B₁₂ + ... + A_1D B_1D +A₂₁ B₂₁ + A₂₂ B₂₂ + ... + A₂₀ B_2D +... + A_DD B_DD ∈ _ℝ

Termomeccanica dei Continui

Notazioni Tensoriali

Grandezze Scalari (tensore ordine 0)
- a ∈ ℝ
Grandezze Vettoriali (tensore ordine 1)
- a = _αa_ξ ∈ ℝ^D dove D è la dimensione nello spazio fisico
- a = {α₁ξ₁ α₂ξ₂ ... α_mξ_m}
- (componenti cartesiano con gli indici contravvegenti)1 indice → tensore 1^o ordine
Grandezze Tensoriali
- A = _[a₁₁ a₁₂ ... a_1D _] _[a_D1 ..._] ∈ ℝ^D×D
- a_{A_ij} = {α₁a_1m = a_{A_ik}}
- 2 indici → tensore ordine 2

Prodotto interno

a, b ∈ ℝ^D
a · b = Σ_i=1^D a_ib_i = Σ_j=1^D a_jb_j ∈ ℝ
Con il prodotto interno si ha una riduzione degli indici (dell’ordine)
α · A = Σ_j=1^DA_1jß_j ∈ ℝ^D
α_Ab = _{A₁₁b₁ + A₁₂b₂ + ... + A_1Db_D} ∈ ℝ^D
α_A · ßA · ß = Σ_i=1^D Σ_j=1^D A_1ijB_ij ∈ ℝ

Prodotto esterno (prodotto diadico)

a ⊗ b

a ⊗ b = {a_ib_j}

[a₁b₁, a₂b₂ ... a₁b_d]

[a₃b₄ ... a_db] ∈ ℝ^dxd

*Il prodotto esterno aumenta l’ordine del tensore

OPERATORI DIFFERENZIALI

Gradiente

a ∈ ℝ^d ∇a = {∂a/∂x₁}

{∂a/∂x_d} ∈ ℝ^d

A ∈ ℝ^d ∇a = [∂a_i/∂x₁ ... ∂a/∂x_d] ∈ ℝ^dxd

{∂a_i/∂x_j}

Divergenza

a ∈ ℝ^d ∇. a = ∂a₁/∂x₁ + ∂a₂/∂x₂ + ... + ∂a_d/∂x_d ∈ ℝ

A ∈ ℝ^dxd ∇. A = {∂A_i1/∂x₁ + ∂A/∂x₂ + ... + ∂A_id/∂x_d}

{∂A_id/∂x_d} ∈ ℝ^d

∇. A = {∂A_ij/∂x_j}

Laplaciano

∇²( ) = ∇ · ∇

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