Appunti di Aerodinamica del veicolo

Dispense di Aerodinamica del Veicolo

Luca Proietti Colonna

April 2021

Indice

1 Proprietà dei fluidi 6

1.1 Ipotesi del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Moto dell’elemento fluido 8

2.1 Moto e Deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Relazione tra vorticità e rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Corrente piana di Couette . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2 Vortice Elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Teorema di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Vortice elementare attraverso Stokes . . . . . . . . . . 15

3 Equazioni Fondamentali 16

3.1 Bilancio della Quantità di Moto . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1.1 Tetraedro di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.2 Ipotesi di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.3 Forma Finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Equazioni di Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.1 Condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Interpretazione del termine viscoso e del termine advettivo . . 24

3.3.1 Termine Advettivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.2 Termine Diffusivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4 Flusso di Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5 Teorema di Bernoulli per flussi rotazionali . . . . . . . . . . . 31

4 Moto a Potenziale 33

4.1 Campo irrotazionale e conservativo . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Equazioni del moto potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.1 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1

4.3 Navier-Stokes vs. Moto Potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4 Flussi Elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.1 Moto Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.2 Vortice elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4.3 Moto Sorgente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.5 Flusso potenziale attorno al cilindro . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Bilanci Macroscopici 46

5.1 Bilancio della Massa Macroscopico . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 Dinamica dei vortici 50

6.1 Teorema di Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.2 Teoremi di Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.2.1 Primo teorema di Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.2.2 Secondo teorema di Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . 52

6.2.3 Teorema di Wu: conservazione della vorticità totale . . 54

6.3 Equazione del trasporto di vorticità . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.4 Gradiente di pressione nel centro di un vortice . . . . . . . . . 57

7 Teoria dello strato limite 59

7.1 Teoria dello Strato Limite di Prandtl . . . . . . . . . . . . . . 61

7.2 Analisi agli ordini di grandezza . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.2.1 Forma non dimensionale della conservazione della massa 62

7.2.2 Forma non dimensionale della quantità di moto . . . . 65

7.3 Vorticità dello strato limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.4 Soluzione di Blasius per lo strato limite . . . . . . . . . . . . . 73

7.5 Strato limite su Superficie Curva . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.6 Separazione dello strato limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.6.1 Classificazione dei flussi in base al gradiente di pressione 82

7.7 Vortice di partenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.7.1 Evoluzione temporale del vortice di partenza . . . . . . 85

7.8 Metodo Iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8 Turbolenza 91

8.1 Generalità sulla turbolenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.2 Approcci statistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8.2.1 Decomposizione di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . 92

8.2.2 Autocorrelazione spaziale . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2

8.3 Cascata di energia di Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.4 Ipotesi di Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.5 Scale di Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.5.1 Separazione tra le scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8.6 Simulazione numerica della turbolenza . . . . . . . . . . . . . 102

8.7 Analisi spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.8 Equazioni RANS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.9 Soluzioni RANS su canale piano . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.9.1 Conservazione della Massa . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.9.2 Quantità di moto in direzione y . . . . . . . . . . . . . 113

8.9.3 Quantità di moto in direzione x . . . . . . . . . . . . . 114

8.10 Interpretazione dei termini degli sforzi . . . . . . . . . . . . . 117

8.11 Modello di profilo di velocità in regime turbolento . . . . . . . 120

9 Teoria circolatoria del Lift 126

9.1 Teorema di Kutta-Joukowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9.2 Origine della portanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9.3 Metodo di Prandtl-Munk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.3.1 Condizione di Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.4 Metodo a pannelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

10 Teoria dei Profili sottili 141

10.1 Stallo del profilo alare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

11 Ali ad estensione finita 146

11.1 Resistenza indotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

11.1.1 Velocità di downwash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

11.2 Teoria della linea portante di Prandtl . . . . . . . . . . . . . . 150

11.3 Distribuzione Ellittica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

11.4 Ali a Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

11.4.1 Coefficiente di pressione delle ali a delta . . . . . . . . 159

11.4.2 Coefficiente di portanza nelle ali a delta . . . . . . . . 159

11.4.3 Coefficiente di resistenza nelle ali a delta . . . . . . . . 161

12 Aerodinamica dei corpi tozzi 162

12.1 Resistenza di un corpo tozzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

12.2 Valutazione del contenuto energetico della scia . . . . . . . . . 167

3

12.2.1 4 parametri per valutare il contenuto energetico della

scia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

12.3 Coefficiente di pressione totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

12.4 Flusso reale intorno al cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

12.4.1 Gallerie del vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

12.4.2 Fenomenologia del flusso attorno al cilindro . . . . . . 175

12.5 Coefficiente di resistenza del cilindro . . . . . . . . . . . . . . 179

12.5.1 Corpi rugosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

12.5.2 Numero di Strouhal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

12.6 Coefficiente di pressione intorno al cilindro . . . . . . . . . . . 182

12.7 Sezioni quadrate con spigoli smussati . . . . . . . . . . . . . . 183

12.8 Interferenza aerodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

12.8.1 Dischi circolari in interferenza . . . . . . . . . . . . . . 185

12.8.2 Cilindri in interferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

12.8.3 Profili alari in interferenza . . . . . . . . . . . . . . . . 188

13 Aerodinamica delle family car 190

13.1 Geometria del posteriore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

13.2 Audi 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

13.3 Corpo di Ahmed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

13.4 Angolo di Slant ed esperienza di Hucho . . . . . . . . . . . . . 197

13.5 Boat-Taililing: rastremazione del posteriore . . . . . . . . . . . 200

13.6 Spoiler posteriore nella Audi A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

13.7 Spoiler posteriori nelle family car . . . . . . . . . . . . . . . . 204

13.8 Spoiler anteriore Opel Calibra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

14 Aerodinamica delle vetture ad elevate prestazioni 208

14.1 Cornering Ability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

14.2 Effetto Suolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

14.2.1 Ali in effetto suolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

14.3 Ala posteriore e deportanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

14.3.1 Deportanza prodotta dall’effetto suolo in un’ala poste-

riore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

14.4 Diffusore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

14.4.1 Effetto suolo nel diffusore . . . . . . . . . . . . . . . . 215

14.4.2 Effetto deportante del diffusore . . . . . . . . . . . . . 217

14.5 Effetti dell’aerodinamica sulla dinamica . . . . . . . . . . . . . 219

14.6 Domande Professori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

4

14.6.1 Domande Stalio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

14.6.2 Domande Cimarelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

14.6.3 Domande Fregni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

14.6.4 Domande Romoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

5

Capitolo 1

Proprietà dei fluidi

1.1 Ipotesi del continuo

La meccanica dei fluidi non è collegata direttamente con la struttura mole-

colare dei liquidi o dei gas, piuttosto è collegata a quantità di campo come

la velocità ~v (~x, t), la densità ρ(~x, t) e la pressione p(~x, t).

Queste quantità di campo sono introdotte come media su un volume piuttosto

che le proprietà possedute da una singola particella, risulta quindi opportuno

introdurre il concetto di Particella Materiale.

Una particella materiale può essere considerata come un agglome-

rato di materia formato sempre dalle stesse molecole di materiale. Per

definizione, una particella materiale è un punto che si muove alla velocità

locale del fluido ed è definita dalla sua posizione in un istante di riferimen-

to. Ad alcune di queste particelle materiali è possibile associare un valore di

densità,viscosità cinematica e temperatura.

Affinché questo sia possibile le particelle materiali non devono avere dimen-

sioni né troppo grandi né troppo piccole, in quanto i valori di ρ, ν e T nel

primo caso non sarebbero rappresentativi dei valori reali, nel secondo caso la

presenza di gradienti farebbe perdere il dettaglio del fenomeno fisico.

Come si nota in fig. 1.1 esiste solamente una ristretta zona in cui il

valore di densità non varia apprezzabilmente con la dimensione della parti-

cella materiale; al contrario, per dimensioni della particella infinitesime, il

grafico mostra una scarsa rappresentazione del fenomeno fisico, con brusche

variazioni di densità per piccole variazioni di dimensioni, mentre per elevate

6

Figura 1.1: Relazione tra la densità ρ e la dimensione della particella

dimensioni della particella materiale lo stesso grafico mostra una dispersione

del fenomeno fisico troppo elevata per avere un interesse pratico.

Pertanto, possiamo affermare che una particella materiale deve essere ab-

bastanza grande da contenere un numero sufficiente di molecole, dove con

numero sufficiente si intende un numero di molecole tale che le medie effet-

tuate per la definizione delle proprietà macroscopiche siano significative. Allo

stesso tempo, però, devono essere sufficientemente piccole (confrontate con

le dimensioni del fluido) da non essere influenzate da effetti macroscopici.

Per ovviare a queste difficoltà nella scelta delle dimensioni delle particelle

materiali, lo studio dell’aerodinamica si basa sull’Ipotesi Del Continuo.

Sulla base di tale ipotesi è possibile trattare il fluido come se fosse un mezzo

continuo (e non, come è realmente,discreto): si assume quindi che una qual-

siasi porzione del fluido, per quanto piccola possa essere, contenga un numero

infinitamente grande di molecole e, pertanto, che le proprietà intensive del

fluido (quali temperatura, pressione, densità, viscosità e velocità) siano defi-

nite ad una scala di lunghezze infinitesima e che varino quindi con continuità

da un punto ad un altro. Questa ipotesi permette pertanto di ignorare il

ragionamento legato al grafico di fig. 1.1 e definire particelle materiali di

dimensioni arbitrarie.

Una volta invocata l’ipotesi del continuo, possiamo associare ad una parti-

cella materiale definita da una posizione e un istante di tempo (~x, t) proprietà

macroscopiche quali velocità, densità, pressione e temperatura calcolate come

medie sul volume della particella. 7

Capitolo 2

Moto dell’elemento fluido

2.1 Moto e Deformazione

Consideriamo ora un Elemento Fluido, che possiamo immaginare come un

quadratino nel caso bidimensionale o come un cubetto nel caso tridimen-

sionale; tale elemento può muoversi o deformarsi secondo quattro distinte

modalità: può infatti traslare, ruotare attorno a un’asse, dilatarsi o defor-

marsi a taglio (Shear Strain) variando l’angolo tra le facce dell’elemento.

Nella maggior parte dei casi reali, questi quattro meccanismi agiscono simul-

taneamente. Sotto l’ipotesi di densità costante, alla dilatazione dell’elemento

fluido in una direzione deve corrisponderne la contrazione in una delle altre

due (o entrambe), in modo tale da mantenere costante la superficie (2D) o il

volume (3D).

Durante il moto supponiamo che l’elemento subisca una rotazione di un

angolo θ sulla faccia in direzione x e una rotazione θ sulla faccia in direzione

1 2

y. Definiamo angolo di rotazione dell’elemento fluido in coordinate cartesiane

la media delle deviazioni angolari delle due facce inizialmente perpendicolari:

θ + θ

1 2 (2.1)

ϕ =

k 2

Analogamente possiamo definire lo sforzo di taglio come la metà della

differenza tra gli angoli che sono perpendicolari in assenza di sforzi.

−

θ θ

1 2

s = (2.2)

k 2

8

Figura 2.1: Elemento fluido in rotazione

Nella meccanica dei fluidi si studia il tasso di variazione della deformazio-

ne poiché gli elementi possono deformarsi continuamente. Definiamo dunque

la velocità angolare dell’elemento fluido come

˙ ˙

θ + θ

1 2

φ = (2.3)

k 2

Definiamo inoltre velocità di deformazione dell’elemento fluido (rate

of deformation tensor ) come metà della riduzione dell’angolo tra due facce

dell’elemento fluido inizialmente ortogonali, ovvero

˙ ˙

−

θ θ

1 2 (2.4)

ε =

1,2 2

Il nostro elemento fluido di lato l avrà velocità nel primo spigolo pari

x

ad v(x) mentre velocità pari a v(x + l ) sul secondo. Andando ad esprimere

x

l’angolo θ in funzione di queste velocità possiamo scrivere

1 −

v(x + l ) v(x)

x

θ = (2.5)

1 ∆t l

x

9

dove ∆t è un piccolo intervallo di tempo che porta dunque a scrivere

−

v(x + l ) v(x)

x

˙ ≈

θ (2.6)

1 l

x

Essendo l’elemento piccolo, possiamo considerare lineare il profilo di ve-

locità e dunque linearizzando con un’ espansione in serie di Taylor

∂v 2

l + o(l ) (2.7)

v(x + l ) = v(x) + x x

x ∂x

da cui possiamo dedurre che ∂v ∂u

˙ ˙

≈ ≈ −

θ ; θ (2.8)

1 2

∂x ∂y

Sotto l’ipotesi di piccoli angoli, andando ad inserire l’equazione 2.8 nella

equazione 2.3 possiamo ottenere in definitiva

1 ∂u

∂v

˙ −

φ = (2.9)

z 2 ∂x ∂y

∂v ∂u

1 + (2.10)

ε̇ =

1,2 2 ∂x ∂y

10

2.2 Relazione tra vorticità e rotazione

Si definisce con il termine vorticità ω

~ il rotore del campo di velocità ~v cioè

~k

~i ~j

∂ ∂

∂

ω

~ = curl (~v ) = (2.11)

∂x ∂y ∂z

u v w

Andando a svolgere i calcoli si ottiene

∂v

∂w ˙

− = 2

φ (2.12)

ω = x

x ∂y ∂z

∂w ∂u ˙

−

ω = = 2

φ (2.13)

y y

∂x ∂z

∂v ∂u ˙

− = 2

φ (2.14)

ω = z

z ∂x ∂y

quindi, la vorticità è il doppio della velocità di rotazione dell’elemento

fluido e, pertanto, il vettore vorticità è associato al moto di pura rotazione

degli elementi fluidi. Solitamente, il termine vorticità è associato alla presen-

za di un vortice nel fluido. Tuttavia, come vedremo negli esempi seguenti,

esistono:

• flussi completamente piani caratterizzati da vorticità non nulla (Couet-

te);

• flussi vorticosi caratterizzati da vorticità nulla (vortice elementare);

• flussi vorticosi caratterizzati da vorticità non nulla.

Essendo il vettore vorticità parallelo al vettore velocità di rotazione e

proporzionale ad esso, possiamo intendere la vorticità come una misura della

rotazione delle particelle. Pertanto, è necessario distinguere il concetto

di vorticità dal concetto di vortice e associarlo, invece, alla rotazione

degli elementi fluidi. 11

2.2.1 Corrente piana di Couette

La Corrente piana di Couette è uno dei flussi canonici, ovvero dei flussi

semplici di riferimento utili per semplificare lo studio di flussi reali complessi.

Con riferimento alla fig. 2.2, scelto un sistema di riferimento si considera uno

spessore H al cui interno scorre un fluido sovrastato da una piastra piana

che trasla alla velocità costante u .

0

Figura 2.2: Meato con profilo di velocità triangolare

Come sappiamo, il profilo di velocità all’interno del meato fluido è di tipo

triangolare, con velocità nulla alla parete e velocità u alla piastra. Pertanto,

0

si ha che u(y = 0) = 0 (2.15)

u(y = H) = u (2.16)

0

Utilizzando la semplice equazione tra due punti del meato per cui vale

P = (u ; H) e P = (0; 0) otteniamo l’equazione del profilo di velocità

1 0 2 u

0 y (2.17)

u(y) = H

Andando a cercare la vorticità in direzione z, uscente dal foglio, quello

che si ottiene è ∂v ∂u u

0

− −

ω = = = 2

φ̇ (2.1