Appunti di algebra e geometria

Suddivisione degli insiemi numerici

N = naturali

Z = interi

Q = razionali

I = irrazionali

R = reali

Un'operazione è interna quando il risultato fa parte dell'insieme dei numeri con cui stiamo lavorando.

Definizione algebrica di gruppo

Definizione algebrica di gruppo: sia G un insieme e A una operazione interna e b, G è detto Gruppo se

• A è associativa, ?a,b,e ? G, aA(bA e) = (aAb)A e
• ? 1_g tale che ?a ? G, 1_gA a = aA1_g = a
• ?a ? G, a 0_g, ? a^-1 e_g tale che aA a^-1 = a^-1A a = 1_g

(N, .) è gruppo? Le proprietà 1 e 2 valgono, ma la 3) no in quanto l'inverso fa parte dell'insieme Q

(Z, :) No per il motivo precedente

(Z, +) sì, risposta i tre punti

Concetti di campo

Concetti di campo: sia K un insieme non vuoto dotato di due operazioni interne (+, .) ?a e b ? K

+ : K x K -> K

(a,b) -> a+b

. : K x K -> K

(a,b) -> a . b

Tali che

• (K,+) è Gruppo commutativo
• (K*,.) è Gruppo
• K* = K - {0} = K non 0
• Proprietà distributiva ?a,b,g ? K (a+b).y = a.y+b.y

Gruppo

Campo

Suddivisione degli insiemi numerici

N = naturali

Z = interi

Q = razionali

I = irrazionali

R = reali

L'operazioni interne quando il risultato fa parte dell'insieme dei numeri con cui stiamo lavorando

Definizione elementare di gruppo

Definizione elementare di gruppo: sia G un insieme e A una operazione interna a G, G è detto Gruppo se

• A è associativa, V a,b,c e G, aA(bAc) = (aAb)Ac
• Esiste 1_G tale che V a e G, 1_G A a = a A 1_G = a
• V a e G, a != 0_G, esiste a^-1 e G tale che aA a^-1 = a^-1A a = 1_G

(N, .) è gruppo? Le proprietà 1 e 2 valgono, ma la 3) no in quanto l'inverso fa parte dell'insieme Q

(Z, .) No per il motivo precedente

(Z, +) Sì, rispetta i tre punti

Concetto di campo

Concetto di campo: sia K un insieme non vuoto dotato di due operazioni interne (+, .) V a e B e K

+ : KxK -> K

(a, b) -> a+b

. : KxK -> K

(a, b) -> a:b

Tale che

• (K, +) è Gruppo commutativo (abeliano)
• (K*, .) è Gruppo
• Proprietà distributiva V a, b, x e K (a+b)x = ax+bx

Gruppo

Campo

Es) (R, +, .) è un campo

Gli insiemi delle matrici costituiscono un gruppo non commutativo

Dov'è no: lo lo è rispetto alla somma.

Definizione di spazio vettoriale

Def di spazio vettoriale: una struttura non vuota V è un spaziovettoriale se una campo K si ha V sono definite due operazioni.

• Somma +: V x V -> V, v1, v2 in V.
• Prodotto per scalare: . : (K, V) -> V(a, v) -> av

E valgono le seguenti proprietà:

• (V, +) è un gruppo abeliano => v1 + v2 = v2 + v1, v1, v2 in V
• V + 0 = v
• Forall a, b in K, forall v in V, a . (b . v) = (ab) . v
• Forall a, b in K, forall v in V, (a + b) . v = a . v + b . v (Distributività)
• Forall a in K, forall v, w in V, a . (v + w) = av + aw

Esempio con R²

Es) R² = {(a, b) | a, b in R²} (a, b) è un vettore

+: (a1, b1) + (a2, b2) = (a + a1, b + b2).

.: k . (a, b) = (ka, kb)

1) (R², +) È un gruppo abeliano di dimensioni *

2) V (a, b) in R² 1 (a, b) . (a, b)

3) V k, h in R, V (a, b) in R² k.h (a, b) = [k.h] . (a, b)

k.h (a, b) = (k.ha, k.hb) = [(k.h)] . (a, b)

4) V k, h in R, V (a, b) in R²

(k + h) . (a, b) = [k(a, b) + h . (a, b)]

k[(a, b) + (a₁, b₁)] = (ka + ka₁, kb + kb₁) = (ka, kb) + (ka₁, kb₁) =[k(a, b) + h . (a, b)]

5) V k in R, V (a₁, b₁), (a₂, b₂) in R²

k[(a₁, b₁) + (a₂, b₂)] = [k(a₁, b₁) + k(a₂, b₂)]

k[(a + a₁, b + b₁)] = [k(a + a₁), k(b + b₁)] = (ka + ka₁, kb + kb₁) =

k(a₁, b₁) + [(a₂, b₂) + (a₂, b₂)] = [k(a₁, b₁) + k(a₂, b₂)]

Proprietà associative

1) Le proprietà associative

(a, b) + ((a₁, b₁) + (a₂, b₂)) = ((a, b) + (a₁, b₁) + (a₂, b₂)) V a, b, a₁, b₁, a₂, b₂ in R

(a, b) + (a₁, b₁) + (a₂, b₂) = (a + a₁, b + b₁) + (a₂, b₂) = (a + a₁ + a₂, b + b₁ + b₂) =

(a, b) + [(a₁, b₁) + (a₂, b₂)]

L'elemento neutro è (0, 0)

(a, b) + (0, 0) = (a, b)

V (a, b) in R² (-a, -b) tale che

(a, b