Appunti delle lezioni di Tecniche e strumenti per la sperimentazione

Tecniche e strumenti per l'esperimentazione

Programma

• Introduzione alla scienza delle misure
• Terminologia metrologica di base
• Statistica: il concetto di variabile aleatoria; probabilità; densità di probabilità; funzione cumulativa; campione e popolazione; media e deviazione standard; distribuzione normale; il concetto di livello di confidenza; carta probabilistica; il metodo dei minimi quadrati.
• Incertezza di misura: fondamenti; classificazione delle sorgenti di incertezza; calcolo dell'incertezza di misura; propagazione delle incertezze.
• Configurazione generalizzata e descrizione funzionale di uno strumento di misura: elementi funzionali di uno strumento; trasduttori attivi e passivi; trasduttori analogici e digitali; metodi di misura per confronto e per deviazione; tipologie applicative degli strumenti di misura; configurazione ingresso-uscita per ingressi interferenti e modificanti.
• Caratterizzazione statica di uno strumento: taratura statica; sensibilità statica, linearità, errore di zero, risoluzione, isteresi; effetto di inserzione e sua correzione.
• Caratterizzazione dinamica di uno strumento: modello matematico generalizzato di un sistema di misura. Funzione di trasferimento operazionale; risposta in frequenza; strumenti di ordine zero; strumenti del primo ordine; strumenti del secondo ordine; risposta di uno strumento ad un ingresso periodico; risposta di uno strumento ad un ingresso aperiodico.
• Introduzione alla strumentazione
• Misure di moto e dimensionali: calibri, micrometri, comparatori, blocchetti piano-paralleli; misure angolari; misure di rugosità superficiale; potenziometri resistivi; trasformatori differenziali; trasduttori a variazione di induttanza e di riluttanza; trasduttori a correnti parassite; trasduttori capacitivi; trasduttori piezoelettrici; trasduttori elettro-ottici; tecniche interferometriche; fotoelasticità; trasduttori digitali di spostamento; misure di velocità traslazionale e angolare; trasduttori di spostamento sismici (spostamento, velocità e accelerazione).
• Misure di deformazione: estensimetri elettrici a resistenza; ponte di Wheatstone; rosette estensimetriche.
• Misure di forza, coppia e potenza; misure di pressione; misure di flusso.

Appunti delle lezioni

Parte 1. Unità di misura

Unità di misura derivate si ottengono come prodotto di due o più unità di misura fondamentali in monomi del tipo seguente: M^α KG^β S^γ MOL^δ CD^ε con coefficiente numerico. Gli esponenti α, β, γ ecc., sono numeri interi compreso lo zero.

Multipli e sottomultipli Quando l'unità è troppo grande o troppo piccola per certe misurazioni si possono usare. I multipli o sottomultipli decimali per soddisfare le esigenze di tutti gli utilizzatori del SI. La Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure (CGPM) ha stabilito un certo numero di prefissi con nomi speciali. Il prefisso precede l'unità di misura con la quale forma il multiplo e sottomultiplo.

Il prefisso non può essere usato da solo né si possono usare due prefissi consecutivi. Si scriverà nm e non mμm. Il simbolo del prefisso è scritto con carattere diritto come il simbolo delle unità; non si lasciano spazi né si interpone il punto tra i due simboli. Esempio: 1000 V = 10³ V = 1 kV.

Unità non ammesse Alcune unità, pur essendo fuori dal Sistema Internazionale, sono entrate talmente nella vita di ogni giorno da non poter essere messe al bando. Si tratta di alcune unità di misura del tempo (giorno, ora, minuto), dell'angolo (grado, minuto, secondo di angolo) e di alcune altre indicate nella tabella. Tutte le altre unità non indicate nella tabella debbono essere abbandonate e sostituite con unità SI. Così si deve prendere l'abitudine di esprimere la potenza dei motori delle automobili in kilowatt e non in cavalli (si ricordi che 1 CV è eguale a 0,735499 kW) e la quantità di calore negli impianti termici in kilojoule anziché in grandi calorie (si ricordi che 1 Cal è eguale a 4186,8 kJ).

Parte 2. Concetti statistici

Centralità è il parametro che definisce il valore medio e rappresentativo di una serie di dati. La dispersione è in una serie di dati la bontà dei dati che ho raccolto: più sono vicini al valore medio e più sono affidabili.

Medie Le medie sono valori che rappresentano un insieme di dati. Tali valori tendono a cadere centralmente all'interno di un insieme di dati ordinati secondo l'ordine di grandezza (sono quindi compresi tra il minimo e il massimo). In statistica si distinguono di solito due tipi di medie:

• Medie di calcolo: sono quelle che si calcolano tenendo conto di tutti i valori della distribuzione; si dividono in: aritmetica, geometrica, quadratica, armonica.
• Medie di posizione: sono quelle che si calcolano tenendo conto solo di alcuni valori della distribuzione; si dividono in: mediana, moda o valore normale.

La media aritmetica è la media più conosciuta. Si definisce media aritmetica di un insieme di N elementi x₁, x₂, x₃, …, x_N la somma degli elementi diviso il numero totale di essi ed è espressa dall’equazione: è quel valore che, sostituito ai dati, lascia invariata la loro somma. La media aritmetica viene generalmente indicata: con μ nel caso si tratti della media della popolazione o con x̄ nel caso si tratti di un campione. Nel calcolo della media a volte può essere conveniente attribuire maggior rilievo a delle misure più attendibili o maggiormente significative. Allo scopo si moltiplica ciascuna misura per un appropriato fattore peso w, e si divide la somma di questi prodotti per la somma dei fattori peso ottenendo una media pesata:

• La somma degli scarti positivi dalla media aritmetica è uguale, in valore assoluto, a quella degli scarti negativi, e quindi la somma algebrica di tutti gli scarti dalla media è uguale a zero.
• La somma dei quadrati degli scarti dei valori di una distribuzione dalla media aritmetica è minore della somma dei quadrati degli scarti da un qualsiasi altro valore.

Si definisce media geometrica dei valori x₁, x₂, …, x_n, quel numero G che sostituito ai valori x lascia invariato il loro prodotto. O in forma logaritmica:

La media quadratica: se si considera la somma dei quadrati dei valori x₁, x₂, …, x_n e indichiamo con Q tale somma, abbiamo:

La media armonica è il reciproco della media aritmetica calcolata sul reciproco dei valori.

La mediana è una media di posizione e rappresenta il valore centrale della distribuzione quando i dati sono ordinati. Si definisce mediana il valore che bipartisce la distribuzione, ossia il valore non inferiore a metà dei valori e non superiore all’altra metà. Dato un insieme N di valori ordinati, se N è dispari la mediana è il valore centrale, se N è pari la semisomma dei due valori centrali.

Si definisce moda o valore modale o anche norma di una distribuzione il valore della variabile al quale corrisponde la massima frequenza. Se i dati sono raggruppati in classi bisogna distinguere se le classi hanno la stessa ampiezza o hanno ampiezza diversa. Se le classi hanno la stessa ampiezza, si dirà classe modale quella che ha frequenza maggiore. Se le classi hanno ampiezza diversa si divide ogni frequenza per l’ampiezza della rispettiva classe e la classe modale è quella alla quale corrisponde il rapporto maggiore. In altri casi per individuare la classe modale si esamina l’istogramma della distribuzione: la classe modale è quella che ha per base il rettangolo di ampiezza massima.

Dispersione

L’attitudine di certi dati numerici a disporsi intorno al valore medio è detta dispersione o variazione di dati. Per ogni variabile aleatoria x, la deviazione dell’i-ma osservazione dalla media è. Ma poiché la somma delle deviazioni così definite è sempre zero, si deve fare ricorso ad altre definizioni. Si possono ottenere varie misure della dispersione, le più comuni delle quali sono:

• Il campo di variazione: è la differenza tra il più grande e il più piccolo dei numeri stessi. Il campo di variazione dei numeri 2,3,3,5,5,5,8,10,12 è 10. Spesso il campo di variazione è dato semplicemente indicando il più piccolo e il più grande dei numeri. Nel caso precedente è 2-12;
• Lo scostamento semplice medio assoluto della media aritmetica;
• La semi-differenza interquartile;
• L’intervallo tra il 10° ed il 90° percentile;
• Lo scarto quadratico medio s: nei denominatori N viene sostituito da N-1, poiché il valore risultante rappresenta una stima migliore. Per grandi valori (N>30) in pratica non sussiste alcuna differenza. Togliendo la radice otteniamo la varianza.

Nel raccogliere i dati riguardo alle caratteristiche di un gruppo di individui o oggetti, come le altezze e i pesi di studenti di una università o il numero di bulloni difettosi e non difettosi prodotti in una fabbrica in un dato giorno, è spesso impossibile o poco pratico osservare l'intero gruppo, specialmente se è grande. Invece di esaminare l'intero gruppo, chiamato popolazione o universo, si esamina una piccola parte del gruppo, detta campione.

Variabile aleatoria

Per variabile aleatoria o casuale X si intende il risultato di una esperienza casuale espresso numericamente (es. lancio di una moneta). La frequenza assoluta è il numero di volte che si verifica un evento a prescindere dal numero totale delle prove mentre la frequenza relativa è il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero di prove eseguite; viene misurata con un numero decimale compreso tra 0 e 1, o in percentuale cioè:

La comprensione del comportamento statistico di una generica variabile aleatoria, per esempio una misurazione, può essere facilitata da un esame visivo dei risultati. In genere si usa raggruppare le misure in gruppi o classi, in questi casi la frequenza relativa rappresenta il numero di misure che cadono in ogni gruppo diviso N. Graficamente le frequenze relative vengono rappresentate mediante istogrammi. A questo scopo di grande ausilio potrà essere la rappresentazione grafica della frequenza ovvero il numero di volte n che si ripete la generica misura X delle N eseguite.

Distribuzione Nei due istogrammi è identica, cambia solo la scala di rappresentazione. In genere si usa raggruppare i vari dati in classi (ad es. 18-22: I; 23-26: II…) e costruire l’istogramma con le classi nelle ascisse.

Probabilità

La probabilità di un evento è definita come il rapporto fra il numero dei casi favorevoli e il numero di quelli possibili. La probabilità è quindi un numero sempre compreso tra 0 e 1 (comune è anche la misura in percentuale). La legge più importante del calcolo delle probabilità è la legge empirica del caso o legge dei grandi numeri, che stabilisce una relazione fra la probabilità teorica di un evento e la frequenza relativa con cui quell'evento si verifica. Si può enunciare così: All'aumentare del numero di prove, la frequenza relativa dell'evento si avvicina sempre più alla probabilità teorica. La legge empirica del caso, o legge dei grandi numeri, ci permette di confondere la frequenza relativa f con la probabilità dell'evento, purché il numero di prove sia molto grande.

La completa conoscenza della variabile casuale richiede che insieme ai valori della variabile sia nota anche la cosiddetta “legge di distribuzione” che stabilisce la probabilità P(x ≤ X ≤ x) che la variabile assuma un valore compreso in un qualsiasi intervallo (x, x).

Si distinguono variabili casuali discrete e continue. Nel primo caso i valori di X costituiscono un insieme (finito o meno) numerabile. È possibile, quindi, associare una probabilità per ogni valore. Se la variabile assume infiniti valori x, x,...., x, ......la somma delle probabilità dovrà essere unitaria:

Nel caso di variabile continua, la variabile X può assumere ogni valore in un intervallo. La probabilità del singolo valore è nulla. Conviene associare ad X una funzione f(x) definita nell’intervallo (a, b) di definizione della X, tale che f(x) dx rappresenti la probabilità elementare dP che la variabile assuma un valore compreso tra x e x + dx. La probabilità totale è in questo caso pari a 1. La funzione f(x) viene chiamata “densità di probabilità”.

Per esprimere la legge di distribuzione di una variabile continua invece della densità di probabilità f(x) si può considerare un’altra funzione F(x) detta “funzione cumulatrice” o “funzione di ripartizione”. La F(x) è definita come quella funzione che con i suoi valori fornisce una probabilità P(X ≤ x) che la variabile assuma un valore minore o uguale ad x: nel caso di variabile discreta si può scrivere: per variabile continua: P.

Distribuzione di Gauss

Fra le numerose distribuzioni di densità di probabilità la più famosa e maggiormente utilizzata è sicuramente la distribuzione normale. Essa è descritta dalla seguente espressione:

Karl Gauss, un matematico precoce, si interessò ai dati astronomici, mentre preparava la sua tesi: egli notò che gli errori di predizione seguivano una forma a campana ottimamente descritta da una equazione esponenziale. Egli chiamò l’equazione “distribuzione standard degli errori”. Sfortunatamente Napoleone aveva appena sconfitto l’armata prussiana e di conseguenza la cultura e le pubblicazioni in tedesco erano rare. Il tutto fu tradotto nel latino “Norma”. La forma della distribuzione di Gauss è quella di una campana la cui apertura è determinata interamente da σ, μ determina invece la posizione della curva lungo l’asse delle x. Nell’intorno del valore medio avrò una densità di probabilità molto alta. La funzione F(x) non può essere esplicitata a causa dell’impossibilità di risolvere analiticamente l’integrale di f(x). Per rendere pratico e veloce il calcolo della funzione F(x) i risultati dell’integrazione per via numerica sono stati tabulati. Per evitare la preparazione di molte tabelle per differenti valori di μ e σ, la deviazione dalla media è espressa in unità di deviazione standard attraverso la trasformazione:

Ottenendo la distribuzione standardizzata:

Quello che mi interessa è appunto F(x), funzione cumulatrice; quindi, vado a vedere nella tabella il risultato dell’integrale F(z) che sarebbe α. La funzione ci dice sempre l’area più piccola quindi nel momento in cui io voglio la parte maggiore (nell’immagine quella a sinistra di z), l’integrale sarà 1 – α.

Queste tabelle possono essere utilizzate per calcolare la probabilità che un evento si verifichi entro un limite specifico: è di particolare interesse, ad esempio, sapere se un evento si verifica entro uno specifico intorno del valore medio. In questo caso, per la definizione della variabile standardizzata, i due estremi di integrazione sono: Conoscendo α (1.0), l’integrale dell’area tra z₁ e z₂, sarà (1-α) – α (NB: il valore di 1 – α è 0,841, servirà dopo). Logicamente nel caso in cui gli estremi siano μ±2σ dovrò trovare nella tabella α (2.0).

Un altro problema risolvibile con le tabelle è quello di trovare il valore della variabile casuale conoscendo la frequenza cumulata. In questo caso parto dal valore di α e trovo, nella tabella, il valore di z corrispondente. La tabella mi darà sempre un valore positivo di z, dovrò capire io se è davvero positivo o negativo (se la frequenza cumulata è minore del 50% allora z sarà negativo).

In campo ingegneristico difficilmente i dati reali si adattano esattamente alla distribuzione Gaussiana, però molto spesso sono sufficientemente vicini ad essa così da permettere l’utilizzo del modello Gaussiano. È quindi importante avere a disposizione procedure che siano in grado di indicare se i dati sono sufficientemente vicini ad una gaussiana. Due noti metodi sono: il metodo della carta probabilistica e il metodo del χ² (chi quadro).

Devo partire in ogni caso da un set di dati dal quale ricavo valore medio e deviazione standard. Il metodo del GPN consiste nel determinare la curva teorica della funzione cumulatrice F(x) e capire se la curva sperimentale (discreta) si distribuisce come quella teorica.

Ecco lo schema di un tipo frequentemente usato con:

• L’asse delle ascisse suddiviso uniformemente;
• L’asse delle ordinate distorto in modo che la distribuzione cumulativa di una Gaussiana tracciata su tale diagramma risulti retta.

Si tratta di un metodo grafico assai rapido per: controllare la normalità di una distribuzione, per confrontare fra loro due distribuzioni diverse e per valutare graficamente media e scarto di una distribuzione. Teoricamente, al valore medio, la frequenza cumulata vale 50% (lo segno sul grafico); inoltre al valore medio sommato allo scarto la F(x) vale 84,1% (segno anche questo). A questo punto avrò una retta passante per due punti e posso segnare i dati sperimentali.