Appunti di Aerodinamica del veicolo

Equazioni del moto potenziale

Z Z~ d~l· − ·~v d l ~v = 0 (4.7)A AQuello che si ottiene è che i due integrali risultano identici. Quindi inun campo irrotazionale definito da un dominio semplicemente connesso, ilcampo di velocità è indipendente dalla scelta del percorso. Definendo unoscalare φ che è solo funzione del punto iniziale e finale possiamo scrivereBZ d~l· −~v = φ(A) φ(B)A d~l d~l· ·Scegliendo un percorso infinitesimo dφ = ~v quindi dφ = grad(φ)∃φallora : gradφ = ~v .Abbiamo appena dimostrato quindi che se un campo è irrotazionale edefinito su dominio semplicemente connesso, il campo ammette potenzialema è anche conservativo. Si può anche dire che in questo caso il campo èsolenoidale perché il flusso che attraversa una qualsiasi superficie chiusa ènullo. 344.2 Equazioni del moto potenzialeEquazione CineticaPer definire il set di equazioni del moto potenziale partiamo dall’equazionedi conservazionedella massa per sistemi a densità costante che prende il nome di equazione cinetica. L'equazione cinetica può essere risolta numericamente quando sono presenti opportune condizioni al bordo ed è sufficiente per risolvere il campo di velocità. Serve quindi un'equazione che leghi P e v così da determinare anche il campo di pressione. L'equazione che andremo ad utilizzare è una forma particolare del teorema di Bernoulli che prende il nome di forma forte. Forma Forte di Bernoulli Per scrivere il teorema di Bernoulli in forma forte partiamo dalla forma debole per sistemi generici precedentemente dimostrata. Per le ipotesi di campo potenziale si ha che - ∇·(ρv) = 0 - ∇·(v) = 0 Possiamo andare ad esplicitare l'operatore Laplaciano nel seguente modo: Ne consegue che

Il termine degli sforzi viscosi è trascurabile non perché la viscosità sia nulla, ma per le caratteristiche cinematiche del moto potenziale di densità costante e irrotazionalità. Essendo il prodotto vettoriale nullo per definizione di moto potenziale, quello che si ottiene è:

2~vP + + gh = cost (4.10)ρ 2

che così viene definita Forma forte stazionaria. Nel caso non stazionario sarà invece assume la forma:

2 P ~v∂ϕ + + + gh = 0 (4.11)grad ∂t ρ 2

Come possiamo notare, viene definita forma forte perché valida su tutto il campo, al contrario della forma debole che era valida solamente lungo le linee vorticose e di corrente.

Riassumendo il sistema di equazioni del moto potenziale:

 2∇ ϕ = 0

 2P ~v (4.12)+ + gh = costρ 2

 B.C



In questo caso valide per il caso stazionario.

4.2.1 Boundary Conditions

Qualora applicassimo le stesse condizioni al contorno imposte in Navier-Stokes otterremmo un problema sovradimensionato impossibile da risolvere.

Nel sistema 4.12 il campo di moto viene ricavato tramite la soluzione dell'equazione cinetica che è un'equazione differenziale lineare che permette l'applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti. Al contrario, l'equazione in forma forte del bilancio della quantità di moto, che permette il calcolo del campo di pressione, è un'equazione algebrica non lineare a causa della presenza del termine ~v. Fortunatamente, nel caso stazionario, tale equazione risulta facilmente risolvibile e per tanto, nonostante il sistema sia non lineare, il disaccoppiamento delle equazioni ne consente la risoluzione attraverso il seguente processo risolutivo:

1. Imposizione delle condizioni al contorno;
2. Risoluzione dell'equazione cinetica per determinare il potenziale;
3. Calcolo del campo di velocità attraverso la derivazione del potenziale;
4. Calcolo del campo di pressione attraverso la forma forte di Bernoulli.

Non ci resta che da definire a questo

punto le condizioni al bordo peril moto potenziale che si riducono alla condizione di impermeabilitàche richiede che la componente di velocità al bordo non abbia componentinormali. Figura 4.1: Parete solida di normale n̂| − ·(~v ~v ) n̂ = 0 (4.13)w rche alternativamente può essere espressa come∂ϕ| · ·~v n̂ = gradϕ| n̂ = =0 (4.14)w w ∂n w37Notiamo che il moto potenziale è un moto non viscoso a causa della condi-zioni al contorno in cui si impone solamente impermeabilità. Ciò ”consente”al fluido di scivolare sulle pareti permettendoci di non considerare la viscosità.4.3 Navier-Stokes vs. Moto PotenzialeLe differenze tra le equazioni di Navier-Stokes e il moto potenziale si riassu-mono nella seguente tabella: Navier-Stokes Moto Potenziale·BC ~v = 0 nel solido ~v n̂ = 0 nel solidoAccoppiamento Accoppiate DisaccoppiateTipo di Equazione Eq. alle derivate parziali 1 algebrica e 1 alle dev. parz.Non Linearità

Differenziale Algebrica Sovrapposizione degli effetti: Impossibile Fattibile per ϕ e ~v , no P Tempo Dipendente: Solo attraverso le B.C Viscosità = 0: Non influenza la soluzione Interne/Esterne: Dipende dalle B.C (Solo Esterne) Tabella 4.1: Navier-Stokes vs Moto Potenziale 384.4 Flussi Elementari Consideriamo un campo di velocità nel moto potenziale in due dimensioni. In coordinate cartesiane questo sarà definito ∂ϕ∂ϕ~v = ; In coordinate cartesiane (4.15)∂x ∂y Mentre in coordinate cilindriche ∂ϕ 1 ∂ϕ~v = In coordinate cilindriche (4.16);∂r r ∂θ Definiremo Funzione di corrente la quantità: ∂ψ ∂ψ−ψ = ; In coordinate cartesiane (4.17)∂y ∂x ∂ψ∂ψ1 −; In coordinate cilindriche (4.18)ψ = r ∂θ ∂r ⊥ Andando a calcolare il gradiente di ψ otteniamo che grad(ψ) grad(ϕ). Possiamo quindi definire i vari moti elementari 4.4.1 Moto Uniforme Andiamo ora ad analizzare

Un primo esempio di flusso potenziale: il flusso uniforme. Figura 4.2: Moto uniforme

Tale flusso è caratterizzato da una velocità costante u detta velocità ∞ del flusso indisturbato, orientata lungo la direzione positiva dell'asse x del sistema di riferimento: pertanto, come illustrato in Figura 4.2, si ha che:

(u = û∞~v = (4.19)v =0

È facile dimostrare come il flusso uniforme sia un esempio di flusso incomprimibile e irrotazionale:

• ∂v/∂u → + =0
• div(∼v) = 0 ∂x ∂y
• ∂u/∂v → −curl(∼v) = 0 =0∂y ∂x

Ne consegue che il moto uniforme è un moto potenziale. Procediamo calcolando la funzione di corrente e il potenziale ∂ϕ/∂ϕ ; = (u ; 0) (4.20)∼v = ∞∂x ∂y

da cui si ottiene ϕ = u x + c (4.21)∞

Si noti come, nella derivazione dell'Equazione precedente non si siano fatte ipotesi sull'incomprimibilità del fluido: questo implica il fatto che il potenziale del campo

Il calcolo della velocità così calcolato può essere utilizzato sia per la descrizione di un flusso uniforme incomprimibile sia per la descrizione di un flusso uniforme comprimibile. Una volta noto il potenziale si procede al calcolo della linea di corrente:

∂ψ/∂x = u

Da cui:

ψ = ∞∂y/∂x

Da cui:

ψ = u*y + c∞

Andiamo ora ad analizzare il quarto esempio di flusso potenziale: il Vortice Elementare. Tale flusso, già analizzato in precedenza e illustrato in Figura 2.3, è caratterizzato dall'avere solamente la componente tangenziale di velocità non nulla: infatti, il campo di velocità del vortice elementare è dato dall'Equazione 2.19, ovvero:

u = 0

v = Γ*u = θ*2π*r

Come prima andiamo a verificare che si tratti di un flusso potenziale applicando le equazioni precedenti in coordinate cilindriche:

∂(ρ*u)/∂ρ + ∂(ρ*v)/∂θ = 0

∂θEffettuando il calcolo della funzione di corrente 1 ∂ψ ∂ψ Γ−~v = ; = 0;r ∂θ ∂r 2πr∂ψ →= 0 ψ = ψ(r)∂θ Γ∂ϕ −=∂r 2πrDa cui otteniamo Γ−ψ = (4.25)log(r) + c2πper la funzione di corrente Γϕ = θ + c (4.26)2πper il potenziale. 414.4.3 Moto SorgenteIdentificheremo con Moto Sorgente un moto caratterizzato da velocità ra-diale dipendente dal raggio secondo una costante Λ chiamata intensità dellasorgente e velocità tangenziale nulla. Considerando una superficie contentel’origine della sorgente, il flusso volumetrico attraverso quella superificie ècostante. Figura 4.3: Moto SorgentePer questo tipo di flusso il campo di velocità è( Λu =r 2πr (4.27)u = 0θDipendentemente dal segno di Λ si avrà una sorgente o un pozzo. Calco-lando la funzione di corrente scriviamo 1 ∂ψ

∂ψ−(u ; u ) = ; (4.28)r θ r ∂θ ∂r

da cui Λ 1 ∂ψu = =r 2πr r ∂θe in definitiva Λψ = θ (4.29)s 2π424.5

Flusso potenziale attorno al cilindro

Il flusso potenziale attorno al cilindro viene studiato attraverso la somma difunzioni di corrente di un flusso potenziale uniforme e di una doppietta.

La soluzione chiamata doppietta è la sovrapposizione delle soluzioni dipozzo e di sorgente (moti sorgenti con segno positivo e negativo) quandoquesti ultimi sono collocati nello stesso punto e possiedono la stessa inten-sità Λ. Per arrivare alla soluzione di doppietta si può quindi partire dallasovrapposizione di una sorgente e di un pozzo ad una certa distanza finita dtra loro e avvicinarli attraverso l’operazione di limite.

Figura 4.4: Pozzo e Sorgente posti a distanza dL’intensità di doppietta sarà data da 3 mlim Λ d = K (4.30)sd→0dove K viene definita intensità di doppietta.

L