Appunti di aerodinamica e gestione termica del veicolo

ETODO ITERATIVO DIRETTO DIRECT ITERATION METHOD

Si è osservato che lo studio di un flusso solenoidale (mediante l’assunzione di densità

costante) con il metodo a potenziale è particolarmente semplice e che le equazioni di

governo del flusso all’interno dello strato limite si semplificano adottando la teoria di

Prandtl. Quest’ultima permette proprio di studiare il flusso fuori dallo strato limite

come un flusso a potenziale e di raccordare la soluzione con quella ottenuta

all’interno di esso dalle equazioni semplificate dalla teoria di Prandtl stessa.

Tuttavia, è necessario garantire le condizioni di continuità tra le soluzioni trovate e, di

conseguenza, si ricorre ad un metodo iterativo siccome si cerca di ottenere continuità

tra due flussi diversi con dati in comune; infatti, i risultati dell’uno, il flusso a

potenziale lontano dalla parete, sono i dati di partenza dell’altro, ovvero il flusso

all’interno dello strato limite.

Il metodo iterativo diretto si applica bene a corpi snelli in quanto non si verificano

fenomeni di separazione viscosa e il flusso attorno ad essi è possibile discuterlo con il

metodo potenziale con una accuratezza notevolmente maggiore rispetto ai corpi

tozzi. 134

Il metodo prevede, passo dopo passo, di inspessire il corpo punto per punto di una

quantità pari allo spessore di spostamento, affinché le soluzioni possano essere

raccordate con continuità. Potential flow of the

external flow on the

aerodynamic body

⃗

Use e from

potential flow solution

for solving boundary

layer equations

∗

Calculate and

thicken the

aerodynamic body

Potential flow of the

external flow on the

thickened aerodynamic

body Yes

No Print

Convergence? results

La convergenza può essere controllata, per esempio, con un controllo di

tipo scalare sulla pressione, in particolare sul minimo. Si fissa una tolleranza e una

volta che la differenza tra i minimi di pressione calcolati ai passi “n-1” e “n” è inferiore

a questa tolleranza si conferma la convergenza. Formalmente:

−1

≥ | − |; = 10

135

136

4 A

ERODINAMICA

In aerodinamica un corpo può essere di due tipi: snello oppure tozzo. La distinzione

tra le due tipologie può essere effettuata in diversi modi. Inoltre, bisogna distinguere

tra lo studio di un caso 2D ed uno 3D.

Un corpo si dice snello (streamlined o slender) se presenta una dimensione molto più

grande delle altre lungo la direzione del flusso. Alternativamente è possibile

classificare un corpo come snello se la scia che lascia è, come dimensione (larghezza)

molto più piccola della lunghezza caratteristica del corpo attorno al quale si studia il

flusso. L’esempio classico di corpo snello aerodinamicamente è il profilo alare (2D) o

l’ala (3D), benché esistano condizioni in cui un corpo snello si comporti come tozzo

(ad esempio, un profilo alare o un’ala in condizioni di stallo).

Un corpo si dice tozzo (blunt o blurf) se non presenta, lungo la direzione del flusso,

una dimensione molto più grande delle altre; oppure si tratta di un corpo che lascia

una regione di scia di dimensioni comparabili con la sua lunghezza caratteristica, o

anche molto più grande di quest’ultima. Per esempio, una vettura da Formula Uno

lascia una scia molto più dell’altezza della vettura stessa, che è assunta come

lunghezza caratteristica; la vettura da F1 è un corpo molto tozzo aerodinamicamente.

In 3D non ci si riferisce ad una lunghezza caratteristica, ma bensì ad una superficie di

riferimento; per corpi snelli (come un’ala) si fa riferimento alla superficie del piano

alare (planform area), per corpi tozzi si fa riferimento alla superficie frontale

proiettata (projected front area). 137

4.1 F

ORZE AERODINAMICHE

La forza aerodinamica è la forza totale che tiene conto di tutti gli effetti di pressione

e viscosi; le forze alle quali è soggetto un corpo in moto in un fluido (aria nel nostro

caso) sono dovute ad effetti viscosi e di pressione.

Le forze più note aerodinamicamente sono la portanza e la resistenza; la loro somma

vettoriale fornisce il vettore forza aerodinamica.

Siccome le caratteristiche aerodinamiche sono profondamente diverse tra corpi snelli

e tozzi, ci si aspetta che la forza aerodinamica vari notevolmente tra le due tipologie

di corpi. Qualitativamente si può schematizzare quanto detto in questa maniera:

Quindi un corpo aerodinamico presenta la componente verticale della forza

aerodinamica preponderante rispetto alla componente orizzontale; viceversa, per un

corpo tozzo, dove la componente orizzontale è notevolmente maggiore rispetto a

quella verticale. Queste componenti orizzontale e verticale sono la resistenza D (drag)

e la portanza L (lift). Formalmente: ⃗

= ∙ ̂

⃗

= ∙ ̂

̂

⃗⃗ = ̂

Il versore individua la direzione parallela al flusso indisturbato, ; il versore

∞ ∞

̂ ⃗ = −̂

individua la direzione parallela all’accelerazione gravitazionale, .

Pertanto, la portanza è la componente della forza aerodinamica ortogonale al flusso

indisturbato; la resistenza è la componente della forza aerodinamica parallela al

flusso indisturbato.

Entrambe le componenti sono dovute alle forze di viscose e di pressione. Siccome la

forza aerodinamica è frutto di contributi viscosi e contributi di pressione, lo stesso

vale per le sue componenti. In particolare, distinguiamo la resistenza aerodinamica

in:  Resistenza d’attrito (skin friction drag), dovuta agli effetti viscosi

 Resistenza di pressione (pressure drag), dovuta alla pressione

138

I corpi snelli sono caratterizzati dalla prevalenza della resistenza d’attrito sulla

resistenza di pressione; al contrario, i corpi tozzi presentano una resistenza di

pressione notevolmente maggiore rispetto alla resistenza d’attrito.

È possibile suddividere anche la resistenza di pressione in diverse tipologie:

 Resistenza di pressione di forma (form pressure drag), generata dalla geometria

e dalla forma del corpo

 Resistenza di pressione indotta (induced pressure drag) associata alla

generazione di portanza; è un tipo di resistenza che si manifesta solo in casi 3D

in virtù di effetti di tridimensionalità dei corpi

 Resistenza d’onda (wave pressure drag), dovuta alla manifestazione di onde,

molto visibili se si osserva il moto di un’imbarcazione in mare, o a fenomeni

dissipativi come le onde d’urto

Tutto ciò che non è una resistenza indotta o una resistenza alle onde è contenuto

all’interno del termine di resistenza di forma.

4.2 R ( )

ESISTENZA AERODINAMICA DI ATTRITO SKIN FRICTION DRAG

Si considera un profilo alare, ma i risultati sono di carattere assolutamente generale.

Si definisce la normale alla superficie punto per punto e si vuole definire la resistenza

di attrito alla quale è soggetto il profilo investito da un flusso uniforme.

139

Il tensore degli sforzi tangenziali è espresso come:

2̿

̿ =

In particolare, la componente valutata a parete è:

⃗| = ̿⃗⃗

Pertanto, si può calcolare la forza aerodinamica dovuta all’attrito integrando il vettore

degli sforzi tangenziali a parete su tutta la superficie del profilo:

⃗ = ∬ ̿⃗⃗

_

Proiettando poi lungo la direzione parallela al flusso si ottiene la resistenza:

⃗

= ∙ ̂

_

È anche possibile, per completezza, esprimere la componente di portanza dovuta

all’attrito, proiettando la forza aerodinamica perpendicolarmente al flusso:

⃗

= ∙ ̂

_

4.3 R ( )

ESISTENZA AERODINAMICA DI PRESSIONE PRESSURE DRAG

Innanzitutto, si cerca di capire come funziona la pressione sulla superficie di un corpo;

si prende un corpo di forma generica sulla cui superficie è definita, punto per punto,

la normale uscente. Si definisce poi un campo scalare sulla superficie del corpo;

diretto lungo la normale fornirà un campo vettoriale. Schematicamente:

⃗ = ⃗⃗

0

140

Si può calcolare la risultante del campo integrando sulla superficie esterna del corpo:

⃗⃗ = ∬ ⃗⃗

0

Nel caso in cui il campo scalare sia uniforme su tutta la superficie, la risultante

0

risulta identicamente nulla.

Se il campo scalare suddetto fosse la pressione si potrebbe calcolare la forza di

pressione che agisce sul corpo. Se la pressione è uniforme su tutta la superficie,

l’esperienza insegna che non ci sono forze risultanti dovute a questa azione. Inoltre,

la pressione agisce sempre in direzione entrante ad una superficie e pertanto si

ottiene: ⃗ = − ∬ ⃗⃗

_

Se tutto il corpo è esposto ad un valore uniforme di pressione, ad esempio quella

atmosferica, si può esprimere il tutto in termini di pressione relativa:

⃗ ( )⃗⃗

= − ∬ −

_ ∞

In virtù della definizione di coefficiente di pressione si può passare ad una espressione

che contenga quest’ultimo parametro, il quale è di maggior interesse in quanto ha

validità generale: ⃗ = − ∬ ⃗⃗

_ ∞

Infine, si proietta lungo la direzione parallela al flusso per ottenere la resistenza

aerodinamica dovuta alla pressione:

⃗

= ∙ ̂ = (− ∬ ⃗⃗ ) ∙ ̂

_ ∞

Per completezza si esprime anche la portanza:

⃗

= ∙ ̂ = (− ∬ ⃗⃗ ) ∙ ̂

_ ∞

Per corpi snelli la resistenza è fondamentalmente dovuta ad effetti viscosi, mentre

per corpi tozzi prevale i gran lunga la componente di pressione.

141

Grossomodo si può affermare che:

 ⁄ = 0.9 ÷ 1 per corpi tozzi

 ⁄ = 0.8 ÷ 0.95 per corpi snelli

Infatti, il flusso attorno ad un corpo tozzo separa (sia per motivi viscosi, come nel

flusso attorno ad un cilindro, che per motivi geometrici, come la separazione al bordo

di uscita dal tettucci