Appunti di Analisi esplorativa - Analisi statistica multivariata

ASSESAUTOvettori911 la Econosciamoseo ,dell' ellisse .

UnaSe definitaAssumodefinita S modoMATRICE positivasemi insempre QUESTOin caso pontinache sia, !Sda emittenzamodo l' dellagarantire inversasuain VARche funzionedimostrareSi GENERALIZZATAdell'Ilpuò dellavolume Ideiper ' :lusso unae- '"' KPCP}{ s' 21T' F):( ( ECZE) dets dovedi ×volume hp✗¥ - =- =,,Nym )( PGPp .GENERALIZZATAVARIANZAAllaproporzionale ✓<( )) ( )( costante GeneralizzataIPEREUSSOIDE VARVOLUME =S )(del perdiamo dellariduciamo s informazione orientamentoQuindi l'riguardanteconse - , dalledi dimensionale formatanuvola 'punti unita statistichenp- .ha perche nulla'senso correlazionene ,allineatiiallora punti? ellisseQUANDO nonoÈVARIANZA GENERALIZZATALA ZERO ti approssimatavienead retta areauna'ellissedell''due area nullae1CORRELAZIONEla l'TRA variabilise le Ee nulla• .ÈVARIANZA GENERALIZZATAla

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• Dimostrazione ÌjÌ d 7j I.le nullonon1di sePvettoriovvero vettorecolonne uni sono=, ./, , ... , 'taletp? %£ che Ip[ ]-.., , Ec Ip 0C1 Cpt += si. =.. . CpIn ✗nxp ✗pxi in _EcheabbiamoPerciò (5) linearmente dipendentidet Dimostrocolonne relazione< >o questa= per=: .sensientrambi i . ÌCÌ 7 taled. 0colonne di e. chese tjfallorale =sono §, , ,Quindi : E..ECn.IEnsc 0=0== un p I✗n ✗pxn i0=' la dltcs)E quindise singolare3- ' eSc -0-1-0 matriceallora ovvero0= -: ., S(5) 'del0 AllorageneralizzatalacheSappiamo varianza ' singolaree0e ovvero =-, . ,7 # tale SCovvero -0o chec . E ÌC FcÈxc c' )'nsc C'[ (' Fc(O )n= 0 o= =→= →. ÷" "EC 112'b b0 b. .0=11Ponto = →= .,nxppx ÌCQuindi b deve 0necessariamente chePER lunghezza essere ovverozeroavere =, ,nxl Ì -1-0'devono

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yggyj-j-I.FI?Fr0avente duein £"". ",Èa1=11911 ;indicatalunghezza1 a. acon = = www.eguungn.si" " stessaa-)(normalizzata 11011=1direzione o2 Quindi= X ' %hxi hx tiQUESTA PUÒSCOMPOSIZIONE Adsi EDTENDTRE UNAgeneralizzare /[ ] èciascunaAn colonnaAMATRICE diSIMMETRICA vettore generalizzarePODDO ilsiccome un→= ...h hIh 1hx ✗✗precedenteragionamento ciascunaa colonna .Xgli gli 11011 10autovalori AUTOVLTORI elementigli SCOMPOSIZIONEponoe necessari la: = x .AO tudall'definitiSono EQUAZIONE : =le (Esattamenteci sono l'coppie EQUAZIONEjXj ) noddldfanovj =L K CHE, ,.., .>gliPER diCONVENZIONE Autovalori ordinati ordinesono decrescente =in = n ... .,AUTOVALORI AUTOVETORIE,¥n valori RealiSIMMETRICA a . dj jA DEFSE K1PODITIUIAutovalori osono :PODITNA >0 =) = ,. , . ..XjA semidei pontina AutovaloriSE debolmente pontini ZO• :,REK(A) haArango nulli nulliallora i lerimanenti sonormentrer autovalori non=• -, .

'Jjnormalizzati tu Un=/a I.perpendicolari9 00; annodatiAUTOVettori sono =e• ,diTEOREMA decomposizione spettrale A si PUÒA AlloraA VALORI REALI ESPRIMERESIMMETRICAsia .hah hTROVERÀPER NOI ' ÒVIVA tj 9-= =Applicazione .esuMATVAR COVARe .dove : )I ( -1kdiag Xi=- , . ,..hxh ][✓ 1199 Un 11=1'con=- . . . KXkxh Ih I✗ ' V' ✓✓ ✓V Iè ortogonalematrice laMATRICE prodottoortogonale diuna trasposta= su