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Termomeccanica dei Continui
Notazioni Tensoriali
- Grandezze scalari (tensore ordine 0)
a ∈ ℝ
- Grandezze vettoriali (tensore ordine 1)
ai = a̅ = (a1 a2 ... aD) ∈ ℝD
dove D è la dimensione dello spazio fisico
ai = ςi aι ςj = ζi an ?
(componente cartesiano con gli indici 1 indice → tensore 1o ordine)
- Grandezze tensoriali
A = [A11 A12 ... A1D A21 ... AD1 ADD ] ∈ ℝD×D
A= {Aij} = {Alm} = {Akl} ?
2 indici → tensore ordine 2
Prodotto interno
a, b ∈ ℝ
a · b = i=1∑D ai bi = j=1∑D aj bj ∈ ℝ
Con il prodotto interno si ha una riduzione degli indici (dell'ordine)
A · b̅
A · b = j=1∑ Aij bj ∈ ℝD
A · b = { A11b1 + A12b2 + ... + A1DbD AD1b1 + ... + ADDbD} ∈ ℝD
A : B
A : B = i=1∑D j=1∑D Aij Bij ∈ ℝ
A11B11 + A12B12 + ... + A1DB1D +A21B21 + A22B22 + ... + A2DB2D + ...+ AD1BD1 + ADDBDD ∈ ℝ
Prodotto esterno (prodotto diadico)
a ⊗ b ={ ai bj }
[ a1 b1, a1 b2, a1 bs ][ a2 b1, a2 b2 ][ as b1, as b2, as bs ]∈ ℝd×b
Il prodotto esterno aumenta l’ordine del tensore
Operatori Differenziali
Gradiente
a ∈ ℝ→ ∇a ={ ∂a / ∂xi }∈ ℝb
{ ∂a / ∂xi }→ ∇a =
a ∈ ℝp → ∇a =
[ ∂ai / ∂x1 ... ∂ai / ∂xb ] ∈ ℝd×b[ ∂as / ∂x1 - ∂as / ∂xb ]
Divergenza
a ∈ ℝp → ∇ ⋅ a = ∂a / ∂x1 + ∂a / ∂x2 + ... + ∂a / ∂xb ∈ ℝ
A ∈ ℝd×b → ∇ ⋅ A =
{ ∂Ai / ∂x1 + ∂Ai / ∂x2 + ... + ∂Aib / ∂xb } ∈ ℝb
∇ ⋅ A ={ ∂Aij / ∂xj }
Grandezze scalari
T(x1, x2) = 300K
Se ruota il sistema di riferimento la parte fisica (reale) non varia, mentre le coordinate variano.
Lo stesso vale anche per i vettori e i tensori.
La trasformazione delle coordinate da un sistema all’altro avviene grazie alla matrice di rotazione
( l11 l12 ) = ( cos(π/6) cos(π/2 + π/6) ) ( l21 l22 ) = ( cos(π/2) cos(π/6) )
Dove lij è il coseno tra ii e i'j
Vettori
\(\vec{v}\) = { v1 } = { v'1 } { v2 } = { v'2 }
Nel sist. principale
Nel sist. ruotato
Rappresentazione dello stesso oggetto in sistemi diversi
Posso esprimere in notazione di Einstein il cambio di coordinate
v'j = lij vi → cambio di coordinate dal sistema principale a quello ruotato
v'i = lji v'j → cambio di coordinate dal sist. ruotato a quello principale
FORMA STANDARD DELL'EQUAZIONE DI BILANCIO
L'equazione di bilancio della massa è
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0
Considero una grandezza generica φ, l'equazione di bilancio sarà nella forma:
∂ρ/∂t + ∇·F(φ) = S(φ)
FORMA STANDARD
Quindi per analogia j = ρv(φ)
- Se S(φ) = 0 => la grandezza φ si dica CONSERVATA
- Se S(φ) ≠ 0 => "φ non è conservata"
Considero di nuovo l'equazione di continuità:
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0 in notazione vettoriale
∂ρ/∂t + ∂(ρvi)/∂xi = 0 in notazione di Einstein
∂ρ/∂t + ρ∂vi/∂xi + vi ∂ρ/∂xi = 0
+ ρ ∇·v + v·∇ρ = 0
Si definisce DERIVATA LAGRANGIANA di φ
Dφ/Dt = ∂φ/∂t + v·∇φ
=>
Dρ/Dt + ρ ∇·v = 0 => Df/Dt = −ρ ∇·v EQ. DI CONTINUITÀ
∫V [ … ] dv = ∫S &overline;M dA + …
∫∇(s) dv
f&overline;a = campo di forze esterne df = ρ a dV
∫[ ∂ρ&overline;u/∂t + ∇(ρ&overline;uο&overline;u)+∇s ] dv = ∫V ρ a dV
Formula integrale del bilancio della quantità di moto
Anche in questo caso, la legge vale anche per la forma integranda perché non c’è nessuna restrizione su V
3 eq. scalari
∂ρ&overline;u/∂t + ∇(ρ&overline;uο&overline;u) + ∇s = ρ a
Eq. di Navier-Stokes per flussi isoterici
1 eq. scalare
∂ρc/∂t + ∇(ρ&overline;u) = 0
Questa sistema non è risolvibile perché ci sono 4 eq. scalari usa le incognite sono molto di più, infatti il solo tensori degli sforzi ne ha 9
S = (S11 S12 S13 S21 S22 S23 S31 S32 S33)
E bisogna quindi ridurre le incognite agendo proprio su S
L’evoluzione dinamica del profilo da un punto di vista fisico, in un istante successivo vede la curva scendere e quindi affievolirsi nel tempo.
Se vi metto in x=0 nel punto di massimo, la è affinchè la curva evolva nel tempo deve avere segnò negativo perchè deve scendere.
Per coerenza fisica nell’equazione si prende il segno + perchè devono essere concordi.
Anche se la concavità fosse stata positiva, poichè l’evoluzione fisica tenta ad avere una derivata positiva, per coerenza avrai preso il segno +.
⇒
Il problema si chiude grazie a questa relazione valida solo se il fluido è Newtoniano.
Inoltre abbiamo ricavato le equazioni
Ora voglio capire se la legge di conservazione del moto è una legge fisica
Energia Cinetica
Per ricavare l’equazione dell’energia cinetica si parte da quella della conservazione della quantità di moto.
\(\rho \dfrac{Du}{Dt} = -\nabla S + \rho a\) con a campo conservativo (derivata potenziale).
Moltiplico entrambi i membri per u per rendere scalare l’equazione:
\(\rho \dfrac{Du}{Dt} \cdot u = \nabla S \cdot u + \rho a \cdot u \Rightarrow \rho \dfrac{\partial u}{\partial t} \cdot u + u \cdot \nabla u \cdot u = -(\nabla S) \cdot u + \rho a \cdot u\)
Sappiamo che \(e_k = \dfrac{1}{2} u^2 = \dfrac{1}{2} u \cdot u = \dfrac{1}{2} u_i u_i\)
- \(\dfrac{\partial e_k}{\partial t} = \dfrac{1}{2} \left[ u_i \dfrac{\partial u_i}{\partial t} + \dfrac{\partial u_i}{\partial t} u_i \right] = u_i \dfrac{\partial u_i}{\partial t} = u \cdot \dfrac{\partial u}{\partial t}\)
- \(u \cdot \nabla e_k = u_j \dfrac{\partial}{\partial x_j}\left(\dfrac{1}{2} u_i u_i\right) = u_j \dfrac{1}{2}(u_i \dfrac{\partial u_i}{\partial x_j} + u_i \dfrac{\partial u_i}{\partial x_j}) = u_i \dfrac{\partial u_i}{\partial x_j} u_j = u \cdot \nabla u \cdot u\)
Quindi diventa:
\(\rho \left(\dfrac{\partial e_k}{\partial t} + u \cdot \nabla e_k\right) = -(\nabla S) \cdot u + \rho a \cdot u\)
\(\dfrac{\partial \rho e_k}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho e_k u) = -(\nabla S) \cdot u + \rho a \cdot u\)
Detto a un campo di forze potenziale \(\Rightarrow a = -\nabla V_{ep}\)
\(\dfrac{\partial e_p}{\partial t} = 0\)
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