Appunti di Aerodinamica

INTRODUZIONE

La forza che si genera verso l'alto è chiamata portanza

Fu sfruttata dai galeoni per andamento di tipo resistente (flessi d'ma [omitted] da poppa). Costruendo il corpo con forma opportuna, oltre alla forza resistente, si può generare una forza perpendicolare al moto che si chiama portanza.

La forma delle vele cambiano:

Permette di navigare anche con venti che arrivano lateralmente.

Per un'ala di linea la portanza rispetto alla resistenza è 8 volte più grande. Per aerei particolarmente efficienti il rapporto resistenza/portanza arriva anche a 40.

[omitted] molto più efficiente rispetto ad un lanciatore [omitted] è più conveniente il satellite avvicinato [omitted]

Come si produce portanza?

1. esempio ucchiaiamo e wbmnnetto: con la parte convessa verso l'alto.

Dal punto di vista macroscopico, non riusciamo a distinguere l’aura particella da particella, ma lo percepiamo come una struttura continua. È interessante studiare come l’insieme di particelle permette di far volare un aereo.

n° particelle ≈ 10²³ numero di Avogadro

Le particelle si urtano tra loro perché sono soggette all’agitazione termica, che è una forma di energia meccanica degradatta che macroscopicamente chiamiamo temperatura.

Il libero cammino medio è lo spazio che può percorrere una particella prima di urtare in altra.

condizioni atmosferiche ≈ 10⁷ volte/mm

A sono punti in cui le particelle sono più addensate e punti in cui lo sono meno si considera la densità media

ESEMPIO: PALETTA DEVIACTRICE DI UN FLUSSO

insieme di particelle

massa in entrata = massa in uscita velocità diverse

Spinta?

Dopo l’urto la particella cambia direzione e posso calcolare l’impulso trasmesso attraverso la variazione di quantità di moto

ΔQ = F (esercitata)

F per unità di tempo

Calori Specifici

Il calore è una forma degradata di energia cinetica, cedere calore significa provocare un aumento di temperatura che porta ad un aumento dell'agitazione termica di ogni singola particella. Dato che le particelle seguono un moto caotico, l'energia viene dissipata. Avesse lo stessa direzione, l'energia si potrebbe sfruttare a livello macroscopico.

Il calore ceduto è proporzionale con l'aumento di temperatura:

E_C = ¹/₂ m u² = 1/2 m (u_x² + u_y² + u_z²) = ³/₂ k_BT

Se considero un gas monoatomico, esso è formato da una particella singola che può muoversi nelle 3 direzioni.

Pertanto ed E_C = ³/₂ k_BT per ogni particella.

L'energia cinetica totale del sistema è data da:

E_tot = N E_C = N ³/₂ k_BT

= ³/₂ N m RT ricordando che N • m = M_tot

= ³/₂ MRT

Ragionando con l'energia totale per unità di massa:

e = E / M = ³/₂ RT

Energia interna per unità di massa

Viscosità

È una proprietà che indica dove il fluido sottoposto a delle forze, modifica la sua forma.

Studio il comportamento viscoso di un solido.

Quando si applica una forza alla superficie, il solido si deforma. Si generano le azioni di taglio distribuite sulla superficie, misurate come una pressione.

Questa azione genera una deformazione angolare di angolo β:

τ = c ∙ β

Quando la forza viene meno, il solido ritorna nella posizione di riposo, a meno che non avvenga una deformazione plastica.

Per quanto riguarda i fluidi, se considero una barca che si muove sulla superficie di un liquido, essa tenderà a muoversi in avanti e creerà una forza resistente su τ. Si avrà una distribuzione lineare di velocità, non di deformazione come nel caso del solido. L'effetto dell'applicazione di una forza su un fluido è la generazione di una velocità angolare β di rotazione.

Il coefficiente di proporzionalità in questo caso è μ:

τ = μ ∙ β

Sapendo che il fluido è alto b, si avrà che:

δβ = uδt/b = u/b = ∂u/∂y

La rotazione ω_z della particella intorno a z è data per definizione

dalla media di ω_z e ω_oe (velocità dei segmenti OA e OB ortogonali).

Assumo positivo il verso di rotazione antiorario :

ω_z = ω_z − ω_oe²( ^∂v⁄_∂x − ^∂u⁄_∂y)

per le altre componenti si ha :

ω_x = ¹⁄₂( ^∂v⁄_∂z − ^∂w⁄_∂y)   e   ω_y = ¹⁄₂( ^∂u⁄_∂z − ^∂w⁄_∂x)

quindi.

ω = ¹⁄₂ ∆u

VORTICITÀ

ξ = ∆u = 2ω

Se si ha che ∆u = 0 ⟺ ω = 0  e il moto si dice irrotazionale.

Le derivate  ^∂v⁄_∂x e  ^∂u⁄_∂y sono anche legate ad un'eventuale variazione di

angle formati con l'assen   AB  variarione di forma.

La deformazione di un angolo inizialmente retto è detta deformazione

di taglio.

δξ = δα + δβ

La velocità di deformazione di taglio è data da :

γ̇ = lim δξ − lim([^∂v⁄_∂x ξξ + (^∂y⁄_∂y)δt⁄_δt)] = ^∂v⁄_∂x + ^∂u⁄_∂y

Riscrivo gli integrali in VC e ∂VC, usando la divergenza

d/dt ∫_VC ρ dv + ∫_VC ∇⋅(ρev) dv = 0

Per def. di VC posso portare la derivata dentro l'integrale

∫_VC ∂ρ/∂t dv + ∫_VC ∇⋅(ρev) dv = 0 ⇒ ∫_VC (∂ρ/∂t + ∇⋅(ρev)) dv = 0

Tolgo il segno di integrale:

∂ρ/∂t + ∇⋅(ρev) = 0

Equazioni:

∂/∂x (ρu) + ∂/∂y (ρv) + ∂/∂z (ρw) = 0

∂ρ/∂t + u ∂ρ/∂x + v ∂ρ/∂y + w ∂ρ/∂z + ρ ∂u/∂x + ρ ∂v/∂y + ρ ∂w/∂z = 0

∂ρ/∂t + ρ ∇⋅v = 0

CONSERVAZIONE DELLA MASSA IN FORMA DIFFERENZIALE

Passo scrivere che ∇⋅v = -1/ε Dε/Dt e ε = 1/V_s

= - V_s D/Dt (1/V_s)

⇒ ∇⋅v + V_s (+ V_s^-2 DVs/Dt

∇⋅v + 1/V_s DVs/Dt

La divergenza della velocità è la variazione percentual di volume nell'unità di tempo per una generica particella.

Per FLUIDI INCOMPRESSIBILI ε = cost in tutti i punti del campo, quando la velocità di dilatazione volumica è nulla:

∇⋅v = 0

Sommo gli elementi della diagonale principale:

_p= -¹/₃ (-3p + 3λ ∇ ⋅ v + 2μ ∇ ⋅ v)

Per fluido incomprimibile ∇ ⋅ v = 0, quindi la pressione è l'opposto della media delle tensioni normali. Perciò anche in un fluido comprimibile la pressione può coincidere con l'opposto delle tensioni normali se si adotta.

Ipotesi di Stokes λ = -²/₃μ

Nel caso delle azioni da taglio (elementi fuori della diagonale)...?

La relazione diventa:

ρ [^∂u/_∂t + u ^∂u/_∂x + v ^∂u/_∂y + w ^∂u/_∂z] = _eg_x + λ (^∂τ_xx/_∂x + ^∂τ_yx /_∂y + ^∂τ_zx/_∂z)

= _eg_x - ^∂p/_∂x + λ ^∂/_∂x (∇ ⋅v) + 2μ ^∂/_∂x

= ρ ^Dũ/_Dt = ρ_g - ∇p + μ∇²u + (λ+μ) ∇ (∇ ⋅ u)

= ¹/_ρ ∇ ^Dē/_Dt + ∇ ⋅ ũ =0

Equazione di Navier-Stokes

Unendo questa equazione (3 equazioni), la conservazione della massa, l'equazione di stato e l'energia si hanno incognite:

u, v, w, ρ, e_t, T

eq:

• 3 cons. q
• 1 cons. massa
• 1 eq. di stato
• 1 cons. energia
• ^{_ 6}